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笔者在中考复习备考教学中，为学生讲解直角三角形应用这一内容时，选取了下面的一道中考试题：
如图1，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固.并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：■.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
坡度、坡比类题目在本市今年中考中不是重点考点，所以在复习完锐角三角函数及解直角三角形等基础知识之后，本节课笔者准备把仰俯角、方位角等问题作为复习重点。选择本题，主要是本题为学生常见题目且难度不大，同时为了顺便简要复习坡度、坡比等概念，以及为后面复习仰俯角、方位角等重点内容作铺垫，并未把此题作为重点题目来研究。
一、情景再现
上课时，笔者对此题作了简单的分析。
教师：哪位同学自愿上台板演此题？
学生积极举手，笔者请学生1演板，其解答过程如下：
如图2，分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH∥EG，DH=EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH tan∠ADH=10tan45°=10，在Rt△FGE中，i=1∶■=EG∶FG，∴FG=■EG=10■，∴AF=FG+GH-AH=10■+3-10=10■-7
（2）V=S梯形AFED×l=■（3+10■-7）×10×500=25000■-10000
这种解法是解此类题目最常用的方法，以前遇到这类题目，我向学生讲解的就是这种方法，即作梯形两条高，构造矩形和有相等直角边的两个直角三角形来求解。但这种解法有部分学生对于FH、FA、AG、AH、FG这些线段间的关系难以理顺，从而阻碍了解题的正常进行，因此每次讲评的重点是这些线段间的关系。因为以前已经重点讲过，所以简单点评后，随意问道：大家都明白了此题的解题方法吗？学生齐声回答：明白了！但学生2却说：明白了是明白了，不过图形太复杂了，第（1）小题的解法不简便。
此题并未成为重点题目，我并未打算在此题上花费太多时间，但看到学生2的兴奋而急切的神情，为了不挫伤他的学习积极性，我请学生2说说他第（1）小题的解法.
学生2：如图3，过D作DH⊥AB于H，过D作DN∥EF交AF于N，则四边形DEFN是平行四边形， 在Rt△ADH中，可算出AH=10，在Rt△NDH中，i=tan∠EFA=tan∠DNH=DH∶NH=1∶■，可算出NH=10■，故AN=NH-AH=10■-10，则AF=AN+FN=10■-7
这种解法与第一种解法比较，图形更简洁，线段间关系更直接，而且图形中Rt△DNH与Rt△DAH有公共的直角边DH，这就构成了解直角三角形中最基本的图形之一，整个解法显现出通性通法，体现了转化的数学思想.若把题目改为：ED=3，AF=10■-7，其它条件不变，求梯形的高，那么这种方法的优越性就能体现得淋漓尽致.
老师：真了不起！你的小脑袋瓜是如何想到这种解法的？比老师讲的方法要简洁多了.
学生2（兴奋）：我是受解决梯形问题常用的辅助线作法的启发，平移梯形的一腰，找到了这种解法的.
在学生2的启发下，学生都翻到了第29课时《梯形》一页，在下面议论起来.在学生议论之时，笔者面临一个选择：是继续对此题解法进行探究，还是终止探究而进行预设的内容？听到学生激烈的争论，看着学生兴奋的神情，笔者决定对此题探究到底。
教师：还有不同的解法吗？
学生3：如图4，过D作DH⊥AB于H，
延长FE交HD的延长线于P，
在Rt△ADH中，AH=10，
∵DE∥AB，∴∠PED=∠EFA，
则i=tan∠EFA=tan∠PED
=PD∶DE=1∶■，则可得PD=■，故而PH=PD+DH=10+■，在Rt△PFH中，tan∠EFA=PH∶FH=1∶■，∴FH=■PH=10■+3，故AF=FH-AH=10■-7
学生4：如图5，过点D作DH⊥AB于H，
过F作FM⊥CD交CD的
延长线于M，可得四边形
MFHD是平行四边形，
∵DH⊥FH，四边形MFHD是矩形，
在Rt△ADH中，AH=DHtan∠ADH=10tan45°=10，
△MFE中，tan∠MEF=tan∠EFA=MF∶EM=1∶■，可得EM=10■，而ME+DE=AF+AH，从而可算出AF=10■-7
解直角三角形应用因难度不大，笔者在历年的中考备考中都没有给予足够的重视，而学生在这节课中却精彩纷呈，这些解法不仅展现了解直角三角形应用的一般解法，而且展示了常用的梯形研究方法，更暴露出学生的解题思维过程，虽然后面还有仰俯角、方位角等解直角三角形应用的基本例题，但是笔者临时决定对该例题进行解题反思和变式训练.
