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[摘要]在数学教学过程中对思维能力的培养,可以发展学生的思维品质,把教学过程变为教会学生学习的过程,不仅可以将被动学习变为主动学习,使学生获得学习的乐趣,跳出题海。还可以很好地提高教学质量,使教师轻松愉快。而对学生“一题多解、一题多变、多题归一”数学思维方法的训练,就是较好的途径。本文就以巧构“三线八角”解两直线平行来例谈个人浅见。
[关键词]思维能力培养;“三线八角”;“一题多变”;多题归一;变式学习
两直线平行的问题是几何的基本内容,它在几何中占有重要的地位。而“三线八角”知识却是解决这种问题的基础,我们可以通过“三线八角”架桥铺路,使用平行线的有关知识巧解问题。
熟识“三线八角”
所谓“三线八角”是指平面上两条直线被第三条直线所截以及在此过程中形成的八个角.要想灵活应用“三线八角”知识,首先要正确识记“三线八角”,而分清两条被截线和一条截线(“三线”)又是前提.
例1:如图1,∠EOB和∠EMD,∠AOE和∠CNF是同位角吗?∠MON和∠OMN是内错角吗?
解:∠EOB和∠EMD是直线AB和CD被直线EM所截形成的同位角.但是∠AOE和∠CNF不是同位角,因为不存在“三线”条件(截线不同).∠MON和∠OMN是直线ON和MN被直线EM所截形成的同旁内角.
启示:当图形比较复杂时,我们可以采用“视而不见”法只抽出我们需要的“三线”.
巧构“三线八角”
当熟练识记“三线八角”后,我们可以通过构造它来解决很多关于平行的问题,下面举例探讨.
例2:如图,已知AB∥CD,猜想图2、图3、图4中∠B、∠BED、∠D之间有什么关系?请用等式表示出它们的关系,并证明其中一个等式.
下面且以图2为例进行解析
解:∠B+∠D=∠BED
证法一:如图5,过点E作EF∥AB
∴∠B+∠BEF=180°,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°
而∠BED+∠BEF+∠FED=360°
即∠B+∠D=∠BED.
启示:作被截线构造同旁内角
证法二:如图6,过点E作EF∥AB
∴∠B=∠BEF(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠D(两直线平行,内错角相等),
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED
即∠B+∠D=∠BED.
启示:作被截线构造内错角
证法三:如图7,延长BE交CD于点F
∵AB∥CD,
∴∠B=∠EFD(两直线平行,内错角相等)
而∠BED=∠D+∠EFD,
即∠B+∠D=∠BED.
启示:延长截线构造内错角
证法四:如图7,延长BE交CD于点F
∵AB∥CD,
∴∠B+∠BFC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
而∠BFC=∠FED+∠D
∠FED+∠BED=180°,
即∠B+∠D=∠BED.
启示:延长截线构造同旁内角
证法五:如图8,连接BD
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠BDC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
而∠EBD+∠BDE+∠BED=180°
∠ABD=∠ABE+∠EBD,∠BDC=∠BDE+∠EDC
∴∠ABE+∠EDC=∠BED
启示:作截线构造同旁内角
证法六:如图9,过点E作直线DM交AB于点F
∵AB∥CD,
∴∠MFA=∠D(两直线平行,同位角相等)
而∠BED=∠BFE+∠B,∠MFA=∠BFE
即∠B+∠D=∠BED.
启示:延长截线构造同位角
例3:如图2、图3、图4,当∠B、∠BED、∠D之间有何数量关系时,AB∥CD?
启示:例2中图3、图4乃是图2的变式图形,例3是例2的变式题型,解题方法相同.
例4:如图10,已知AB∥CD,∠A=100°,∠C=120°,则∠CEF=__°.
解析:通过如图11和图12等巧构“三线八角”的方法很容易解得∠CEF=40°.
