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运动是人们生活中普遍见到的现象,运动的过程有三个关联的量:运动的速度、时间和路程。它们之间有一个基本的关系:路程=速度×时间,由此形成一类独特的数学问题:行程问题。小学阶段涉及这一类问题比较简单,而初中阶段基本可以分为相遇问题和追及问题,它既有一定的复杂性,又包含了一定的数学思想和解题方法。
相遇与追及问题可以分为不同的类型。按运动的路线,可以分为环型和直线型;按运动的时间,可以分为连续型和间断型;按运动量的个数,可以分为两个或多个运动的量;按运动的方式,可以分为单一的相遇或追及,多次的相遇或追及,混合的相遇和追及。解决这类问题的关键,是分清运动的方式是相遇还是追及。初中阶段解答这类问题,主要运用方程的思想,借助一元一次方程的概念及解法,采取设未知数列方程的方法解答。
类型1:单一的直线型相遇问题
例1.甲列车从A地在开往B地,速度是60千米/小时,乙列车同时从B地开往A地,速度是90千米/小时,已知A、B两地相距200千米,两车相遇点离A地有多远?
简析:两车相遇点离A地的距离,即为甲车的行驶距离,故只要求出甲车行驶的时间即可。设两车行驶x时相遇,则列方程得:(60+90)x=200. 解之得:x=■,故两车的相遇点离A地的距离为60×■=80千米。
类型2:单一的环形问题
例2.甲乙二人在210米长的环形跑道上练习长跑,甲的速度为4米/秒,乙的速度为3米/秒,问每隔多长时间二人会合一次?
简析:这是单一的环形问题,但有相遇和追及的两种可能。如果甲乙中一人顺时针跑步,而另一人逆时针跑步,则每次会合时必定面对面,是相遇问题;如果甲乙二者顺时针或都逆时针跑步,则会合时必定同方向,是追及问题。在每次相遇过程中,二人共同跑完一圈,路程之和为210米。设每次相遇用时为x秒,则列方程得:(4+3)x=210.解之得:x=30,故甲乙二人每隔30秒面对面会合。
在每次追及过程中,甲跑得快,乙跑得慢,甲总比乙多跑一圈,二人的路程差为400米,设每次追及用时为y秒,则列方程得:(4-3)y=210.解之得:y=210,故甲乙二人每隔210秒同方向会合。
类型3:混合型直线问题
例3.甲乙二人分别后,沿着铁轨反向而行,此时一列火车匀速向甲迎面驶来,列车在甲身旁用了15秒;然后在乙身旁开过用了17秒,已知二人步行速度都是3.6千米/时,求这列火车的长度?
简析:混合型直线问题,既有相遇,也有追及,一方面是甲与火车尾的相遇。起初二者之间的距离为火车的长度,经历15秒;另一方面火车尾追乙,起初二者之间的距离为火车的长度,经历17秒。由于火车的车速和长度都不变,故可设火车的速度为x米/秒,则列方程得:
15(x+■)=17(x-■)
解之得x=16,故火车的长度为15×17=255米。
类型4:开放型行程问题
例4.育红学校七年级学生步行到郊外旅行,(1)班学生组成前队,步行速度为4千米/时,(2)班学生组成后队,速度为6千米/时,前队出发一小时后,后队出发,同时一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络,他骑自行车的速度为12千米/时。根据以上事实提出问题,并尝试解答。
这是北师大版七年级上册中编排的一道应用题,是在学习了一元一次方程的解法后,为巩固和应用而设计的一道开放型行程问题。由于有三个运动的量,既有相遇,也有追及,且变化前后又联系紧密,要想准确地解答这一问题,必须对运动过程详加分析,既要从细节上详述,是哪二者之间的什么运动(联络员与(1)班学生之间的追及,联络员又回头与(2)班学生的相遇),又要对运动过程加以想象,以后又怎样(再经历第二次追及和相遇,接着经历第三次,……),还要从整体上把握,最终结果如何((2)班学生追上(1)班学生,联络员也停止联络,三者汇集在一起,结束相遇和追及)。这样才能明确提出问题,如:
问题一:联络员出发后多长时间可追上(1)班学生?追上后立即返回,又要多长时间与(2)班学生相遇?
简析:追及过程中,起初二者之间的距离为6×1千米,设该时间为x时,则列方程得:12x-4x=4×1.解之得:x=■,即■时后联络员可首次追上(1)班学生。
而在相遇过程中,由于联络员追一(下转第184页)(上接第120页)班学生走了12×千米,同时(2)班学生也走了6×■千米,故在这一相遇过程中二者共同运动初时之间的距离为12×■-6×■千米,设联络员又需y时可遇到(2)班学生,则列方程得:12y+6y=12×■-6×■.解之得:y=■,即联络员又需■时可首次遇到(2)班学生。
上面的解答,所提问题明确,计算也较容易,当然也可计算出首次会合的地点及各自所走的路程,还可以据此计算出以后各次运动过程中的各个量。注意到问题的趣味性,结合实际,作如下变化:设想郊游的是王爷爷和王奶奶,而进行联络的是他家的小狗(其它条件不变),则学生会觉得更加贴近生活,形象生动易于理解。这样,教师也完全可以提出下面的问题:
问题二:联络员从出发到与两班会合,共走了多少路程?
