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【摘 要】 复习课是数学教学的一个重要环节，它是对已学完的某一部分内容进行的一次系统、全面的回顾与总结，以达到构建数学知识的结构体系、完善师生的数学认知结构、提高综合能力的目的.通过对一节初中数学教师关于“一元二次方程解法复习课”的“三看三思”，探讨了一元二次方程解法复习课中的教学定势，指出教师在教学中应该注重对知识、教学习惯的反思.
【关键词】 教学定势；配方法；教学反思
复习课是数学教学的一个重要环节，在数学中具有丰富的教育教学功能.一元二次方程方程是初中数学的重要内容，解一元二次方程更是这一章的核心内容.在一元二次方程解法中体现着方程、转化、分类讨论等数学思想方法，是培养学生形成创造性思维的重要载体[1].但是，在实际教学中，由于教师过分依赖教学参考书，习惯于照搬教材内容，缺乏课后反思习惯等，导致自身的教学处于“无意识”状态，教师常常变成了“教参”发言人，教案简单重复者.调查显示[2]，在一元二次方程解法的复习中，初三数学教师虽然重视公式、解法的运用，但往往只停留在对教材表面的理解和是否成为中考的考点上，教师容易陷入完全依赖教材、复习资料，照本宣科的讲解与复习，使得学生机械重复的“学”，整个课堂缺乏生气与活力，缺乏智慧与思维的挑战，缺乏新的启示与发展.本文通过对一堂初中数学教师关于“一元二次方程解法复习课”的“三看三思”，探讨一元二次方程解法复习教学中存在的思维定势，以及教师应在教学中不断反思、不断提升自己的专业素养.1 一看“直接开平方法”，反思“教师思维深度”
直接开平方法是一元二次方程解法的第一课，是关于最简单、最特殊一元二次方程的一种解法，其优点在于学生是建立在二次根式学习之后，能通俗易懂地接受与掌握这种方法.其表现形式为：如果方程能化成x2=p或（mx n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx n=±p.其中，当遇到特殊的一元二次方程（例如x2 6x 9=2）时，教师通常讲解采用“配凑”的方式，得到第二种形式（mx n）2=p，至此问题得到解决.由于直接开平方法简洁的内容、固定的形式，导致无论是新课的教学，还是初三的复习课，教师仅机械地强调对形式x2=p的记忆和套用，而缺乏对直接开平方法深度的思考与探索，表现出教学中教师思维的固化和浅思考.
反思直接开平方法，是否只能解决这种最简单、最特殊一元二次方程呢？特别地，对于一般一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）能否采用直接采用开平方法呢？注意到形式x2=p的方程，其特点是只有二次项和常数项，缺乏一次项.那么对于一般形式的一元二次方程，要想继续采用直接开平方法解决，我们就需要“消去”一般式中的一次项bx，进一步说是为了消去一次项系数，结合消元的思想，我们采用换元法，做出如下推导：
设x=y t，则一般式化为ay2 （2at b）y at2 bt c=0.
令2at b=0，则t=-b2a，上式化为ay2 -b2 4ac4a=0，
那么ay2=b2-4ac4a，最终x=y t=-b±b2-4ac2a.
至此问题得到解决，一般式一元二次方程在直接开平方法中得到处理.再审视一下解题过程，采用消元思想消除一元二次方程中的一次项，转化为直接开平方法的形式，联系一元三次方程（ax3 bx2 cx d=0）的解法，我们依然采用了换元法消去二次项bx2，再逐步转化为二次方程，最终问题得到解决.沿着方程次数增加的思路，一元四次方程转化为一元三次方程，最后依然归结为一元二次方程的解决，让直接开平方法焕发出无限的活力.
“能否采用不同的方式推导方程x2=p的结果呢”，联想解高次方程的一般思路——降幂，于是我们产生了分解因式的念头，利用平方差公式a2-b2=（a b）（a-b），将原方程化为（x p）（x-p）=0，得到x=±p.“能否在其他题目利用这种方法呢”，当三次方程x3=p时，类似地采用立方差公式a3-b3=（a-b）（a2 ab b2），归纳方程xn=p的形式，采用an-bn=（a-b）（an-1 … bn-1），最终该类问题得到解决.
