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奇异的寇赫岛
传说在浩渺无边的大洋上，有一座叫寇赫的小岛。在这座小岛的海岸上繁衍生息着许多快乐的生灵：鲸鱼、人类、鱼、浮游生物、底栖生物等。它们都是聪明伶俐的智慧生物，都自称自己才是寇赫岛的主人。他们的争吵打破小岛久远的宁静，直到引得上帝出来为他们仲裁。
上帝说：“你们中，谁能测量出寇赫岛的海岸线长度，谁便是小岛的主人。”众生灵于是兴致勃勃地投入到他们的测量工作中去。不久，鲸鱼、人类、鲅鱼、紫贻贝、霞水母、昆虫纷纷报上自己的测量数据。他们发现，大家的测量结果居然大相径庭。差异竟达到好几个数量级。但他们都坚信自己的测量结果才是正确的。
在他们争执不下时，上帝宣布：“所有的测量都正确。”
“可是?”众生灵不明白了，同样一座小岛之于不同的种类怎么会有如此大的测量差异?
“那是因为你们选择了不同精度的尺子测量的缘故。”
原来，海岸线是弯曲不平的，如果用精确度为千米的仪器测量，得到海岸线上两点A点到B点的距离是10千米，却忽略了小于10千米的曲折。如果用精确度为米的仪器，则会得到A点到B点的距离大于10千米的结果。如果选测量精确度为毫米甚至微米的仪器，则会有更小的曲折被测量到，而且这个长度的增加可随测量尺的精确度增加趋向无穷。所以，对于用小尺子测量的昆虫而言，它测量得出的海岸线长度远大于用大尺子测量的鲸鱼。
可见长度不是海岸线的定量特征，这时应当用分维来描述海岸线。因为海岸属于一种“自相似”的分形结构。
用不同精度的尺子测量海岛岸的长度将得到迥异的结果
分形与分维
著名理论物理学家约翰·惠勒说过，在过去，一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。
何为分形?简单地说，分形就是研究无限复杂但具一定意义下的自相似结构的几何学。例如，一棵参天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没有什么大的区别，大树和树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系。观察一片树叶的叶脉，也有类似的性质。蕨类植物的叶片、人的肺部、雪花等，都是自然界的自相似分形结构。
对于一名画家而言，欧几里得几何学是他所不喜欢的。因为欧氏几何学探讨的对象是规则的形体，而真实的世界却并不规则。云彩不是球体，山峦不是锥体，海岸线也不是弧线，树皮并不是光滑的，闪电亦不是沿直线传播。自然界的许多事物是如此不规则和支离破碎，以致欧氏几何不能真实的描述大自然。如果说大自然是一位高超的数学家，她一定是根据分形几何学来创造这个世界的。
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，把平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的；还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应,也容易确定维数。但这些都是整数的维数。
而分形理论认为：维数也可以是分数。
当我们画一条直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点：如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值呢?看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1(大于0，小于2)。
数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1～2之间。
对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小的线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算，“寇赫岛”曲线的维数是1．2618……
分形——大自然的密码
在畅销小说《达·芬奇密码》中，作者丹·布朗设计了大量与分形与黄金分割有关的密码线索。从开场卢浮宫馆长索尼埃临死前留下的那一串斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……到他将身体摆成的维特鲁维人图案；从基督教认为的“异教徒”符号，古老宗教中代表宇宙和谐之美的五角星，到《最后的晚餐》中象征耶稣和抹大拉之间象征圣杯图案的“V”字位置，都无一例外诠释了“黄金分割”——这个大自然最为神秘的“达·芬奇密码”。
斐波那契数列和黄金分割有什么联系呢?用数列中任意一项比前一项，1／1=1，2／1：2，3／2=1|5，5／3=1．666……，8／5=1．6，13／8=1 625，21门3=1 61538……我们发现，项数越大，这个比值越接近黄金数1 618。
树枝上的分杈数，大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数：例如百合为3，梅花5，桔梗常为8，金盏花13等等，玫瑰更是按着斐波那契数列由内而外排列。斐波那契数列也出现在松果上。如下图，一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺旋线排列：一组呈顺时针螺旋，另一组为逆时针螺旋；顺时针螺旋的排列数目是8，而逆时针螺旋方向则为13。向日葵也是一样，常见的螺旋线数目为34及55，较大的向日葵的螺旋线数目为89及144，更大的甚至还有144及233，这些全都是斐波那契数列中相邻两项的数值。
除了植物世界外，在动物世界乃至我们人体本身，黄金分割更是不断地出现。从外观上看，大多出现在动物的形体中。
如：人四肢后肢与前肢的比，身高与肚脐到腿之间距离的比，甚至手指每一节骨头与后面一节骨头的比，都接近黄金数1．618。小说中提到的达·芬奇作品《维特鲁维人》就是严格按照人体的黄金分割比例绘制成的。
科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在1．6～117附近，黄金分割率“1．618”就落在这个区间内。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在的联系呢?
黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果把一条线段AB连接上它的黄金分割线段BC=0．618……×AB排列，BC再连接CD=0．618…×BC，无限下去，用等比数列求和公式很容易证明，线段的总长度为AB乘上黄金分数，即1．618…×AB。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。
那么，为什么自然界中的螺旋倾向于选择黄金螺旋呢?我们从黄金矩形出发，将黄金矩形每一个小矩形沿对角线向外移动1／2个边长，依次类推，这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋，例如图 中红矩形和蓝矩形之间的距离很小。任何其他矩形以这种方式自相似排列，都会重叠或者在平面上留下很大缝隙。只有黄金矩形会趋向于铺满平面。
这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋 人体众多骨骼之所以被各个关节黄金分割，正是由于这些骨骼能够围成这种螺旋形状。
人体处于黄金分割的关节都是能够蜷缩的位置，如手指骨节、肘部、膝盖、颈部、腰腹等等，身体蜷缩时候，蜷缩点位于人体黄金分割——肚脐处。许多哺乳动物的关节都具有这种特点，这都是生物经过几十亿年进化的结果：让身体和四肢完全地蜷缩来抓住东西和自我保护，因此生物界选择了这种没有缝隙的蜷缩——黄金螺旋。
向日葵和菊花都满足这样的黄金螺旋排布，这样可以使单位面积内花瓣或种子排列数目最多。
按照黄金分割比例生长树枝和树叶，会使单位面积接收到最多的阳光，其原理与黄金螺旋相似，即能够布满平面的分形结构。
从上面几个例子的分析可以看出，“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”，是生物界自然选择的结果。不仅仅是生物界，在自然界，很多领坷都存在这种自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，太阳系间行星距离，海浪旋涡等等，都是黄金螺旋分形。
“分形”揭开玛雅文明消失之谜
大约1000年前，在今天的危地马拉境内有一座名为蒂卡尔的城池。这座拥有6万居民以及发达的贸易网络和繁荣昌盛的艺术文化的古城，是大名鼎鼎的玛雅文明的中心。数千年前，玛雅文明发展了天文学、象形文字以及复杂的历法体系，一度成为当时世界上最为发达的文明。然而，奇怪的是，辉煌灿烂的玛雅文明几乎在一夜之间就从地球上消失了。
尽管多年来科学界对于玛雅文明为何突然从人间蒸发的原因提出过诸如饥荒、战乱、气候变化、传染病、大屠杀等各种各样的假设，但时至今日还没有一个确定的结论。最近，美国的两位考古学家——克利夫德·布朗和沃尔特·维彻认为，他们或许已经找到了一种有望破解这一谜团的方法：分形。
布朗和维彻通过对玛雅城镇的地理分布进行分析发现：玛雅人定居点的布局呈现出特殊的分形图案。他们选择目前勘探最充分、位于墨西哥尤卡坦省境内的玛雅遗址区作为研究的重点。他们将公元800年～1000年问这一区域内的1000多个玛雅人定居点罗列成一张清单，并标出这些定居点所在的具体方位。然后，他们根据计算机程序制作的一张数字化地图，计算出了每个定居点的规模大小。在获得了定居点的方位与大小方面的数据后，再计算这一地区的分形维数数值。最终他们得出，墨西哥尤卡坦地区玛雅人定居点的分形维数为1．51。