简析:如分开求联络员各次追及或相遇过程中的路程,明显不易。如从整体上考虑,联络员在不停地走,只要求出走的时间即可,而这一时间为(2)班学生追上(1)班学生的时间,故可设(2)班学生经过z时可追上(1)班学生,则:6z-4z=4×1,得z=2,故联络员共走了12×2=24千米。
通过以上例题,学生掌握了行程问题的基本规律,又结合现实生活解答了疑难,体现了教学源于生活,又服务于生活。学生带着问题学习数学,在教学中寻找规律,在生活中发现数学,在兴趣中学习数学,才能学好数学,用好数学。
相遇与追及问题可以分为不同的类型。按运动的路线,可以分为环型和直线型;按运动的时间,可以分为连续型和间断型;按运动量的个数,可以分为两个或多个运动的量;按运动的方式,可以分为单一的相遇或追及,多次的相遇或追及,混合的相遇和追及。解决这类问题的关键,是分清运动的方式是相遇还是追及。初中阶段解答这类问题,主要运用方程的思想,借助一元一次方程的概念及解法,采取设未知数列方程的方法解答。
类型1:单一的直线型相遇问题
例1.甲列车从A地在开往B地,速度是60千米/小时,乙列车同时从B地开往A地,速度是90千米/小时,已知A、B两地相距200千米,两车相遇点离A地有多远?
简析:两车相遇点离A地的距离,即为甲车的行驶距离,故只要求出甲车行驶的时间即可。设两车行驶x时相遇,则列方程得:(60+90)x=200. 解之得:x=■,故两车的相遇点离A地的距离为60×■=80千米。
类型2:单一的环形问题
例2.甲乙二人在210米长的环形跑道上练习长跑,甲的速度为4米/秒,乙的速度为3米/秒,问每隔多长时间二人会合一次?
简析:这是单一的环形问题,但有相遇和追及的两种可能。如果甲乙中一人顺时针跑步,而另一人逆时针跑步,则每次会合时必定面对面,是相遇问题;如果甲乙二者顺时针或都逆时针跑步,则会合时必定同方向,是追及问题。在每次相遇过程中,二人共同跑完一圈,路程之和为210米。设每次相遇用时为x秒,则列方程得:(4+3)x=210.解之得:x=30,故甲乙二人每隔30秒面对面会合。
在每次追及过程中,甲跑得快,乙跑得慢,甲总比乙多跑一圈,二人的路程差为400米,设每次追及用时为y秒,则列方程得:(4-3)y=210.解之得:y=210,故甲乙二人每隔210秒同方向会合。
类型3:混合型直线问题
例3.甲乙二人分别后,沿着铁轨反向而行,此时一列火车匀速向甲迎面驶来,列车在甲身旁用了15秒;然后在乙身旁开过用了17秒,已知二人步行速度都是3.6千米/时,求这列火车的长度?
简析:混合型直线问题,既有相遇,也有追及,一方面是甲与火车尾的相遇。起初二者之间的距离为火车的长度,经历15秒;另一方面火车尾追乙,起初二者之间的距离为火车的长度,经历17秒。由于火车的车速和长度都不变,故可设火车的速度为x米/秒,则列方程得:
15(x+■)=17(x-■)
解之得x=16,故火车的长度为15×17=255米。
类型4:开放型行程问题
例4.育红学校七年级学生步行到郊外旅行,(1)班学生组成前队,步行速度为4千米/时,(2)班学生组成后队,速度为6千米/时,前队出发一小时后,后队出发,同时一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络,他骑自行车的速度为12千米/时。根据以上事实提出问题,并尝试解答。
这是北师大版七年级上册中编排的一道应用题,是在学习了一元一次方程的解法后,为巩固和应用而设计的一道开放型行程问题。由于有三个运动的量,既有相遇,也有追及,且变化前后又联系紧密,要想准确地解答这一问题,必须对运动过程详加分析,既要从细节上详述,是哪二者之间的什么运动(联络员与(1)班学生之间的追及,联络员又回头与(2)班学生的相遇),又要对运动过程加以想象,以后又怎样(再经历第二次追及和相遇,接着经历第三次,……),还要从整体上把握,最终结果如何((2)班学生追上(1)班学生,联络员也停止联络,三者汇集在一起,结束相遇和追及)。这样才能明确提出问题,如:
问题一:联络员出发后多长时间可追上(1)班学生?追上后立即返回,又要多长时间与(2)班学生相遇?
简析:追及过程中,起初二者之间的距离为6×1千米,设该时间为x时,则列方程得:12x-4x=4×1.解之得:x=■,即■时后联络员可首次追上(1)班学生。
而在相遇过程中,由于联络员追一(下转第184页)(上接第120页)班学生走了12×千米,同时(2)班学生也走了6×■千米,故在这一相遇过程中二者共同运动初时之间的距离为12×■-6×■千米,设联络员又需y时可遇到(2)班学生,则列方程得:12y+6y=12×■-6×■.解之得:y=■,即联络员又需■时可首次遇到(2)班学生。
上面的解答,所提问题明确,计算也较容易,当然也可计算出首次会合的地点及各自所走的路程,还可以据此计算出以后各次运动过程中的各个量。注意到问题的趣味性,结合实际,作如下变化:设想郊游的是王爷爷和王奶奶,而进行联络的是他家的小狗(其它条件不变),则学生会觉得更加贴近生活,形象生动易于理解。这样,教师也完全可以提出下面的问题:
问题二:联络员从出发到与两班会合,共走了多少路程?
简析:如分开求联络员各次追及或相遇过程中的路程,明显不易。如从整体上考虑,联络员在不停地走,只要求出走的时间即可,而这一时间为(2)班学生追上(1)班学生的时间,故可设(2)班学生经过z时可追上(1)班学生,则:6z-4z=4×1,得z=2,故联络员共走了12×2=24千米。
通过以上例题,学生掌握了行程问题的基本规律,又结合现实生活解答了疑难,体现了教学源于生活,又服务于生活。学生带着问题学习数学,在教学中寻找规律,在生活中发现数学,在兴趣中学习数学,才能学好数学,用好数学。