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【摘 要】线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
【关键词】研究性学习；线性规划；教学改革
随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。
1 线性规划问题
在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹
安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。
例如1-1：某工厂需要使用浓度为 的硫酸10 ，而市场上只有浓度为 ， 和 的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多少？才能满足生产需求，且所花费用最小？
设取浓度为 ， ， 的硫酸分别为 千克，总费用为 ，则
2 线性规划问题的模型
2.1概念
对于求取一组变量 使之既满足线性约束条件，又使具有线
性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。
2.2模型
3线性规划问题的求解
3.1图解法
在平面直角坐标系中，直线 可以用二元一次方程 来表示，点 在直线 上的充要条件是 ；若 不在直线上，则 或 ，二者必居其一。
直线 将平面分为两个半平面 和 ，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。另外有如下结论：
（1）若 ，则 表示直线 右侧的半平面， 示直线 左侧的半平面。
（2）若 ，则 表示直线 上方的半平面， 示直线 下方的半平面。
例1-1中，设取浓度为 ， ，的硫酸分别为 千克，取 的硫酸为 千克，总费用为 ，则
当直线 ： 向右上方移动，经过可行域上的 点，此时直线距离原点最远， 取得最大值。由 得 点的坐标为 ，代入 得， .
从图解法来看，它只适用线性约束条件中决策变量为二元一次线性规划问题的求解.对于含有三个或三个以上的求解，用图解法无法下手.如何求多元线性规划问题的解呢？下面我们以例1-2为例，介绍单纯形法的求解方法.
3.2单纯形法
显然，第一行中 的值最小，故选 进基，将第一行乘以0加到第二行，再将第一行乘以 加到第三行，然后再将第一行乘以 加到第四行，得到下表：
4 线性规划的简单应用
4.1物资调运问题（产销平衡）
运输问题一般是某种物资有 个产地 ，产量分别为 个单位；有 个销地 ，销量分别为 个单位， 与 之间的单位运价为 ，问应如何安排运输的方案，才能使总运费最低？
[例] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300t，750t，A、B、C三地的需要该产品得数量分别为200t，450t，400t，甲地运往A、B、C三地的费运分别为6元/t， 3元/t，5元/t，乙地运往A、B、C三地费运分别为5元/t，9元/t，6元/t，问怎样调运，才能使总运费最低？
如果甲生产的产品运往B之后有剩余，而且也满足B地的需求量，我们应将B所在的列的元素全部划掉，然后在剩余的元素中再找最小元素，依次类推。
4.2合理下料问题
下料问题是加工业中常见的一种问题，其一般的提法是把一种尺寸规格已知的原料切割成给定尺寸的几种毛坯，问题是在零件毛坯数量给定的条件下，如何割才能使废料最少？
[例] 某工厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm和42cm的两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率。
解法一：设每根钢材可截成60cm长的毛坯
x根，42cm长的毛坯y根，按题意得不等式
，画出直线 ： 的图象，如图（4）。
因为要截得的两种毛坯数的和必須为正整数。
所以 ，的解为坐标的点一定是第一象限内可行域的网格的交点。
如果直线 上有网格交点，那么按直线上网格交点的坐标 的值为下料方案，这时材料全部被利用，此方案就是最佳方案。从图上看直线 不能过网格交点。在这种情况下，为了制定最佳方案应该找靠近直线 的网格交点。当然不能在直线 的右上方的半平面内找网格交点，右上方的半平面任何网格交点坐标都使 。这时两种零件毛坯长度和超过原钢材的长度，这是不合理的，所以问题的最优解不能在这个区域找。
这样，下料的范围只能在 表示的可行域内，在直线 的左下方半平面内找最靠近直线的网格交点，得点 ， 就是所求的最优解。材料利用率为 。
解法二（列举法）：
4.3生产安排问题
生产安排问题是企业生产中常遇到的问题，用若干种原料生产某几种产品，原料供应有一定的限制，要求制定一个产品生产计划，使其在给定的资源限制条件下能得到最大收益。如前面的例1-2就是生产安排问题，我们不再举例。
本文着重研究线性规划的一些简单的应用及其求解方法。图解法是我们解决一些二维线性问题的最基本的方法，应该必须掌握，对于三维或三维以上的可利用单纯形法求解，单纯形法可以用来求一些比较复杂的线性规划的问题，有兴趣的同学可参阅《运筹学》。通过本文的介绍，要学会解决简单的应用问题，拓展解题思路，培养解决实际问题的能力。
参考文献：
[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.
[2]王林全， 林国泰.中学数学思想与方法[M].济南大学出版社，2000.
[3]韦莉， 张兵. 2009年高考创新题的欣赏与品味[J]. 数学教学研究，2009，28（11）：42-45.
