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最近参加了市数学教学研讨会，听了一些课，发现数学教学中存在对大纲，考纲不熟，教材钻研深度不够，教学形式单一，教学效率低等问题，为此就如何钻研大纲、考纲，如何正确使用教材，如何创建高效教学平台等提出些看法，供大家参考．
1 以纲为据，把握教学方向
中学数学教学大纲(简称大纲)，高考数学《考试大纲》(简称考纲)规定了高中数学的教学内容，考试的性质、内容、要求以及对高考试卷结构比例等都有比较明确的界定，因此平时教学内容的确定、取舍不能随意删减、扩充、拓宽和加深，教学目标的制定不能任意拔高和降低．如高一2．7《反函数》(人教版下同)大纲和2004、2005、2006年考纲要求一致，即：了解反函数的概念，了解互为反函数的函数图象的关系，会求一此简单函数的反函数．第一课时主要是了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数，“了解”属于第一层次，了解反函数的概念主要是会用函数的概念或映射观点或用数形法判断一个简单函数是否存在反函数；知道原函数与反函数的定义域、值域的关系．“会求”属第二层次，必须掌握.它包括求的方法、求的技巧以及求解一个函数的反函数的操作步骤．对于《指数函数》中学数学教学大纲与2004、2005、2006年高考考纲要求一致：掌握指数函数的概念、图象和性质．“掌握”属第二层次，掌握指数函数的概念主要是指指数函数的结构特点，并能用此特点判断一个函数是否是指数函数；掌握指数函数的图象，主要掌握指数函数的特征：位置、形状、变化趋势，与定直线有何关系?掌握指数函数的性质主要是掌握指数函数的定义域、值域、单调性等并且应用指数函数的图象、性质解决相关的数学问题如比较大小等，对于《求函数解析式》大纲、考钢无明确提出，但与函数定义域、值域等同，和函数概念息息相关，是“理解”函数概念的具体内涵，而大纲2004年、2005年、2006年考纲要求透彻理解函数概念并解决相关问题,同时解决与函数有关的解题技巧和方法．求解函数解析式属其中的一种．
2 以材为源，优化教学内容
教材是知识、方法的重要载体，是历年高考试题的重要来源，精读教材，学习教材，创新地使用教材是获得高效学习的重要手段．
2．1精读教材，弄清不同教材的异同
高2004级使用的是人教社实验教材，与人教社正式教材有许多不同，如 指数函数)试验教材作函数y=2x和y=( 1 2 )x的图象突出了基本作法，正式教材增加了变换(翻折、平移)方法作函数图象，并且试验教材以及2003年出版(第一次印刷)两函数图象都做错了，对指数函数的性质，原有的a＞1时的x＞0y＞1，x＜00＜y＜1已删减．教学中既要让学生掌握作函数图象的基本法，更要让学生利用已知图象进行平移、翻折、伸缩等变换方法．
2．2挖掘教材，充分理解编者意图
读教材，分析教材，关键是挖掘教材，充分理解编者意图，才能正确使用教材．如《反函数》第一课，教学反函数概念后，如果一个函数存在反函数，怎样求其反函数呢?引导学生重新回到反函数的定义，让学生阅读，分析发现反函数的定义中蕴含求一个函数的反函数的方法和步骤．又如《指数函数》中作函数y=2x和y=( 1 2 )x函数值表格中体现了函数取值的对称性、操作性、可能性，同时渗透了两个函数图象关于y轴对称的思想，沟通了两种函数之间的关系．高二上第101页例5，重点讲椭圆的参数方程，其实还渗透了参数方程与普通方程的互化，参数方程中参变数的选择，范围的确定以及用几何方法如何画椭圆等功能．
2．3指导学生学习研究教材，修正教材