直接开平方法作为一元二次方程解法中的第一种方法，由于在教材中内容“单薄”，往往导致教师缺乏对其进行深入的研究和思考，而进行大量机械地重复训练或不惜增大训练难度，让课堂常常变得寡淡无味.在实际教学中，教师这种固化、浅思考的不良教学习惯基本是经过多种因素影响，且长时间淬炼而形成的，是阻碍教师的自我成长和新课程改革发展的“拦路虎”[3].因此，教师需要把一些“习以为常”的教学过程作为思考对象，重新认识教学内容、教学方法是否可以再发展、再优化，形成教学反思视角深度化，正如加涅所强调的“成长为专家型教师需要培养教师对问题深入表征的能力和较强的自我监控、自我反思的能力”.2 二看“配方法”，反思“教师思维广度”
继直接开平方法之后，教材介绍了解决“x2 6x-16=0”类型的一元二次方程解法——配方法，其本质是通过配成完全平方的形式，把一元二次方程进行降次，转化为两个一元一次方程来解.当遇到一般式一元二次方程ax2 bx c=0时，其中二次项系数不是1时，教师通常总结出如下解题模板：（1）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，化简为x2 bax=-ca；（2）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x2 bax b2a2=-ca b2a2；（3）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，即x b2a2=b2-4ac4a2；（4）进一步通过直接开平方法求出方程的解.据调查[4]：很多学生表示，方程中字母太多、运算量大，公式结构复杂，主要靠死记硬背，不知公式从何而来.特别的是第二个步骤中，多数学生难以理解“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”，學生主观上抵触配方法，教学效果也往往不尽人意，采用配方法解方程正确率仅约为4.17%. 由于教师对配方法解题模板的总结，学生在采用配方法解方程时，似乎仅仅注意到对方程的变形、转化，而忽略了配方法中配凑的过程与目的，陷入了盲目、繁琐的计算中.反思配方法的出发点与目的，为了达到对一元二次方程ax2 bx c=0的配方，我们需要将其配凑成完全平方形式，即a2±2ab b2=（a±b）2.那么，在实际教学中，首先就可以向学生展示用配方法的目的，即为了将ax2 bx c=0配成完全平方，只需要将方程左边配凑成a2±2ab b2形式即可.依据这个想法，我们就不一定要把二次项系数化成1，并且将产生多种配方法，例如：
方法一 方程左右两边乘以a，化为a2x2 abx ac=0，移项，再配方，得到a2x2 abx b22=b22-ac，则有ax b22=b2-4ac4.此配方法避免了原配方法关于b2-4ac4a2开平方对4a2所产生的符号问题.
方法二 方程左右两边乘以4a，化为4a2x2 4abx 4ac=0，移项，再配方，得到4a2x2 4abx b2=b2-4ac，则有2ax b2=b2-4ac.此配方法起源于古印度（约公元前1025年），配方过程中减少了分式的产生，计算简便快捷，最重要的是在配方过程中自然产生了根的判别式b2-4ac，为教材之后的求根公式法铺垫，避免了教学中出现“先有b2-4ac4a2，再提出判别式b2-4ac”.
方法三 追求一般性，容易配方得到4n2a2x2 4n2abx n2b2=n2b2-4n2ac，即2nax nb2=n2b2-4n2ac.
方法四 采用待定系数法进行配方，设ax2 bx c=a（x m）2 n，即ax2 bx c=ax2 2amx am2 n，易求得m=b2a，n=4ac-b24a，那么配方结果即ax b2a2 4ac-b24a=0.反复的看已有配方结果，可以归纳出它们均呈现“a（x m）2 n”的形式，由此采用待定系数法进行配方，配方出的“ax b2a2 4ac-b24a”结果，将有助于为初三课程“二次函数解析式”的学习打好铺垫.
完形心理学认为，人认识事物一般总是从整体开始的，强调以整体的结构来逐步深入认识事物[5].在上面例子中，我们先从整体上认识配方法的理论基础（a2±2ab b2=（a±b）2），这种态度便为各类形式的配方指明了目标和方向，此时，人脑中可以产生出各种配方法的具体事例，并又在大量事例中逐渐归纳出一般性事例.整个过程学生思维将完全被激活，从知识经验的初步认识，到实际验证与归纳总结，数学思维自然地流淌，学生得到真正的发展与成长.相比较于常规教学中对配方法“解题模板”的机械记忆与应用，学生被牵着鼻子走，反应出教师思维广度不够，教学思考不足.3 三看“公式法与韦达定理”，反思“教师思维灵活度”
通过配方法推导出一元二次方程求根公式（x1，2=-b±b2-4ac2a），通过求根公式归纳出韦达定理（x1 x2=-ba，x1·x2=ca），这是初中一元二次方程教学的固定环节，也是一元二次方程解法的最后一环.没有教师再考虑“利用韦达定理能否推导出求根公式”，即使在粗略的思考下，通过条件x1 x2=-ba，x1·x2=ca，要解出x1，x2，采用“习以为常”的带入消元法，最终只能回到原点ax2 bx c=0（a≠0），而无法求出两根x1，x2，至此问题解决也即宣告结束.
