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[摘要]数学课程标准提出“学生的数学学习内容应当是现实的,有意义的,富有挑战性的,这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”美国耶鲁大学罗伯特·斯腾伯格的思维三元理论指出,思维可划分为分析性思维、创造性思维和实用性思维三个层面。初中数学教学中蕴涵着丰富的逻辑思维、形象思维、直觉思维、辩证思维,它们是形成新课程理念下学生创新思维的重要基础。本文以浙教版教材中“想一想”为内容,就培养学生思维的敏捷性、思维的批判性、思维的广阔性、思维的发散性、思维的严谨性、思维的独创性展开阐述。
[关键词 ]“想一想” 培养 数学思维
在义务教育课程浙江版标准实验教科书中,每个数学知识点的教学编排都配有图文并茂的问题情境、恰当设置的“想一想” ,引导学生反思,引导学生学会解决问题的策略、思想与方法,可谓以动制静,为学生提供了主体参与、积极探索、大胆实践、勇于创新的学习环境,它是引导学生发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性地解决问题的有效途径。如何让“想一想”成为学生借以培养数学思维之源,有待于教师对教材中“想一想”问题的挖掘与再创造,有待于学生对教材中“想一想”问题的探索与再发现。现结合本人的教学实践经验,就如何利用教材中的“想一想” 培养学生数学思维,谈谈自己的一些做法。
一、发展学生的敏捷性思维
思维的敏捷性是指思维活动的快慢程度。它表现为在遇到问题时,善于迅速辨别蛛丝马迹,敏捷捕捉解题信息,引起联想;思维过程受阻时善于随机应变,转换策略,选择解题方法,以最快的速度求出正确答案;在思考问题时,能把握问题的本质,能对题意做出快速反应。
课例1:如图1,在△ACB和△A′C′B′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,AC=A′C′,求证:△ACB≌△A′C′B′。(浙教版教材八年级上册P45)
证明:∵∠1=∠2=90°,
∴B,C,B′在同一条直线上,且AC⊥BB′。
∵AB=A′B′,
∴BC=B′C′(等腰三角形三线合一)。
∵AC=A′C′(公共边),
∴Rt△ACB≌Rt△A′C′B′(SSS)。
“想一想”:你还有其他说理的方法吗?
分析:已知两个三角形具备对应相等的三个条件,但不符合判定三角形全等的定理(SAS,SSS,ASA),只利用现有的条件能否创造全等条件,再进行启发。
解法二:∵∠C=∠C′=90°,
∴AB2=AC2+BC2 ,A′B′2=A′B′2+B′C′2 ,
∴BC2=AB2-AC2,B′C′2=A′B′2-A′C′2 。
又∵AB=A′B′,AC=A′C′,
而由BC2=B′C′2 可知BC=B′C′,
在△ABC与△A′B′C′中, AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)。
解法三:同解法(二)的前提下,
在△ABC与△A′B′C′中, AC=A′C′∠C=∠C′,BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)。
教师要善于引导学生进行合理而又丰富的联想,沟通知识之间的纵横联系,融会贯通地运用知识,引导学生多角度思考问题,进行一题多解的训练。只有持之以恒,才能培养学生思维的敏捷性。
二、培养学生的批判性思维
思维的批判性是指思考问题时不受别人暗示的影响,能严格而客观地评价和检查思维的结果,冷静地分析结果的利弊是非,有主见地评价事物的思维品质。在教学中,教师要积极地培养学生善于鉴别问题的可能性,注意引导学生不拘一格地活跃思路,鼓励他们对问题进行独立推测、猜想,认真检验自己提出的假设,去伪存真,不但有助于学生掌握题目的科学性标准,形成严谨的科学治学态度,而且有助于培养思维的批评性。
课例2:利用二次函数的图像求方程x2+x-1=0的近似解。(浙教版教材九年级上册P50)
解:设y=x2+x-1,则方程x2+x-1=0的解就是该函数图像与x轴交点的横坐标。在直角坐标系中画出函数y=x2+x-1的图像,得到与x轴的交点为A,B,则点A,B的横坐标x1,x2就是方程的解。观察图,得到点A的横坐标x1≈0.6,点B的横坐标x2≈-1.6。所以方程x2+x-1=0的近似解为x1≈0.6,x2≈-1.6。
“想一想”:将x=0.6和 x=-1.6代入,其值分别是多少?