高一．上第104页双曲线及方程中教材给双曲线下的定义：“平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线”有什么不妥?怎样修正?大家讨论将“小于|F1F2|”改为“小于|F1F2|而大于零”，因为如果|F1F2|等于零，那么动点的轨迹应是这条线段的垂直平分线．同册第107页例3“因为爆炸点离A处离B处更远，所以爆炸点应靠处的一支上”是否正确?事实上，当680＜|AB|，则P在以A、B为焦点靠B点的一支曲线上；当680=|AB|，则P在AB的延长线上；又如高二上第95页例3，如图85，已知一个圆的圃心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P，向x轴作垂线段PP′，求线段PP′中点M的轨迹．结论是“教材求出轨迹方程为 x2 4 +y2=1，所求点的轨迹是一椭圃” ．引导学生阅读、分析研究教材后提问：求出的轨迹方程 x2 4 +y2=1是否科学?是否需要添加条件?线段PP′两端点重合后是否还是线段?如果不是，那么所求的轨迹应怎样?所求点M的轨迹是一个以原点为中心，坐标轴为对称轴，焦点在x轴上的椭圆(x轴上两顶点除外)．其实在学习中经常遇到同样问题，如直线与曲线相交，弦的中点问题等等，让很多教师、学生不适应，建议更改，在没改之前，强调以后类似问题按教材类似处理．
2．4 以材为源，重组教学内容
只要把握了大纲，考纲，深入透彻钻研了教材，教学内容的确定可以根据学情实际优化教学内容．如函数的解析式的求法，教材，大纲、考纲无明确规定，但定义域、值域，函数值与函数概念息息相关，是理解函数概念的具体内涵,教学了函数的概念后，学生对函数的对应法则、定义域，值域等有了一定认识后，为了更深入理解函数概念的内涵，透彻理解函数概念并解决相关问题，同时解决与函数有关的解题技巧和方法，求解函数解析式属其中的一种，因而有必要用一课时系统学习研究求解函数解析式的方法，有必要用一课时引导学生探索，发现求函数解析式常用的方法和技巧．
图1 又如教学《反函数》第一课时，教学一个函数的反函数概念，不一定按教材模式，可先复习映射、函数概念的基础上，突出函数概念的三要素：定义域、对应法则、值域，特别强调对应法则的方向性，如图1，对于任意的x∈A，按照对应法则f,在集合B的子集C中存在唯一的y与之对应，则y叫x的函数，即：y=f(x)；反之对于任意y∈C，按照对应法则φ，在A中部有唯一的x与之对应，则x叫y的函数，记做x=φ(x),我们把函数x=φ(x)叫做函数y=f(x)的反函数；比较对应法则f和对应法则φ，它们方向相反，所以对应法则φ又可记为f-1，从而函数y=f(x)的反函数(如果存在的话)可表示为x=f-1(x)…….
3 以人为本，构建高效、和谐教学平台
以人为本，就是以学生为本，即是学生的发展为本，学生是数学学习的主人，教师是学生学习的组织者，引导者，合作者．
3．1 采取有效的教学方式，调动学生学习的积
极性，培养学生学习数学的兴趣 有效的学习方式不单纯依靠简单的模仿，记忆，而动手操作，动手实践，动眼观察，动口交流，动脑分析的综合参与过程，才是学生学习最有效的学习方式．如教学《指数函数》时，利用达依尔宰发明国际象棋荣获国王奖励导入指数函数，引入、设疑、激趣，使学生尽快地投入学习活动中去；教学反函数时如果从函数概念、映射出发，善于抓住“函数”旧知与“反函数”新知识的生长点“映射”这一要素导入新课，使学生感到新课不新，新知识不难，从而减缓了学习的坡度和难度，提高学生学习数学的主动性和积极性．教学《求函数解析式》如果充分抓住学生年龄特征和认识规律，从举例，到提问，再到练习反馈都遵循具体—抽象—再具体这一原则，从而使学生感性认识很快上升到理性认识．
3．2 尊重学生，关注学生
教学是一个双边的教与学活动，教师的教是为了学生的学习，尊重学生，关注学生就是关注学生学习过程中的各种信息，及时调控教学的节奏，进度和深难度．教学《指数函数》时，学生与教师一道探索了指数函数的特征后，出示反馈练习题中一题“函数y=2-x”是指数函数吗?学生对是否是指数函数感到迷茫，老师忽视这个重要的信息，而一带而过，让学生的上课思维停留在此地，不利于学生学习和掌握后继知识．教学《反函数》时，所有函数都存在反函数吗?不存在请举一个反例？学生举例函数y=x4，为什么?学生部分知道，但不一定能说清理由，若提问任一个函数都存在反函数吗?不一定‘在所学过函数中举一个反例说明?