教师：这些解法有什么共同特征吗？通过此题你会有哪些收获？请同学们思考、讨论、交流.
学生5：这些方法都是过梯形某顶点向底边作垂线，构造直角三角形来完成解题.通过本题，我不仅明白了解直角三角形应用的一般方法，也领悟到梯形辅助线作法的奥妙！
教师：很好，对解法的概括很到位，还有同学愿意发表自己的观点吗？
学生6：大堤加固问题实质是梯形类问题，解决问题的策略是把梯形转化为平行四边形与三角形问题.方法二将方法一中的△EFG沿FB平移，使EG与DH重合，而方法四可看作将方法一中线段FG沿EG平移到ME位置.这三种方法关键点是利用图形中直角三角形相等的直角边这个条件作为桥梁进行计算.方法三与其它方法区别是构造出以FH为直角边的直角三角形，方法三解三次直角三角形，而其它方法只解了两次直角三角形，方法三相当于是延长梯形的两腰，计算较复杂. 教师：总结的太妙了！特别是对于由多个直角三角形组合的图形，点明了解这类题目的关键点——抓住公共直角边或相等直角边.依据以上同学的发言，你能总结出解直角三角形应用的策略方法吗？
学生7：解直角三角形的基本策略是通过作垂线构造直角三角形.若图形中有多个直角三角形时，要利用相等直角边或公共直角边进行计算.
教师：总结的很全面，这也是本节课的学习目标，希望大家在解题中能熟练运用这些经验和方法.下面的两道题目，请大家选择最简便的方法解题.
二、变式训练
变式1：如图6，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测的∠CBN=70°，求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）.（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
变式2：某型号飞机的机翼形状如图所示，请根据图7中的数据计算AC和BD的长.
■
三、教学启示
本节课预设的重点题目没有按计划进行，而预设的非重点题目却成了重点研究对象，但笔者认为课堂上临时改变是有价值的.
本节课通过对非重点例题的解法探究，复习、巩固了解直角三角形应用的一般方法，通过变式训练达到了对通性通法的理解及内化的目的。因此，本节课仅是题目的变化，而非解题技巧、方法的根本变动，从这个角度来说，尽管本节课研究的重点题目发生了变化，但最终却殊途同归，最初的预设目标仍然得以实现。
《全日制义务教育数学课程标准》指出：学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程.这就要求教学要站在学生立场上进行。本节课在学生2的影响下，学生学习积极性和探究兴趣被有效激发，假若继续按预设进行，学生学习积极性和探究欲或许会受到影响.建立的有效学习场有可能被破坏，与其如此，不如在学生情绪高涨的局面下继续探究，充分发挥学生主观能动性，并适当引导，不但能够完成预设目标，而且使学生感受到探究的乐趣，体验到成功的喜悦。
数学教学的终极目标是发展学生思维能力，培养数学思想方法。学生思维能力的培养需要学生自我暴露思维过程，在思维暴露过程中，教师针对学生思维状况，可适时引导，及时纠错，及时总结，这样学生的思维能力就易形成、内化并得到发展。在本节课中，学生在解答例题时，主动地暴露了自己的思维过程，真正融入到数学活动之中，这是发展学生思维能力，渗透数学思想的一个绝佳契机。特别是通过解题反思，使学生系统的、深层次的了解到解直角三角形应用、梯形类题目的内在联系，并且整合了坡度、坡比、解直角三角形、锐角三角函数、梯形的研究方法等零散、断裂、孤立的知识点，形成解题能力，思维能力得到了升华。在这个知识的构建、整合过程中，不仅内化了知识，升华了解题观念，更是数学思想方法特别是数形结合思想和化归思想的发展。
苏霍姆林斯基说：“教学技巧并不在于预见课的所有细节，在于根据当时的具体判断，巧妙地在学生不知不常觉中做出相应变动。”教师在教学时，应有效捕捉学生思维的闪光点，因势利导，让课堂非预设生成无限精彩。
（责任编辑：张华伟）
如图1，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固.并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：■.