反思我们“习以为常”的思路，要求出两根x1，x2必须要两个方程，我们便直接利用条件x1 x2=-ba，x1·x2=ca，最终回到了原点ax2 bx c=0.重新制定解题思路，“能否改变已知数据，得到新已知数据和未知量彼此更接近呢”，于是尝试改变已有条件方程，构造新的关于x1，x2的方程.通过恒等变形，我们构建出如下思路：
因为（x1-x2）2=x21-2x1·x2 x22=（x1 x2）2-4x1·x2，且x1 x2=-ba，x1·x2=ca，所以（x1-x2）2=b2-4aca2，结合x1 x2=-ba，求得x1=-b b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a.
整齐划一的教材编排、统一步调的教学计划、习以为常的教学方法往往使得我们忽视对课堂的深刻反思，教师普遍存在“教学定势”.4 结语
通过对“一元二次方程解法”课堂的“三看三思”，我们看到数学知识不是孤立的单点或离散的片段，解题方法也不仅是表面的一招一式.作为教学中成熟已久的“一元二次方程解法复习课”，由于教师缺乏对知识、方法的反思，容易形成一种“习惯性”的教学定势.因此，教师业务水平的提高，需要坚持在每一课中不断反思与总结，从而让自身知识、教学观念、教学技能不断成长起来.
参考文献
[1]刘玉波.一元二次方程求根公式的推导及其教育价值[J].福建中学数学，2013（3）：30-31.
[2]毛贤伟.一元二次方程求根公式教学难点及推导策略浅谈[J].考试周刊，2015（80）：50-51.
[3]谷木荣.教师不良教学习惯的反思与审视[J].教育科学论坛，2014（7）：17-19.
[4]吴颖.“用配方法推导一元二次方程的求根公式”教学设计[J].中国数学教育（初中），2016（6）：16-19.
[5]李士锜.PME：数学教育心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2011.
作者简介 杨超（1993—），男，四川达州人，教育硕士，主要从事数学教学研究.
王新民（1962—），男，甘肅敦煌人，教授，研究生导师，主要从事数学教育与数学文化研究.
【关键词】 教学定势；配方法；教学反思
复习课是数学教学的一个重要环节，在数学中具有丰富的教育教学功能.一元二次方程方程是初中数学的重要内容，解一元二次方程更是这一章的核心内容.在一元二次方程解法中体现着方程、转化、分类讨论等数学思想方法，是培养学生形成创造性思维的重要载体[1].但是，在实际教学中，由于教师过分依赖教学参考书，习惯于照搬教材内容，缺乏课后反思习惯等，导致自身的教学处于“无意识”状态，教师常常变成了“教参”发言人，教案简单重复者.调查显示[2]，在一元二次方程解法的复习中，初三数学教师虽然重视公式、解法的运用，但往往只停留在对教材表面的理解和是否成为中考的考点上，教师容易陷入完全依赖教材、复习资料，照本宣科的讲解与复习，使得学生机械重复的“学”，整个课堂缺乏生气与活力，缺乏智慧与思维的挑战，缺乏新的启示与发展.本文通过对一堂初中数学教师关于“一元二次方程解法复习课”的“三看三思”，探讨一元二次方程解法复习教学中存在的思维定势，以及教师应在教学中不断反思、不断提升自己的专业素养.1 一看“直接开平方法”，反思“教师思维深度”
直接开平方法是一元二次方程解法的第一课，是关于最简单、最特殊一元二次方程的一种解法，其优点在于学生是建立在二次根式学习之后，能通俗易懂地接受与掌握这种方法.其表现形式为：如果方程能化成x2=p或（mx n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx n=±p.其中，当遇到特殊的一元二次方程（例如x2 6x 9=2）时，教师通常讲解采用“配凑”的方式，得到第二种形式（mx n）2=p，至此问题得到解决.由于直接开平方法简洁的内容、固定的形式，导致无论是新课的教学，还是初三的复习课，教师仅机械地强调对形式x2=p的记忆和套用，而缺乏对直接开平方法深度的思考与探索，表现出教学中教师思维的固化和浅思考.