y=x2，为什么?因为x=1时，y有两值1和-1与之对应?还可以怎么说?借助学生已有的图象显然，还可借助映射观加以否定?理解某一数学概念就应从不同的方面去理解，才是真正意义上的理解，同时也蕴含了数形结合思想以及否定一个命题的方法．
实现分层教学，是尊重学生，关注学生，即体现以人为本的具体形式之一，将各种层次的练习题实行A，B，C…，让各种层次不同学生都有不同层次的收益，充分挖掘学生的学习潜能，就是“大众”数学即“大众”教育，是新课标的重要精髓，因此新课的练习应不仅具有层次性、多样性、趣味性、科学性，而且针对信息量、思维量和深度提出了不同要求，让不同层次学生得到最大收益．同时教学还应设计选择性练习等教学预案把教学中可能出现的尽力想到．但是分层教学还应从信息反馈分层，设计提问分层，动手操作分层，动口交流分层，以及动脑分折分层等等．教学《指数函数》时，作函数y=2x和y=( 1 2 )x图象时，可针对实际提问怎样作函数的图象?作函数象时应该突出什么?大部分学生都能采用基本方法即：列表、描点、连线作出函数图象，但更应掌握列表、描点、连线的技巧和方法，还可引导学生观察、分析教材表格，从中发现规律即函数y=2x和y=( 1 2 )x自变量的取值互为相反数时，函数值相等，说明什么?说明两个函数的图象关于y轴对称，实现了a＞1和0＜a＜1的和谐统一.
3.3 师生、生生交流的机会是否多?
信息交流是否及时、全面、流畅．新教材、新课标强调新的教学理念，教学理念简单地说就是对教学活动的理性认识，新的教学理念突出两个字“动”与“活”．“动”除了引导、创建学生动手、动口、动眼、动耳、动脑各种感官参与外，更多的是在课堂教学中创建生生互动、师生互动和谐平台，其实每节数学课生生、师生互动的机会很多，如通过实例引入y=2x和y=0.84x后问?是函数吗?是所学的一次函数、二次函数、反比例函数吗?如果不是?那肯定是一个新函数，有什么新特点?试着给它命名，为了研究这类函数的普遍性，对新函数做些什么研究?(从三要素出发)大家思考?分别研究、举例验证，延拓推扩，这实质是个例分析、猜想、验证、应用的一种科学探索的常用方法和步骤，其中分析、比较、判别、研究、验证、推广是体现生生互动、师生互动的大好时机，也是教师组织者、引导者、合作者的最好体现，老师要想方设法创建宽松、和谐互动氛围，才能收到意想不到的教学效果，“活”指教师教学方法活，传授知识、技能活，教学思路清晰而充满活力，学生课内、课外敢想，敢说、敢问，敢操作(实践)，课堂学习思维活跃，学习、讨论、交流、研究氛围浓厚，让课堂处处充满生机和活力．设疑激趣，创设思考问题的情境实质上是提供“活”重要的平台之一，让学生在轻松、愉快的探索、发现、验证，总结规律，应用规律解决实际问题．
只有理解和掌握了大纲和考纲，才能正确把握正确的教学方向；也只有精读教材，分析教材，研究教材，才能创新地使用教材，才能发挥教材的功能和作用；以人为本，充分调动学生学习的积极性，才能达到理想的教学效果．
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1 以纲为据，把握教学方向