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
坡度、坡比类题目在本市今年中考中不是重点考点，所以在复习完锐角三角函数及解直角三角形等基础知识之后，本节课笔者准备把仰俯角、方位角等问题作为复习重点。选择本题，主要是本题为学生常见题目且难度不大，同时为了顺便简要复习坡度、坡比等概念，以及为后面复习仰俯角、方位角等重点内容作铺垫，并未把此题作为重点题目来研究。
一、情景再现
上课时，笔者对此题作了简单的分析。
教师：哪位同学自愿上台板演此题？
学生积极举手，笔者请学生1演板，其解答过程如下：
如图2，分别过点E，D作EG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H，∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH∥EG，DH=EG，故四边形EGHD是矩形，∴ED=GH，在Rt△ADH中，AH=DH tan∠ADH=10tan45°=10，在Rt△FGE中，i=1∶■=EG∶FG，∴FG=■EG=10■，∴AF=FG+GH-AH=10■+3-10=10■-7
（2）V=S梯形AFED×l=■（3+10■-7）×10×500=25000■-10000
这种解法是解此类题目最常用的方法，以前遇到这类题目，我向学生讲解的就是这种方法，即作梯形两条高，构造矩形和有相等直角边的两个直角三角形来求解。但这种解法有部分学生对于FH、FA、AG、AH、FG这些线段间的关系难以理顺，从而阻碍了解题的正常进行，因此每次讲评的重点是这些线段间的关系。因为以前已经重点讲过，所以简单点评后，随意问道：大家都明白了此题的解题方法吗？学生齐声回答：明白了！但学生2却说：明白了是明白了，不过图形太复杂了，第（1）小题的解法不简便。
此题并未成为重点题目，我并未打算在此题上花费太多时间，但看到学生2的兴奋而急切的神情，为了不挫伤他的学习积极性，我请学生2说说他第（1）小题的解法.
学生2：如图3，过D作DH⊥AB于H，过D作DN∥EF交AF于N，则四边形DEFN是平行四边形， 在Rt△ADH中，可算出AH=10，在Rt△NDH中，i=tan∠EFA=tan∠DNH=DH∶NH=1∶■，可算出NH=10■，故AN=NH-AH=10■-10，则AF=AN+FN=10■-7
这种解法与第一种解法比较，图形更简洁，线段间关系更直接，而且图形中Rt△DNH与Rt△DAH有公共的直角边DH，这就构成了解直角三角形中最基本的图形之一，整个解法显现出通性通法，体现了转化的数学思想.若把题目改为：ED=3，AF=10■-7，其它条件不变，求梯形的高，那么这种方法的优越性就能体现得淋漓尽致.
老师：真了不起！你的小脑袋瓜是如何想到这种解法的？比老师讲的方法要简洁多了.
学生2（兴奋）：我是受解决梯形问题常用的辅助线作法的启发，平移梯形的一腰，找到了这种解法的.
在学生2的启发下，学生都翻到了第29课时《梯形》一页，在下面议论起来.在学生议论之时，笔者面临一个选择：是继续对此题解法进行探究，还是终止探究而进行预设的内容？听到学生激烈的争论，看着学生兴奋的神情，笔者决定对此题探究到底。
教师：还有不同的解法吗？
学生3：如图4，过D作DH⊥AB于H，
延长FE交HD的延长线于P，
在Rt△ADH中，AH=10，
∵DE∥AB，∴∠PED=∠EFA，
则i=tan∠EFA=tan∠PED
=PD∶DE=1∶■，则可得PD=■，故而PH=PD+DH=10+■，在Rt△PFH中，tan∠EFA=PH∶FH=1∶■，∴FH=■PH=10■+3，故AF=FH-AH=10■-7
学生4：如图5，过点D作DH⊥AB于H，
过F作FM⊥CD交CD的
延长线于M，可得四边形
MFHD是平行四边形，
∵DH⊥FH，四边形MFHD是矩形，
在Rt△ADH中，AH=DHtan∠ADH=10tan45°=10，
△MFE中，tan∠MEF=tan∠EFA=MF∶EM=1∶■，可得EM=10■，而ME+DE=AF+AH，从而可算出AF=10■-7
解直角三角形应用因难度不大，笔者在历年的中考备考中都没有给予足够的重视，而学生在这节课中却精彩纷呈，这些解法不仅展现了解直角三角形应用的一般解法，而且展示了常用的梯形研究方法，更暴露出学生的解题思维过程，虽然后面还有仰俯角、方位角等解直角三角形应用的基本例题，但是笔者临时决定对该例题进行解题反思和变式训练.
