【摘要】在日常生活中经常和自然数打交道.于是人们对自然数进行了深入的研究，依据不同，可以将它们进行不同的分类——奇数和偶数、质（素）数和合数等，并认识了自然数的整除性，总结了许多规律.
　　【关键词】哥德巴赫猜想；同素理论；本同素；异同素；素同素
　　
　　哥德巴赫猜想是1742年德国数学家哥德巴赫在教学中发现：任何一个不小于6的偶数，都可以写成两个奇素数之和；任何一个不小于9的奇数，都可以写成三个奇素数之和.同年6月7日，他在给瑞士数学家欧拉的信中叙述了这一猜想.欧拉在6月30日的回信中肯定了这个猜想的正确性，但他却没能给出证明，这就是举世闻名的哥德巴赫猜想.在以后长达两百多年的时间里，世界上许多著名的数学家试图给出一个完美的证明，但均未成功.目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积.”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式.本文将利用数学归纳法和同素理论对哥德巴赫猜想予以证明.
　　一、同素理论
　　我们在日常生活中经常和自然数打交道.于是人们对自然数进行了深入的研究，依据不同，可以将它们进行不同的分类——奇数和偶数、质（素）数和合数等，并认识了自然数的整除性，总结了许多规律.下面我们来看自然数的另一特性：
　　观察下列算式：
　　1+2×8=17(素数)，45-2×8=29（素数），
　　9+2×11=31(素数)，123-2×11=101（素数），
　　12+（2×6-1）=23(素数)，94-（2×6-1）=83（素数），
　　……
　　像这样，一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m［或a+（2m-1）与b-（2m-1）］同时为素数（m为整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a，b均为素数时称为素同素.显然素同素的同素模为0.
　　特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在.
　　另外，在M（a，b）中，M代表一种运算方式，不代表任何具体数.
　　我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n，b+2n）也成立.
　　二、同素定理和哥德巴赫猜想
　　1.同素定理：对于自然数a如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,若M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立.
　　证明 我们先证a，b同为奇数的情形.
　　（1）容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……；据M（3，5）有M（3+2，5）；……
　　（2）假设当a=2k-1时，上面定理成立.即所有不大于2k-1的奇数都满足上述命题，则：
　　∵M（3，2k-1），∴M（1，2k+1），∴M（3，2k+1）.
　　……
　　∴M（2k-1，2k+1），∴M（2k-3，2k+3），
　　∴M（2k-1，2k+3），∴M（2k+1，2k+1）.
　　①
　　又 M（2k-1，2k+1），
　　∴M（2k-5，2k+5），∴M（2k-3，2k+5），
　　∴M（2k-1，2k+5），∴M（2k+1，2k+3）.
　　②
　　综合①②得，当a=2k+1时，上述定理也成立.
　　由k的任意性可知，对于奇数a与另一个奇数b,若M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立.
　　我们再证a，b同为偶数的情形.
　　（1）经过验证，我们知道：据M（2，4）有M（2+2，4）；据M（2，6）有M（2+2，6）；据M（4，6）有M（4+2，6）；……
　　（2）假设当a=2k时，上面定理成立.即所有不大于2k的偶数都满足上述命题，则：
　　∵M（4，2k），∴M（2，2k+2），∴M（4，2k+2）.
　　……
　　∴M（2k，2k+2），∴M（2k-2，2k+4），
　　∴M（2k，2k+4），∴M（2k+2，2k+2）.
　　①
　　又 M（2k，2k+2），
　　∴M（2k-4，2k+6），∴M（2k-2，2k+6），
　　∴M（2k，2k+6），∴M（2k+2，2k+4）.
　　②
　　综合①②得，当a=2k+2时，上述定理也成立.
　　由k的任意性可知，对于偶数a与另一个偶数b,若M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立.
　　综上所述，可知对于所有自然数，若M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立.
　　推论：在所有自然数中，除M（1，1），M（1，3），M（2，2）外，同奇（同偶）的a，b,M（a，b）恒成立.
　　2.哥德巴赫猜想：任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和.
　　已知：2n(n＞2).求证：2n=p+q(p，q为奇素数).
　　证明 ∵2n=1+b(b为奇数，b≠3)，M（1，b）成立，
　　即1+2m与b-2m同时为素数，
　　∴2n=（1+2m）+（b-2m）.
　　令p=1+2m，q=b-2m，有2n= p+q(p，q为奇素数).
　　推论 任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和.
　　事实上，任何一个大于7的奇数一定能写成一个奇素数和一个偶数的和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立.