反思直接开平方法，是否只能解决这种最简单、最特殊一元二次方程呢？特别地，对于一般一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）能否采用直接采用开平方法呢？注意到形式x2=p的方程，其特点是只有二次项和常数项，缺乏一次项.那么对于一般形式的一元二次方程，要想继续采用直接开平方法解决，我们就需要“消去”一般式中的一次项bx，进一步说是为了消去一次项系数，结合消元的思想，我们采用换元法，做出如下推导：
设x=y t，则一般式化为ay2 （2at b）y at2 bt c=0.
令2at b=0，则t=-b2a，上式化为ay2 -b2 4ac4a=0，
那么ay2=b2-4ac4a，最终x=y t=-b±b2-4ac2a.
至此问题得到解决，一般式一元二次方程在直接开平方法中得到处理.再审视一下解题过程，采用消元思想消除一元二次方程中的一次项，转化为直接开平方法的形式，联系一元三次方程（ax3 bx2 cx d=0）的解法，我们依然采用了换元法消去二次项bx2，再逐步转化为二次方程，最终问题得到解决.沿着方程次数增加的思路，一元四次方程转化为一元三次方程，最后依然归结为一元二次方程的解决，让直接开平方法焕发出无限的活力.
“能否采用不同的方式推导方程x2=p的结果呢”，联想解高次方程的一般思路——降幂，于是我们产生了分解因式的念头，利用平方差公式a2-b2=（a b）（a-b），将原方程化为（x p）（x-p）=0，得到x=±p.“能否在其他题目利用这种方法呢”，当三次方程x3=p时，类似地采用立方差公式a3-b3=（a-b）（a2 ab b2），归纳方程xn=p的形式，采用an-bn=（a-b）（an-1 … bn-1），最终该类问题得到解决.
直接开平方法作为一元二次方程解法中的第一种方法，由于在教材中内容“单薄”，往往导致教师缺乏对其进行深入的研究和思考，而进行大量机械地重复训练或不惜增大训练难度，让课堂常常变得寡淡无味.在实际教学中，教师这种固化、浅思考的不良教学习惯基本是经过多种因素影响，且长时间淬炼而形成的，是阻碍教师的自我成长和新课程改革发展的“拦路虎”[3].因此，教师需要把一些“习以为常”的教学过程作为思考对象，重新认识教学内容、教学方法是否可以再发展、再优化，形成教学反思视角深度化，正如加涅所强调的“成长为专家型教师需要培养教师对问题深入表征的能力和较强的自我监控、自我反思的能力”.2 二看“配方法”，反思“教师思维广度”
继直接开平方法之后，教材介绍了解决“x2 6x-16=0”类型的一元二次方程解法——配方法，其本质是通过配成完全平方的形式，把一元二次方程进行降次，转化为两个一元一次方程来解.当遇到一般式一元二次方程ax2 bx c=0时，其中二次项系数不是1时，教师通常总结出如下解题模板：（1）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1，并把常数项移到方程右边，化简为x2 bax=-ca；（2）方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x2 bax b2a2=-ca b2a2；（3）把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，即x b2a2=b2-4ac4a2；（4）进一步通过直接开平方法求出方程的解.据调查[4]：很多学生表示，方程中字母太多、运算量大，公式结构复杂，主要靠死记硬背，不知公式从何而来.特别的是第二个步骤中，多数学生难以理解“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”，學生主观上抵触配方法，教学效果也往往不尽人意，采用配方法解方程正确率仅约为4.17%. 由于教师对配方法解题模板的总结，学生在采用配方法解方程时，似乎仅仅注意到对方程的变形、转化，而忽略了配方法中配凑的过程与目的，陷入了盲目、繁琐的计算中.反思配方法的出发点与目的，为了达到对一元二次方程ax2 bx c=0的配方，我们需要将其配凑成完全平方形式，即a2±2ab b2=（a±b）2.那么，在实际教学中，首先就可以向学生展示用配方法的目的，即为了将ax2 bx c=0配成完全平方，只需要将方程左边配凑成a2±2ab b2形式即可.依据这个想法，我们就不一定要把二次项系数化成1，并且将产生多种配方法，例如：
方法一 方程左右两边乘以a，化为a2x2 abx ac=0，移项，再配方，得到a2x2 abx b22=b22-ac，则有ax b22=b2-4ac4.此配方法避免了原配方法关于b2-4ac4a2开平方对4a2所产生的符号问题.