略解:当x=0.6时,x2+x-1=-0.04;
当x=-1.6时,x2+x-1=-0.04,通过验证,让学生了解二次函数ax2+bx+c=0(a≠0)的图像与x轴的交点的横坐标x1、x2就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。因此,我们可以通过解方程ax2+bx+c=0(a≠0)来求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的坐标;反过来,也可以由y=ax2+bx+c的图像来求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解。也可以看成函数y=x2+x与y=1图像交点的横坐标,甚至也可以看做抛物线y=x2与直线y=1-x交点的横坐标。教学时可引导学生不断创新。
三、培养学生的广阔性思维
思维的广阔性是指思维发挥作用的广阔程度。它表现为在解决问题时,能全方位地分析问题,而不是顾此失彼;在思考问题时善于联想,会多方面、多角度地周密思考,善于沟通问题与问题之间的纵横联系和演变能力,在更深、更广的领域内挖掘知识的内在规律,探究问题的纵横延伸,寻找解决问题的方法。
课例3:七年级(2)班有45人报名参加了文学社或书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人,两个社都参加的有20人,问参加书画社的有多少人。(浙教版教材八年级下册P133)
解:设参加书画社的有x人,那么参加文学社的有(x+5)人。
根据题意,得x+(x+5)-20=45。
解这个方程,得x=30(人)。
答:参加书画社的有30人。
“想一想”:图3中,哪一部分的面积表示只参加文学社的人数?
此题通过让学生辨析单独参加文学社的人数,单独参加书画社的人数和两项都参加的人数,深入理解数量间的关系,培养学生的广阔性思维。
四、培养学生的发散性思维
发散性思维是指与集中思维相对的一种思维方式。发散思维对问题从不同角度进行探索,从不同层面进行分析,因而视野开阔,思维活跃,可以产生出大量的独特的新思想。所以,培养学生的发散思维,一定要吃透问题,把握问题实质,打破思维定式,改变单一的思维方式,运用联想、想象、猜想、推想等尽量地拓展思路,从问题的各个角度、各个方面、各个层次进行或顺向、或逆向、或纵向、或横向的灵活而敏捷的思考,从而获得众多的方案或假设。
课例4:如图4,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,已知∠B=60°,AD=15,AB=45,求BC的长。(浙教版教材八年级下册P149)
解:延长BA、CD相交于点E,
∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C。
又∵∠B=∠C且∠B=60°,
∴∠EDA=∠EAD=60°,
∴△AED、△EBC是等边三角形,
∴EA=AD=15,
∴BC=EB=EA+AB=15+45=60。
“想一想”:本例还有其他解法吗?
在教学中,我给予学生自主思考,并答应5分钟后让学生发表自己的观点,学生兴趣盎然,解法令人鼓舞。
解法二:过D点作DE平行AB,交BC于E(或平移AB至DE),证明△DEC是正三角形,四边形ABED是平行四边形,得BC=AB+AD=45+15=60。
解法三:分别过A、D点作AF、DE垂直BC,交点分别为F、E,证明在Rt△DEC与Rt△AFB中DE=0.5DC,BF=0.5AB,得BC=BF+AD+EC=22.5+15+22.5=60。
解法四:过C点作CE平行AB交AD的延长线于E(或平移AB至CE),证明四边形ABED是平行四边形,△DEC是正三角形,得BC=DE+AD=45+15=60。
由此可见,此题解法并非唯一,教师要善于引导,耐心期待,在求解的过程中,学生的思维才能得以发散,从发散性的思维中让学生了解解法的多变性,让不同的学生得到不同的发展。
五、发展学生的严谨性思维
数学思维的严谨性是数学学科的基本特点,是指学生在思考问题时言必有据,严谨认真解决数学问题的习惯;考虑问题时,全面、周密而不遗漏的思考习惯。教学中能发展学生的严谨性思维,对于学生形成严密的逻辑思维能力和科学、踏实的求知态度具有积极意义。
解:方程的两边同乘以10,得2x-5(3-2x)=10x,
去括号,得2x-15+10x=10x,
移项,得2x+10x-10x=15,
合并同类项,得2x=15,
“想一想”:去分母时,方程的两边应同时乘以一个怎样的数?