中学数学教学大纲(简称大纲)，高考数学《考试大纲》(简称考纲)规定了高中数学的教学内容，考试的性质、内容、要求以及对高考试卷结构比例等都有比较明确的界定，因此平时教学内容的确定、取舍不能随意删减、扩充、拓宽和加深，教学目标的制定不能任意拔高和降低．如高一2．7《反函数》(人教版下同)大纲和2004、2005、2006年考纲要求一致，即：了解反函数的概念，了解互为反函数的函数图象的关系，会求一此简单函数的反函数．第一课时主要是了解反函数的概念，会求一些简单函数的反函数，“了解”属于第一层次，了解反函数的概念主要是会用函数的概念或映射观点或用数形法判断一个简单函数是否存在反函数；知道原函数与反函数的定义域、值域的关系．“会求”属第二层次，必须掌握.它包括求的方法、求的技巧以及求解一个函数的反函数的操作步骤．对于《指数函数》中学数学教学大纲与2004、2005、2006年高考考纲要求一致：掌握指数函数的概念、图象和性质．“掌握”属第二层次，掌握指数函数的概念主要是指指数函数的结构特点，并能用此特点判断一个函数是否是指数函数；掌握指数函数的图象，主要掌握指数函数的特征：位置、形状、变化趋势，与定直线有何关系?掌握指数函数的性质主要是掌握指数函数的定义域、值域、单调性等并且应用指数函数的图象、性质解决相关的数学问题如比较大小等，对于《求函数解析式》大纲、考钢无明确提出，但与函数定义域、值域等同，和函数概念息息相关，是“理解”函数概念的具体内涵，而大纲2004年、2005年、2006年考纲要求透彻理解函数概念并解决相关问题,同时解决与函数有关的解题技巧和方法．求解函数解析式属其中的一种．
2 以材为源，优化教学内容
教材是知识、方法的重要载体，是历年高考试题的重要来源，精读教材，学习教材，创新地使用教材是获得高效学习的重要手段．
2．1精读教材，弄清不同教材的异同
高2004级使用的是人教社实验教材，与人教社正式教材有许多不同，如 指数函数)试验教材作函数y=2x和y=( 1 2 )x的图象突出了基本作法，正式教材增加了变换(翻折、平移)方法作函数图象，并且试验教材以及2003年出版(第一次印刷)两函数图象都做错了，对指数函数的性质，原有的a＞1时的x＞0y＞1，x＜00＜y＜1已删减．教学中既要让学生掌握作函数图象的基本法，更要让学生利用已知图象进行平移、翻折、伸缩等变换方法．
2．2挖掘教材，充分理解编者意图
读教材，分析教材，关键是挖掘教材，充分理解编者意图，才能正确使用教材．如《反函数》第一课，教学反函数概念后，如果一个函数存在反函数，怎样求其反函数呢?引导学生重新回到反函数的定义，让学生阅读，分析发现反函数的定义中蕴含求一个函数的反函数的方法和步骤．又如《指数函数》中作函数y=2x和y=( 1 2 )x函数值表格中体现了函数取值的对称性、操作性、可能性，同时渗透了两个函数图象关于y轴对称的思想，沟通了两种函数之间的关系．高二上第101页例5，重点讲椭圆的参数方程，其实还渗透了参数方程与普通方程的互化，参数方程中参变数的选择，范围的确定以及用几何方法如何画椭圆等功能．
2．3指导学生学习研究教材，修正教材
高一．上第104页双曲线及方程中教材给双曲线下的定义：“平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线”有什么不妥?怎样修正?大家讨论将“小于|F1F2|”改为“小于|F1F2|而大于零”，因为如果|F1F2|等于零，那么动点的轨迹应是这条线段的垂直平分线．同册第107页例3“因为爆炸点离A处离B处更远，所以爆炸点应靠处的一支上”是否正确?事实上，当680＜|AB|，则P在以A、B为焦点靠B点的一支曲线上；当680=|AB|，则P在AB的延长线上；又如高二上第95页例3，如图85，已知一个圆的圃心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P，向x轴作垂线段PP′，求线段PP′中点M的轨迹．结论是“教材求出轨迹方程为 x2 4 +y2=1，所求点的轨迹是一椭圃” ．引导学生阅读、分析研究教材后提问：求出的轨迹方程 x2 4 +y2=1是否科学?是否需要添加条件?线段PP′两端点重合后是否还是线段?如果不是，那么所求的轨迹应怎样?所求点M的轨迹是一个以原点为中心，坐标轴为对称轴，焦点在x轴上的椭圆(x轴上两顶点除外)．其实在学习中经常遇到同样问题，如直线与曲线相交，弦的中点问题等等，让很多教师、学生不适应，建议更改，在没改之前，强调以后类似问题按教材类似处理．