教师：这些解法有什么共同特征吗？通过此题你会有哪些收获？请同学们思考、讨论、交流.
学生5：这些方法都是过梯形某顶点向底边作垂线，构造直角三角形来完成解题.通过本题，我不仅明白了解直角三角形应用的一般方法，也领悟到梯形辅助线作法的奥妙！
教师：很好，对解法的概括很到位，还有同学愿意发表自己的观点吗？
学生6：大堤加固问题实质是梯形类问题，解决问题的策略是把梯形转化为平行四边形与三角形问题.方法二将方法一中的△EFG沿FB平移，使EG与DH重合，而方法四可看作将方法一中线段FG沿EG平移到ME位置.这三种方法关键点是利用图形中直角三角形相等的直角边这个条件作为桥梁进行计算.方法三与其它方法区别是构造出以FH为直角边的直角三角形，方法三解三次直角三角形，而其它方法只解了两次直角三角形，方法三相当于是延长梯形的两腰，计算较复杂. 教师：总结的太妙了！特别是对于由多个直角三角形组合的图形，点明了解这类题目的关键点——抓住公共直角边或相等直角边.依据以上同学的发言，你能总结出解直角三角形应用的策略方法吗？
学生7：解直角三角形的基本策略是通过作垂线构造直角三角形.若图形中有多个直角三角形时，要利用相等直角边或公共直角边进行计算.
教师：总结的很全面，这也是本节课的学习目标，希望大家在解题中能熟练运用这些经验和方法.下面的两道题目，请大家选择最简便的方法解题.
二、变式训练
变式1：如图6，河流的两岸PQ，MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测的∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测的∠CBN=70°，求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）.（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
变式2：某型号飞机的机翼形状如图所示，请根据图7中的数据计算AC和BD的长.
■
三、教学启示
本节课预设的重点题目没有按计划进行，而预设的非重点题目却成了重点研究对象，但笔者认为课堂上临时改变是有价值的.
本节课通过对非重点例题的解法探究，复习、巩固了解直角三角形应用的一般方法，通过变式训练达到了对通性通法的理解及内化的目的。因此，本节课仅是题目的变化，而非解题技巧、方法的根本变动，从这个角度来说，尽管本节课研究的重点题目发生了变化，但最终却殊途同归，最初的预设目标仍然得以实现。
《全日制义务教育数学课程标准》指出：学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程.这就要求教学要站在学生立场上进行。本节课在学生2的影响下，学生学习积极性和探究兴趣被有效激发，假若继续按预设进行，学生学习积极性和探究欲或许会受到影响.建立的有效学习场有可能被破坏，与其如此，不如在学生情绪高涨的局面下继续探究，充分发挥学生主观能动性，并适当引导，不但能够完成预设目标，而且使学生感受到探究的乐趣，体验到成功的喜悦。
数学教学的终极目标是发展学生思维能力，培养数学思想方法。学生思维能力的培养需要学生自我暴露思维过程，在思维暴露过程中，教师针对学生思维状况，可适时引导，及时纠错，及时总结，这样学生的思维能力就易形成、内化并得到发展。在本节课中，学生在解答例题时，主动地暴露了自己的思维过程，真正融入到数学活动之中，这是发展学生思维能力，渗透数学思想的一个绝佳契机。特别是通过解题反思，使学生系统的、深层次的了解到解直角三角形应用、梯形类题目的内在联系，并且整合了坡度、坡比、解直角三角形、锐角三角函数、梯形的研究方法等零散、断裂、孤立的知识点，形成解题能力，思维能力得到了升华。在这个知识的构建、整合过程中，不仅内化了知识，升华了解题观念，更是数学思想方法特别是数形结合思想和化归思想的发展。
苏霍姆林斯基说：“教学技巧并不在于预见课的所有细节，在于根据当时的具体判断，巧妙地在学生不知不常觉中做出相应变动。”教师在教学时，应有效捕捉学生思维的闪光点，因势利导，让课堂非预设生成无限精彩。
（责任编辑：张华伟）