方法二 方程左右两边乘以4a，化为4a2x2 4abx 4ac=0，移项，再配方，得到4a2x2 4abx b2=b2-4ac，则有2ax b2=b2-4ac.此配方法起源于古印度（约公元前1025年），配方过程中减少了分式的产生，计算简便快捷，最重要的是在配方过程中自然产生了根的判别式b2-4ac，为教材之后的求根公式法铺垫，避免了教学中出现“先有b2-4ac4a2，再提出判别式b2-4ac”.
方法三 追求一般性，容易配方得到4n2a2x2 4n2abx n2b2=n2b2-4n2ac，即2nax nb2=n2b2-4n2ac.
方法四 采用待定系数法进行配方，设ax2 bx c=a（x m）2 n，即ax2 bx c=ax2 2amx am2 n，易求得m=b2a，n=4ac-b24a，那么配方结果即ax b2a2 4ac-b24a=0.反复的看已有配方结果，可以归纳出它们均呈现“a（x m）2 n”的形式，由此采用待定系数法进行配方，配方出的“ax b2a2 4ac-b24a”结果，将有助于为初三课程“二次函数解析式”的学习打好铺垫.
完形心理学认为，人认识事物一般总是从整体开始的，强调以整体的结构来逐步深入认识事物[5].在上面例子中，我们先从整体上认识配方法的理论基础（a2±2ab b2=（a±b）2），这种态度便为各类形式的配方指明了目标和方向，此时，人脑中可以产生出各种配方法的具体事例，并又在大量事例中逐渐归纳出一般性事例.整个过程学生思维将完全被激活，从知识经验的初步认识，到实际验证与归纳总结，数学思维自然地流淌，学生得到真正的发展与成长.相比较于常规教学中对配方法“解题模板”的机械记忆与应用，学生被牵着鼻子走，反应出教师思维广度不够，教学思考不足.3 三看“公式法与韦达定理”，反思“教师思维灵活度”
通过配方法推导出一元二次方程求根公式（x1，2=-b±b2-4ac2a），通过求根公式归纳出韦达定理（x1 x2=-ba，x1·x2=ca），这是初中一元二次方程教学的固定环节，也是一元二次方程解法的最后一环.没有教师再考虑“利用韦达定理能否推导出求根公式”，即使在粗略的思考下，通过条件x1 x2=-ba，x1·x2=ca，要解出x1，x2，采用“习以为常”的带入消元法，最终只能回到原点ax2 bx c=0（a≠0），而无法求出两根x1，x2，至此问题解决也即宣告结束.
反思我们“习以为常”的思路，要求出两根x1，x2必须要两个方程，我们便直接利用条件x1 x2=-ba，x1·x2=ca，最终回到了原点ax2 bx c=0.重新制定解题思路，“能否改变已知数据，得到新已知数据和未知量彼此更接近呢”，于是尝试改变已有条件方程，构造新的关于x1，x2的方程.通过恒等变形，我们构建出如下思路：
因为（x1-x2）2=x21-2x1·x2 x22=（x1 x2）2-4x1·x2，且x1 x2=-ba，x1·x2=ca，所以（x1-x2）2=b2-4aca2，结合x1 x2=-ba，求得x1=-b b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a.
整齐划一的教材编排、统一步调的教学计划、习以为常的教学方法往往使得我们忽视对课堂的深刻反思，教师普遍存在“教学定势”.4 结语
通过对“一元二次方程解法”课堂的“三看三思”，我们看到数学知识不是孤立的单点或离散的片段，解题方法也不仅是表面的一招一式.作为教学中成熟已久的“一元二次方程解法复习课”，由于教师缺乏对知识、方法的反思，容易形成一种“习惯性”的教学定势.因此，教师业务水平的提高，需要坚持在每一课中不断反思与总结，从而让自身知识、教学观念、教学技能不断成长起来.
参考文献
[1]刘玉波.一元二次方程求根公式的推导及其教育价值[J].福建中学数学，2013（3）：30-31.
[2]毛贤伟.一元二次方程求根公式教学难点及推导策略浅谈[J].考试周刊，2015（80）：50-51.
[3]谷木荣.教师不良教学习惯的反思与审视[J].教育科学论坛，2014（7）：17-19.
[4]吴颖.“用配方法推导一元二次方程的求根公式”教学设计[J].中国数学教育（初中），2016（6）：16-19.
[5]李士锜.PME：数学教育心理学[M].上海：华东师范大学出版社，2011.
作者简介 杨超（1993—），男，四川达州人，教育硕士，主要从事数学教学研究.
王新民（1962—），男，甘肅敦煌人，教授，研究生导师，主要从事数学教育与数学文化研究.