【关键词】研究性学习；线性规划；教学改革
随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。
1 线性规划问题
在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹
安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。
例如1-1：某工厂需要使用浓度为 的硫酸10 ，而市场上只有浓度为 ， 和 的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多少？才能满足生产需求，且所花费用最小？
设取浓度为 ， ， 的硫酸分别为 千克，总费用为 ，则
2 线性规划问题的模型
2.1概念
对于求取一组变量 使之既满足线性约束条件，又使具有线
性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。
2.2模型
3线性规划问题的求解
3.1图解法
在平面直角坐标系中，直线 可以用二元一次方程 来表示，点 在直线 上的充要条件是 ；若 不在直线上，则 或 ，二者必居其一。
直线 将平面分为两个半平面 和 ，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。另外有如下结论：
（1）若 ，则 表示直线 右侧的半平面， 示直线 左侧的半平面。
（2）若 ，则 表示直线 上方的半平面， 示直线 下方的半平面。
例1-1中，设取浓度为 ， ，的硫酸分别为 千克，取 的硫酸为 千克，总费用为 ，则
当直线 ： 向右上方移动，经过可行域上的 点，此时直线距离原点最远， 取得最大值。由 得 点的坐标为 ，代入 得， .
从图解法来看，它只适用线性约束条件中决策变量为二元一次线性规划问题的求解.对于含有三个或三个以上的求解，用图解法无法下手.如何求多元线性规划问题的解呢？下面我们以例1-2为例，介绍单纯形法的求解方法.
3.2单纯形法
显然，第一行中 的值最小，故选 进基，将第一行乘以0加到第二行，再将第一行乘以 加到第三行，然后再将第一行乘以 加到第四行，得到下表：
4 线性规划的简单应用
4.1物资调运问题（产销平衡）
运输问题一般是某种物资有 个产地 ，产量分别为 个单位；有 个销地 ，销量分别为 个单位， 与 之间的单位运价为 ，问应如何安排运输的方案，才能使总运费最低？
[例] 甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为300t，750t，A、B、C三地的需要该产品得数量分别为200t，450t，400t，甲地运往A、B、C三地的费运分别为6元/t， 3元/t，5元/t，乙地运往A、B、C三地费运分别为5元/t，9元/t，6元/t，问怎样调运，才能使总运费最低？
如果甲生产的产品运往B之后有剩余，而且也满足B地的需求量，我们应将B所在的列的元素全部划掉，然后在剩余的元素中再找最小元素，依次类推。
4.2合理下料问题
下料问题是加工业中常见的一种问题，其一般的提法是把一种尺寸规格已知的原料切割成给定尺寸的几种毛坯，问题是在零件毛坯数量给定的条件下，如何割才能使废料最少？
[例] 某工厂有一批长为2.5m的条形钢材，要截成60cm和42cm的两种规格的零件毛坯，找出最佳的下料方案，并计算材料的利用率。
解法一：设每根钢材可截成60cm长的毛坯
x根，42cm长的毛坯y根，按题意得不等式
，画出直线 ： 的图象，如图（4）。
因为要截得的两种毛坯数的和必須为正整数。
所以 ，的解为坐标的点一定是第一象限内可行域的网格的交点。
如果直线 上有网格交点，那么按直线上网格交点的坐标 的值为下料方案，这时材料全部被利用，此方案就是最佳方案。从图上看直线 不能过网格交点。在这种情况下，为了制定最佳方案应该找靠近直线 的网格交点。当然不能在直线 的右上方的半平面内找网格交点，右上方的半平面任何网格交点坐标都使 。这时两种零件毛坯长度和超过原钢材的长度，这是不合理的，所以问题的最优解不能在这个区域找。
这样，下料的范围只能在 表示的可行域内，在直线 的左下方半平面内找最靠近直线的网格交点，得点 ， 就是所求的最优解。材料利用率为 。
解法二（列举法）：
4.3生产安排问题
生产安排问题是企业生产中常遇到的问题，用若干种原料生产某几种产品，原料供应有一定的限制，要求制定一个产品生产计划，使其在给定的资源限制条件下能得到最大收益。如前面的例1-2就是生产安排问题，我们不再举例。
本文着重研究线性规划的一些简单的应用及其求解方法。图解法是我们解决一些二维线性问题的最基本的方法，应该必须掌握，对于三维或三维以上的可利用单纯形法求解，单纯形法可以用来求一些比较复杂的线性规划的问题，有兴趣的同学可参阅《运筹学》。通过本文的介绍，要学会解决简单的应用问题，拓展解题思路，培养解决实际问题的能力。
参考文献：
[1]袁小明.数学思想史导论[M].广西教育出版社，1991.
[2]王林全， 林国泰.中学数学思想与方法[M].济南大学出版社，2000.
[3]韦莉， 张兵. 2009年高考创新题的欣赏与品味[J]. 数学教学研究，2009，28（11）：42-45.