布朗和维彻发现，一些突发事件：比如由战争或森林大火引发的灾难也可用分形维数来描述。而森林大火、雪崩、地震等自然灾害的发生又都与一种被称为“自组织临界性”的行为模式密切关联。
自组织临界系统的一个主要特征就是，随着时间的推移其稳定性会逐渐削弱，直至最后突然崩塌，回到起初的某种更加稳定的状态。不断增加沙粒的沙堆就是一个典型的自组织临界系统：随着沙粒的堆积，沙堆的斜率会不断增大，在此期间，可能会有数次小规模的崩塌使得沙堆的斜率略有减小，直至最后沙堆不堪重负，在一颗小沙粒的作用下彻底坍塌，重又回到起始状态。由此我们不难看出，在自组织临界系统中，即使看来无足轻重的因素也会引发灾难性的后果——玛雅文明的衰落或许也是如此。
有研究表明，玛雅文明时期，从小规模的袭击到城邦间的激烈冲突等，各种各样的战争曾经接连不断。在布朗和维彻看来，这也是自组织临界系统所具有的不稳定性的一种表现。
那么，导致玛雅社会像沙堆一样坍塌的内在驱动力又是什么呢?一种可能的答案就是——社会的进步。
有科学家发现，分形维数的数值似乎与社会资源利用率之间存在着一定的联系。比如一个社会系统的分形维数较低，就意味着该社会系统内的土地、贸易、政府机构以及劳动力等诸多资源的利用率还远没达到优化的标准，整个系统内还存在着大量的闲置资源。
英国诺丁汉大学考古学家和数学家对位于斯巴达城东部的古希腊遗址的研究也证实了这点。在公元前600年至公元600年间，该地区土地利用率的分形维数基本保持在0．7左右。而在此之后，随着时间的推移，相关的分形维数数值不断增长，最终达到了1。研究人员得出了以下结论：某一社会系统的分形维数数值越大，就意味着政治越稳定、经济结构越合理、各种资源的利用率也越高。
但是，对于一种自组织临界系统来说，其分形维数不可能保持无止境的增长。分形维数一旦超过某一临界值，将可能导致整个系统崩溃。比如，对于典型的自组织临界系统——由不断掉落的沙粒堆积而成的沙堆来说，一旦沙堆的斜率超过某个极限值，整个沙堆就会不可避免地发生坍塌。
与此相似，作为自组织临界系统一种的人类社会，随着其内部各种资源配置不断优化，利用率逐步提高，它总有一天也会达到一个临界点。到那时，即使所有可供利用的土地都被用于农业生产和建造房屋，也无法满足人们对于食物和住房的需求。社会一旦陷入这种状态，就容易爆发战争、饥荒等灾难，甚至走向灭亡。
所以，在布朗和维彻看来，玛雅文明的覆灭可能正是社会高度发展所带来的不稳定造成的恶果。在长达千年的时间里，玛雅社会也许经受了战乱、饥荒等种种灾难的打击，直至最后不堪重负彻底崩溃。
分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域也显示出非凡的作用，总有一天，分形艺术会登上大雅艺术殿堂的。
传说在浩渺无边的大洋上，有一座叫寇赫的小岛。在这座小岛的海岸上繁衍生息着许多快乐的生灵：鲸鱼、人类、鱼、浮游生物、底栖生物等。它们都是聪明伶俐的智慧生物，都自称自己才是寇赫岛的主人。他们的争吵打破小岛久远的宁静，直到引得上帝出来为他们仲裁。
上帝说：“你们中，谁能测量出寇赫岛的海岸线长度，谁便是小岛的主人。”众生灵于是兴致勃勃地投入到他们的测量工作中去。不久，鲸鱼、人类、鲅鱼、紫贻贝、霞水母、昆虫纷纷报上自己的测量数据。他们发现，大家的测量结果居然大相径庭。差异竟达到好几个数量级。但他们都坚信自己的测量结果才是正确的。
在他们争执不下时，上帝宣布：“所有的测量都正确。”
“可是?”众生灵不明白了，同样一座小岛之于不同的种类怎么会有如此大的测量差异?