从本例可以看到,去分母、去括号、移项、合并同类项等都是方程变形的常用方法,去分母、移项的依据是等式的性质,教学时要让学生充分思考得出:去分母时,方程的两边应同时乘以一个不等于零的数,且能使去分母运算简便的数。
可见,数学概念、定理、法则等都具有非常的严谨性,教学时,教师要善于引导学生明察秋毫,乐于反思,养成良好的严谨思维品质。
六、发展学生的独创性思维
独创性是指思维活动的方式不仅善于求同,更善于求异。这种创造性思维的特点,表现在概念的掌握与理解之上,不仅能将新知识、新概念同化到已有的概念和知识系统中去,而且能利用新知识、新概念去改造旧概念;表现在解决问题时,不因循守旧,而是融会贯通,凭借已有的知识和技能去探索未知的新知识、新技能,甚至创造新事物。
课例6:一次数学实践活动的内容是测量河宽,如图5所示,即测量A,B之间的距离。同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C,在C处测得∠C=30°。量出AC的长,它就是河宽(即A,B之间的距离)。这个方法正确吗?请说明理由。(浙教版教材八年级上册P29)
“想一想”:你还有其他测量方法吗?
解法二:如图6,满足AO=OC,∠DCO=90°,证明:Rt△BAO≌Rt△DCO,测量CD长,即为AB长。
解法三:如图7,作DE∥AC,测量AD、AC、DE长,利用相似变换知识求出AB长。
解法四:如图8,过BA的延长线取一点C,过C作CE⊥BC,且使∠E=45°,即AB=BC-AC=EC-AC。
利用学生已有知识,让学生综合思考、建构数学模型,找到解决问题的新思路、新方法,有利于学生独创性思维的培养与发展。
综上所述,学生的数学思维品质是一个统一整体,各个组成部分相辅相成,彼此渗透,互相促进,互为补充,不可偏废。在教学过程中,教师要凭借教材、挖掘教材,将它们有机地结合起来,有目的、有计划地强化思维训练,培养学生良好的数学思维品质。只有这样,我们才能在真正意义上适应新课标对数学教学的要求,使学生的思维品质在数学学习中得到充分的培养。
参考文献
[1]黄新民.初中数学课堂创新教学理论与实践[M].杭州:浙江大学出版社.
[2]赵海燕.思维教学[M].北京:中国轻工业出版社.
[3]范良火.浙教版教材数学教材7-9[M].杭州:浙江教育出版社.
[4]网络文章.《浅谈学生数学思维品质的培养》等.
[关键词 ]“想一想” 培养 数学思维
在义务教育课程浙江版标准实验教科书中,每个数学知识点的教学编排都配有图文并茂的问题情境、恰当设置的“想一想” ,引导学生反思,引导学生学会解决问题的策略、思想与方法,可谓以动制静,为学生提供了主体参与、积极探索、大胆实践、勇于创新的学习环境,它是引导学生发现问题、提出猜想、验证猜想和创造性地解决问题的有效途径。如何让“想一想”成为学生借以培养数学思维之源,有待于教师对教材中“想一想”问题的挖掘与再创造,有待于学生对教材中“想一想”问题的探索与再发现。现结合本人的教学实践经验,就如何利用教材中的“想一想” 培养学生数学思维,谈谈自己的一些做法。
一、发展学生的敏捷性思维
思维的敏捷性是指思维活动的快慢程度。它表现为在遇到问题时,善于迅速辨别蛛丝马迹,敏捷捕捉解题信息,引起联想;思维过程受阻时善于随机应变,转换策略,选择解题方法,以最快的速度求出正确答案;在思考问题时,能把握问题的本质,能对题意做出快速反应。
课例1:如图1,在△ACB和△A′C′B′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,AC=A′C′,求证:△ACB≌△A′C′B′。(浙教版教材八年级上册P45)
证明:∵∠1=∠2=90°,
∴B,C,B′在同一条直线上,且AC⊥BB′。
∵AB=A′B′,
∴BC=B′C′(等腰三角形三线合一)。
∵AC=A′C′(公共边),
∴Rt△ACB≌Rt△A′C′B′(SSS)。
“想一想”:你还有其他说理的方法吗?