2．4 以材为源，重组教学内容
只要把握了大纲，考纲，深入透彻钻研了教材，教学内容的确定可以根据学情实际优化教学内容．如函数的解析式的求法，教材，大纲、考纲无明确规定，但定义域、值域，函数值与函数概念息息相关，是理解函数概念的具体内涵,教学了函数的概念后，学生对函数的对应法则、定义域，值域等有了一定认识后，为了更深入理解函数概念的内涵，透彻理解函数概念并解决相关问题，同时解决与函数有关的解题技巧和方法，求解函数解析式属其中的一种，因而有必要用一课时系统学习研究求解函数解析式的方法，有必要用一课时引导学生探索，发现求函数解析式常用的方法和技巧．
图1 又如教学《反函数》第一课时，教学一个函数的反函数概念，不一定按教材模式，可先复习映射、函数概念的基础上，突出函数概念的三要素：定义域、对应法则、值域，特别强调对应法则的方向性，如图1，对于任意的x∈A，按照对应法则f,在集合B的子集C中存在唯一的y与之对应，则y叫x的函数，即：y=f(x)；反之对于任意y∈C，按照对应法则φ，在A中部有唯一的x与之对应，则x叫y的函数，记做x=φ(x),我们把函数x=φ(x)叫做函数y=f(x)的反函数；比较对应法则f和对应法则φ，它们方向相反，所以对应法则φ又可记为f-1，从而函数y=f(x)的反函数(如果存在的话)可表示为x=f-1(x)…….
3 以人为本，构建高效、和谐教学平台
以人为本，就是以学生为本，即是学生的发展为本，学生是数学学习的主人，教师是学生学习的组织者，引导者，合作者．
3．1 采取有效的教学方式，调动学生学习的积
极性，培养学生学习数学的兴趣 有效的学习方式不单纯依靠简单的模仿，记忆，而动手操作，动手实践，动眼观察，动口交流，动脑分析的综合参与过程，才是学生学习最有效的学习方式．如教学《指数函数》时，利用达依尔宰发明国际象棋荣获国王奖励导入指数函数，引入、设疑、激趣，使学生尽快地投入学习活动中去；教学反函数时如果从函数概念、映射出发，善于抓住“函数”旧知与“反函数”新知识的生长点“映射”这一要素导入新课，使学生感到新课不新，新知识不难，从而减缓了学习的坡度和难度，提高学生学习数学的主动性和积极性．教学《求函数解析式》如果充分抓住学生年龄特征和认识规律，从举例，到提问，再到练习反馈都遵循具体—抽象—再具体这一原则，从而使学生感性认识很快上升到理性认识．
3．2 尊重学生，关注学生
教学是一个双边的教与学活动，教师的教是为了学生的学习，尊重学生，关注学生就是关注学生学习过程中的各种信息，及时调控教学的节奏，进度和深难度．教学《指数函数》时，学生与教师一道探索了指数函数的特征后，出示反馈练习题中一题“函数y=2-x”是指数函数吗?学生对是否是指数函数感到迷茫，老师忽视这个重要的信息，而一带而过，让学生的上课思维停留在此地，不利于学生学习和掌握后继知识．教学《反函数》时，所有函数都存在反函数吗?不存在请举一个反例？学生举例函数y=x4，为什么?学生部分知道，但不一定能说清理由，若提问任一个函数都存在反函数吗?不一定‘在所学过函数中举一个反例说明?