“那是因为你们选择了不同精度的尺子测量的缘故。”
原来，海岸线是弯曲不平的，如果用精确度为千米的仪器测量，得到海岸线上两点A点到B点的距离是10千米，却忽略了小于10千米的曲折。如果用精确度为米的仪器，则会得到A点到B点的距离大于10千米的结果。如果选测量精确度为毫米甚至微米的仪器，则会有更小的曲折被测量到，而且这个长度的增加可随测量尺的精确度增加趋向无穷。所以，对于用小尺子测量的昆虫而言，它测量得出的海岸线长度远大于用大尺子测量的鲸鱼。
可见长度不是海岸线的定量特征，这时应当用分维来描述海岸线。因为海岸属于一种“自相似”的分形结构。
用不同精度的尺子测量海岛岸的长度将得到迥异的结果
分形与分维
著名理论物理学家约翰·惠勒说过，在过去，一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；在将来，一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。
何为分形?简单地说，分形就是研究无限复杂但具一定意义下的自相似结构的几何学。例如，一棵参天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没有什么大的区别，大树和树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系。观察一片树叶的叶脉，也有类似的性质。蕨类植物的叶片、人的肺部、雪花等，都是自然界的自相似分形结构。
对于一名画家而言，欧几里得几何学是他所不喜欢的。因为欧氏几何学探讨的对象是规则的形体，而真实的世界却并不规则。云彩不是球体，山峦不是锥体，海岸线也不是弧线，树皮并不是光滑的，闪电亦不是沿直线传播。自然界的许多事物是如此不规则和支离破碎，以致欧氏几何不能真实的描述大自然。如果说大自然是一位高超的数学家，她一定是根据分形几何学来创造这个世界的。
维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，把平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的；还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应,也容易确定维数。但这些都是整数的维数。
而分形理论认为：维数也可以是分数。
当我们画一条直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点：如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值呢?看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1(大于0，小于2)。
数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1～2之间。
对于我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小的线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算，“寇赫岛”曲线的维数是1．2618……
分形——大自然的密码
在畅销小说《达·芬奇密码》中，作者丹·布朗设计了大量与分形与黄金分割有关的密码线索。从开场卢浮宫馆长索尼埃临死前留下的那一串斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……到他将身体摆成的维特鲁维人图案；从基督教认为的“异教徒”符号，古老宗教中代表宇宙和谐之美的五角星，到《最后的晚餐》中象征耶稣和抹大拉之间象征圣杯图案的“V”字位置，都无一例外诠释了“黄金分割”——这个大自然最为神秘的“达·芬奇密码”。
斐波那契数列和黄金分割有什么联系呢?用数列中任意一项比前一项，1／1=1，2／1：2，3／2=1|5，5／3=1．666……，8／5=1．6，13／8=1 625，21门3=1 61538……我们发现，项数越大，这个比值越接近黄金数1 618。
树枝上的分杈数，大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数：例如百合为3，梅花5，桔梗常为8，金盏花13等等，玫瑰更是按着斐波那契数列由内而外排列。斐波那契数列也出现在松果上。如下图，一片片的鳞片在整粒松果上顺着两组螺旋线排列：一组呈顺时针螺旋，另一组为逆时针螺旋；顺时针螺旋的排列数目是8，而逆时针螺旋方向则为13。向日葵也是一样，常见的螺旋线数目为34及55，较大的向日葵的螺旋线数目为89及144，更大的甚至还有144及233，这些全都是斐波那契数列中相邻两项的数值。
除了植物世界外，在动物世界乃至我们人体本身，黄金分割更是不断地出现。从外观上看，大多出现在动物的形体中。
如：人四肢后肢与前肢的比，身高与肚脐到腿之间距离的比，甚至手指每一节骨头与后面一节骨头的比，都接近黄金数1．618。小说中提到的达·芬奇作品《维特鲁维人》就是严格按照人体的黄金分割比例绘制成的。
科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在1．6～117附近，黄金分割率“1．618”就落在这个区间内。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在的联系呢?
黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果把一条线段AB连接上它的黄金分割线段BC=0．618……×AB排列，BC再连接CD=0．618…×BC，无限下去，用等比数列求和公式很容易证明，线段的总长度为AB乘上黄金分数，即1．618…×AB。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。