在上面的所有例子里,只有“两直线平行的性质和条件”这个知识点,而其却可以从“同位角、内错角、同旁内角”三个角度入手,且每个角度又可以以其不同的构成方法入手,在简单中渐进发展;在探索中寻求创新。这也说明了机械、被动、死记硬背、模仿式的学习方法已经大大阻碍了学生学习能力的发展。因此只有教师引导学生弄清原理,使学生思路清晰、触类旁通,就可以逐步拓展学生思维能力,达到轻松学习、快乐学习的效果。
[关键词]思维能力培养;“三线八角”;“一题多变”;多题归一;变式学习
两直线平行的问题是几何的基本内容,它在几何中占有重要的地位。而“三线八角”知识却是解决这种问题的基础,我们可以通过“三线八角”架桥铺路,使用平行线的有关知识巧解问题。
熟识“三线八角”
所谓“三线八角”是指平面上两条直线被第三条直线所截以及在此过程中形成的八个角.要想灵活应用“三线八角”知识,首先要正确识记“三线八角”,而分清两条被截线和一条截线(“三线”)又是前提.
例1:如图1,∠EOB和∠EMD,∠AOE和∠CNF是同位角吗?∠MON和∠OMN是内错角吗?
解:∠EOB和∠EMD是直线AB和CD被直线EM所截形成的同位角.但是∠AOE和∠CNF不是同位角,因为不存在“三线”条件(截线不同).∠MON和∠OMN是直线ON和MN被直线EM所截形成的同旁内角.
启示:当图形比较复杂时,我们可以采用“视而不见”法只抽出我们需要的“三线”.
巧构“三线八角”
当熟练识记“三线八角”后,我们可以通过构造它来解决很多关于平行的问题,下面举例探讨.
例2:如图,已知AB∥CD,猜想图2、图3、图4中∠B、∠BED、∠D之间有什么关系?请用等式表示出它们的关系,并证明其中一个等式.
下面且以图2为例进行解析
解:∠B+∠D=∠BED
证法一:如图5,过点E作EF∥AB
∴∠B+∠BEF=180°,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°
而∠BED+∠BEF+∠FED=360°
即∠B+∠D=∠BED.
启示:作被截线构造同旁内角
证法二:如图6,过点E作EF∥AB
∴∠B=∠BEF(两直线平行,内错角相等),
∵AB∥CD
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠D(两直线平行,内错角相等),
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED
即∠B+∠D=∠BED.
启示:作被截线构造内错角
证法三:如图7,延长BE交CD于点F
∵AB∥CD,
∴∠B=∠EFD(两直线平行,内错角相等)
而∠BED=∠D+∠EFD,
即∠B+∠D=∠BED.
启示:延长截线构造内错角
证法四:如图7,延长BE交CD于点F
∵AB∥CD,
∴∠B+∠BFC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
而∠BFC=∠FED+∠D
∠FED+∠BED=180°,
即∠B+∠D=∠BED.
启示:延长截线构造同旁内角
证法五:如图8,连接BD
∵AB∥CD,
∴∠ABD+∠BDC=180°(两直线平行,同旁内角互补)
而∠EBD+∠BDE+∠BED=180°
∠ABD=∠ABE+∠EBD,∠BDC=∠BDE+∠EDC
∴∠ABE+∠EDC=∠BED
启示:作截线构造同旁内角
证法六:如图9,过点E作直线DM交AB于点F
∵AB∥CD,
∴∠MFA=∠D(两直线平行,同位角相等)
而∠BED=∠BFE+∠B,∠MFA=∠BFE
即∠B+∠D=∠BED.
启示:延长截线构造同位角
例3:如图2、图3、图4,当∠B、∠BED、∠D之间有何数量关系时,AB∥CD?
启示:例2中图3、图4乃是图2的变式图形,例3是例2的变式题型,解题方法相同.
例4:如图10,已知AB∥CD,∠A=100°,∠C=120°,则∠CEF=__°.
解析:通过如图11和图12等巧构“三线八角”的方法很容易解得∠CEF=40°.
在上面的所有例子里,只有“两直线平行的性质和条件”这个知识点,而其却可以从“同位角、内错角、同旁内角”三个角度入手,且每个角度又可以以其不同的构成方法入手,在简单中渐进发展;在探索中寻求创新。这也说明了机械、被动、死记硬背、模仿式的学习方法已经大大阻碍了学生学习能力的发展。因此只有教师引导学生弄清原理,使学生思路清晰、触类旁通,就可以逐步拓展学生思维能力,达到轻松学习、快乐学习的效果。