分析:已知两个三角形具备对应相等的三个条件,但不符合判定三角形全等的定理(SAS,SSS,ASA),只利用现有的条件能否创造全等条件,再进行启发。
解法二:∵∠C=∠C′=90°,
∴AB2=AC2+BC2 ,A′B′2=A′B′2+B′C′2 ,
∴BC2=AB2-AC2,B′C′2=A′B′2-A′C′2 。
又∵AB=A′B′,AC=A′C′,
而由BC2=B′C′2 可知BC=B′C′,
在△ABC与△A′B′C′中, AB=A′B′AC=A′C′BC=B′C′,
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)。
解法三:同解法(二)的前提下,
在△ABC与△A′B′C′中, AC=A′C′∠C=∠C′,BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)。
教师要善于引导学生进行合理而又丰富的联想,沟通知识之间的纵横联系,融会贯通地运用知识,引导学生多角度思考问题,进行一题多解的训练。只有持之以恒,才能培养学生思维的敏捷性。
二、培养学生的批判性思维
思维的批判性是指思考问题时不受别人暗示的影响,能严格而客观地评价和检查思维的结果,冷静地分析结果的利弊是非,有主见地评价事物的思维品质。在教学中,教师要积极地培养学生善于鉴别问题的可能性,注意引导学生不拘一格地活跃思路,鼓励他们对问题进行独立推测、猜想,认真检验自己提出的假设,去伪存真,不但有助于学生掌握题目的科学性标准,形成严谨的科学治学态度,而且有助于培养思维的批评性。
课例2:利用二次函数的图像求方程x2+x-1=0的近似解。(浙教版教材九年级上册P50)
解:设y=x2+x-1,则方程x2+x-1=0的解就是该函数图像与x轴交点的横坐标。在直角坐标系中画出函数y=x2+x-1的图像,得到与x轴的交点为A,B,则点A,B的横坐标x1,x2就是方程的解。观察图,得到点A的横坐标x1≈0.6,点B的横坐标x2≈-1.6。所以方程x2+x-1=0的近似解为x1≈0.6,x2≈-1.6。
“想一想”:将x=0.6和 x=-1.6代入,其值分别是多少?
略解:当x=0.6时,x2+x-1=-0.04;
当x=-1.6时,x2+x-1=-0.04,通过验证,让学生了解二次函数ax2+bx+c=0(a≠0)的图像与x轴的交点的横坐标x1、x2就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。因此,我们可以通过解方程ax2+bx+c=0(a≠0)来求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的坐标;反过来,也可以由y=ax2+bx+c的图像来求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解。也可以看成函数y=x2+x与y=1图像交点的横坐标,甚至也可以看做抛物线y=x2与直线y=1-x交点的横坐标。教学时可引导学生不断创新。
三、培养学生的广阔性思维
思维的广阔性是指思维发挥作用的广阔程度。它表现为在解决问题时,能全方位地分析问题,而不是顾此失彼;在思考问题时善于联想,会多方面、多角度地周密思考,善于沟通问题与问题之间的纵横联系和演变能力,在更深、更广的领域内挖掘知识的内在规律,探究问题的纵横延伸,寻找解决问题的方法。
课例3:七年级(2)班有45人报名参加了文学社或书画社。已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人,两个社都参加的有20人,问参加书画社的有多少人。(浙教版教材八年级下册P133)
解:设参加书画社的有x人,那么参加文学社的有(x+5)人。
根据题意,得x+(x+5)-20=45。
解这个方程,得x=30(人)。
答:参加书画社的有30人。
“想一想”:图3中,哪一部分的面积表示只参加文学社的人数?
此题通过让学生辨析单独参加文学社的人数,单独参加书画社的人数和两项都参加的人数,深入理解数量间的关系,培养学生的广阔性思维。
四、培养学生的发散性思维
发散性思维是指与集中思维相对的一种思维方式。发散思维对问题从不同角度进行探索,从不同层面进行分析,因而视野开阔,思维活跃,可以产生出大量的独特的新思想。所以,培养学生的发散思维,一定要吃透问题,把握问题实质,打破思维定式,改变单一的思维方式,运用联想、想象、猜想、推想等尽量地拓展思路,从问题的各个角度、各个方面、各个层次进行或顺向、或逆向、或纵向、或横向的灵活而敏捷的思考,从而获得众多的方案或假设。
课例4:如图4,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,已知∠B=60°,AD=15,AB=45,求BC的长。(浙教版教材八年级下册P149)
解:延长BA、CD相交于点E,
∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,∠EDA=∠C。
又∵∠B=∠C且∠B=60°,
∴∠EDA=∠EAD=60°,
∴△AED、△EBC是等边三角形,
∴EA=AD=15,
∴BC=EB=EA+AB=15+45=60。
“想一想”:本例还有其他解法吗?