那么，为什么自然界中的螺旋倾向于选择黄金螺旋呢?我们从黄金矩形出发，将黄金矩形每一个小矩形沿对角线向外移动1／2个边长，依次类推，这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋，例如图 中红矩形和蓝矩形之间的距离很小。任何其他矩形以这种方式自相似排列，都会重叠或者在平面上留下很大缝隙。只有黄金矩形会趋向于铺满平面。
这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋 人体众多骨骼之所以被各个关节黄金分割，正是由于这些骨骼能够围成这种螺旋形状。
人体处于黄金分割的关节都是能够蜷缩的位置，如手指骨节、肘部、膝盖、颈部、腰腹等等，身体蜷缩时候，蜷缩点位于人体黄金分割——肚脐处。许多哺乳动物的关节都具有这种特点，这都是生物经过几十亿年进化的结果：让身体和四肢完全地蜷缩来抓住东西和自我保护，因此生物界选择了这种没有缝隙的蜷缩——黄金螺旋。
向日葵和菊花都满足这样的黄金螺旋排布，这样可以使单位面积内花瓣或种子排列数目最多。
按照黄金分割比例生长树枝和树叶，会使单位面积接收到最多的阳光，其原理与黄金螺旋相似，即能够布满平面的分形结构。
从上面几个例子的分析可以看出，“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”，是生物界自然选择的结果。不仅仅是生物界，在自然界，很多领坷都存在这种自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，太阳系间行星距离，海浪旋涡等等，都是黄金螺旋分形。
“分形”揭开玛雅文明消失之谜
大约1000年前，在今天的危地马拉境内有一座名为蒂卡尔的城池。这座拥有6万居民以及发达的贸易网络和繁荣昌盛的艺术文化的古城，是大名鼎鼎的玛雅文明的中心。数千年前，玛雅文明发展了天文学、象形文字以及复杂的历法体系，一度成为当时世界上最为发达的文明。然而，奇怪的是，辉煌灿烂的玛雅文明几乎在一夜之间就从地球上消失了。
尽管多年来科学界对于玛雅文明为何突然从人间蒸发的原因提出过诸如饥荒、战乱、气候变化、传染病、大屠杀等各种各样的假设，但时至今日还没有一个确定的结论。最近，美国的两位考古学家——克利夫德·布朗和沃尔特·维彻认为，他们或许已经找到了一种有望破解这一谜团的方法：分形。
布朗和维彻通过对玛雅城镇的地理分布进行分析发现：玛雅人定居点的布局呈现出特殊的分形图案。他们选择目前勘探最充分、位于墨西哥尤卡坦省境内的玛雅遗址区作为研究的重点。他们将公元800年～1000年问这一区域内的1000多个玛雅人定居点罗列成一张清单，并标出这些定居点所在的具体方位。然后，他们根据计算机程序制作的一张数字化地图，计算出了每个定居点的规模大小。在获得了定居点的方位与大小方面的数据后，再计算这一地区的分形维数数值。最终他们得出，墨西哥尤卡坦地区玛雅人定居点的分形维数为1．51。
布朗和维彻发现，一些突发事件：比如由战争或森林大火引发的灾难也可用分形维数来描述。而森林大火、雪崩、地震等自然灾害的发生又都与一种被称为“自组织临界性”的行为模式密切关联。
自组织临界系统的一个主要特征就是，随着时间的推移其稳定性会逐渐削弱，直至最后突然崩塌，回到起初的某种更加稳定的状态。不断增加沙粒的沙堆就是一个典型的自组织临界系统：随着沙粒的堆积，沙堆的斜率会不断增大，在此期间，可能会有数次小规模的崩塌使得沙堆的斜率略有减小，直至最后沙堆不堪重负，在一颗小沙粒的作用下彻底坍塌，重又回到起始状态。由此我们不难看出，在自组织临界系统中，即使看来无足轻重的因素也会引发灾难性的后果——玛雅文明的衰落或许也是如此。
有研究表明，玛雅文明时期，从小规模的袭击到城邦间的激烈冲突等，各种各样的战争曾经接连不断。在布朗和维彻看来，这也是自组织临界系统所具有的不稳定性的一种表现。
那么，导致玛雅社会像沙堆一样坍塌的内在驱动力又是什么呢?一种可能的答案就是——社会的进步。
有科学家发现，分形维数的数值似乎与社会资源利用率之间存在着一定的联系。比如一个社会系统的分形维数较低，就意味着该社会系统内的土地、贸易、政府机构以及劳动力等诸多资源的利用率还远没达到优化的标准，整个系统内还存在着大量的闲置资源。
英国诺丁汉大学考古学家和数学家对位于斯巴达城东部的古希腊遗址的研究也证实了这点。在公元前600年至公元600年间，该地区土地利用率的分形维数基本保持在0．7左右。而在此之后，随着时间的推移，相关的分形维数数值不断增长，最终达到了1。研究人员得出了以下结论：某一社会系统的分形维数数值越大，就意味着政治越稳定、经济结构越合理、各种资源的利用率也越高。
但是，对于一种自组织临界系统来说，其分形维数不可能保持无止境的增长。分形维数一旦超过某一临界值，将可能导致整个系统崩溃。比如，对于典型的自组织临界系统——由不断掉落的沙粒堆积而成的沙堆来说，一旦沙堆的斜率超过某个极限值，整个沙堆就会不可避免地发生坍塌。
与此相似，作为自组织临界系统一种的人类社会，随着其内部各种资源配置不断优化，利用率逐步提高，它总有一天也会达到一个临界点。到那时，即使所有可供利用的土地都被用于农业生产和建造房屋，也无法满足人们对于食物和住房的需求。社会一旦陷入这种状态，就容易爆发战争、饥荒等灾难，甚至走向灭亡。
所以，在布朗和维彻看来，玛雅文明的覆灭可能正是社会高度发展所带来的不稳定造成的恶果。在长达千年的时间里，玛雅社会也许经受了战乱、饥荒等种种灾难的打击，直至最后不堪重负彻底崩溃。
分形几何冲击着不同的学术领域，她在艺术领域也显示出非凡的作用，总有一天，分形艺术会登上大雅艺术殿堂的。