y=x2，为什么?因为x=1时，y有两值1和-1与之对应?还可以怎么说?借助学生已有的图象显然，还可借助映射观加以否定?理解某一数学概念就应从不同的方面去理解，才是真正意义上的理解，同时也蕴含了数形结合思想以及否定一个命题的方法．
实现分层教学，是尊重学生，关注学生，即体现以人为本的具体形式之一，将各种层次的练习题实行A，B，C…，让各种层次不同学生都有不同层次的收益，充分挖掘学生的学习潜能，就是“大众”数学即“大众”教育，是新课标的重要精髓，因此新课的练习应不仅具有层次性、多样性、趣味性、科学性，而且针对信息量、思维量和深度提出了不同要求，让不同层次学生得到最大收益．同时教学还应设计选择性练习等教学预案把教学中可能出现的尽力想到．但是分层教学还应从信息反馈分层，设计提问分层，动手操作分层，动口交流分层，以及动脑分折分层等等．教学《指数函数》时，作函数y=2x和y=( 1 2 )x图象时，可针对实际提问怎样作函数的图象?作函数象时应该突出什么?大部分学生都能采用基本方法即：列表、描点、连线作出函数图象，但更应掌握列表、描点、连线的技巧和方法，还可引导学生观察、分析教材表格，从中发现规律即函数y=2x和y=( 1 2 )x自变量的取值互为相反数时，函数值相等，说明什么?说明两个函数的图象关于y轴对称，实现了a＞1和0＜a＜1的和谐统一.
3.3 师生、生生交流的机会是否多?
信息交流是否及时、全面、流畅．新教材、新课标强调新的教学理念，教学理念简单地说就是对教学活动的理性认识，新的教学理念突出两个字“动”与“活”．“动”除了引导、创建学生动手、动口、动眼、动耳、动脑各种感官参与外，更多的是在课堂教学中创建生生互动、师生互动和谐平台，其实每节数学课生生、师生互动的机会很多，如通过实例引入y=2x和y=0.84x后问?是函数吗?是所学的一次函数、二次函数、反比例函数吗?如果不是?那肯定是一个新函数，有什么新特点?试着给它命名，为了研究这类函数的普遍性，对新函数做些什么研究?(从三要素出发)大家思考?分别研究、举例验证，延拓推扩，这实质是个例分析、猜想、验证、应用的一种科学探索的常用方法和步骤，其中分析、比较、判别、研究、验证、推广是体现生生互动、师生互动的大好时机，也是教师组织者、引导者、合作者的最好体现，老师要想方设法创建宽松、和谐互动氛围，才能收到意想不到的教学效果，“活”指教师教学方法活，传授知识、技能活，教学思路清晰而充满活力，学生课内、课外敢想，敢说、敢问，敢操作(实践)，课堂学习思维活跃，学习、讨论、交流、研究氛围浓厚，让课堂处处充满生机和活力．设疑激趣，创设思考问题的情境实质上是提供“活”重要的平台之一，让学生在轻松、愉快的探索、发现、验证，总结规律，应用规律解决实际问题．
只有理解和掌握了大纲和考纲，才能正确把握正确的教学方向；也只有精读教材，分析教材，研究教材，才能创新地使用教材，才能发挥教材的功能和作用；以人为本，充分调动学生学习的积极性，才能达到理想的教学效果．
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文