在教学中,我给予学生自主思考,并答应5分钟后让学生发表自己的观点,学生兴趣盎然,解法令人鼓舞。
解法二:过D点作DE平行AB,交BC于E(或平移AB至DE),证明△DEC是正三角形,四边形ABED是平行四边形,得BC=AB+AD=45+15=60。
解法三:分别过A、D点作AF、DE垂直BC,交点分别为F、E,证明在Rt△DEC与Rt△AFB中DE=0.5DC,BF=0.5AB,得BC=BF+AD+EC=22.5+15+22.5=60。
解法四:过C点作CE平行AB交AD的延长线于E(或平移AB至CE),证明四边形ABED是平行四边形,△DEC是正三角形,得BC=DE+AD=45+15=60。
由此可见,此题解法并非唯一,教师要善于引导,耐心期待,在求解的过程中,学生的思维才能得以发散,从发散性的思维中让学生了解解法的多变性,让不同的学生得到不同的发展。
五、发展学生的严谨性思维
数学思维的严谨性是数学学科的基本特点,是指学生在思考问题时言必有据,严谨认真解决数学问题的习惯;考虑问题时,全面、周密而不遗漏的思考习惯。教学中能发展学生的严谨性思维,对于学生形成严密的逻辑思维能力和科学、踏实的求知态度具有积极意义。
解:方程的两边同乘以10,得2x-5(3-2x)=10x,
去括号,得2x-15+10x=10x,
移项,得2x+10x-10x=15,
合并同类项,得2x=15,
“想一想”:去分母时,方程的两边应同时乘以一个怎样的数?
从本例可以看到,去分母、去括号、移项、合并同类项等都是方程变形的常用方法,去分母、移项的依据是等式的性质,教学时要让学生充分思考得出:去分母时,方程的两边应同时乘以一个不等于零的数,且能使去分母运算简便的数。
可见,数学概念、定理、法则等都具有非常的严谨性,教学时,教师要善于引导学生明察秋毫,乐于反思,养成良好的严谨思维品质。
六、发展学生的独创性思维
独创性是指思维活动的方式不仅善于求同,更善于求异。这种创造性思维的特点,表现在概念的掌握与理解之上,不仅能将新知识、新概念同化到已有的概念和知识系统中去,而且能利用新知识、新概念去改造旧概念;表现在解决问题时,不因循守旧,而是融会贯通,凭借已有的知识和技能去探索未知的新知识、新技能,甚至创造新事物。
课例6:一次数学实践活动的内容是测量河宽,如图5所示,即测量A,B之间的距离。同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C,在C处测得∠C=30°。量出AC的长,它就是河宽(即A,B之间的距离)。这个方法正确吗?请说明理由。(浙教版教材八年级上册P29)
“想一想”:你还有其他测量方法吗?
解法二:如图6,满足AO=OC,∠DCO=90°,证明:Rt△BAO≌Rt△DCO,测量CD长,即为AB长。
解法三:如图7,作DE∥AC,测量AD、AC、DE长,利用相似变换知识求出AB长。
解法四:如图8,过BA的延长线取一点C,过C作CE⊥BC,且使∠E=45°,即AB=BC-AC=EC-AC。
利用学生已有知识,让学生综合思考、建构数学模型,找到解决问题的新思路、新方法,有利于学生独创性思维的培养与发展。
综上所述,学生的数学思维品质是一个统一整体,各个组成部分相辅相成,彼此渗透,互相促进,互为补充,不可偏废。在教学过程中,教师要凭借教材、挖掘教材,将它们有机地结合起来,有目的、有计划地强化思维训练,培养学生良好的数学思维品质。只有这样,我们才能在真正意义上适应新课标对数学教学的要求,使学生的思维品质在数学学习中得到充分的培养。
参考文献
[1]黄新民.初中数学课堂创新教学理论与实践[M].杭州:浙江大学出版社.
[2]赵海燕.思维教学[M].北京:中国轻工业出版社.
[3]范良火.浙教版教材数学教材7-9[M].杭州:浙江教育出版社.
[4]网络文章.《浅谈学生数学思维品质的培养》等.