在高中数学学习中，带根号函数求值域的问题是一个难点，也是各类考试的重点，在此为大家做一个总结，希望对大家有所帮助。
　　一、單根号问题
　　例1求y=x+x-1的值域。
　　分析：这一类问题可以看到式子中有两个部分，即x与x-1组成，且易知这两部分都是单调递增的，因此可用函数的单调性求解，得y∈[1，+∞）。
　　例2求y=x-x-1的值域。
　　分析：可以看出单调性在这里行不通，因此我们有以下换元法求解：
　　设t=x-1，t∈0，+∞，所以x=t2+1。
　　所以y=t2+1-t=t-122+34，t∈0，+∞。
　　所以y∈34，+∞。
　　例3求y=x+x2-1的值域。
　　分析：审题发现单调性与换元法都不能直接求解，我们可以用另一种方法——反解法，但此方法要防止值域的扩大。
　　移项平方得：（y-x）2=（x2-1）2（y≥x）。
　　用y表示x得：x=y2+12y，即y2+12y≤y，解得[-1，0）∪[1，+∞）。
　　此题较为特殊，还有另外一种解法：
　　函数的定义域为{x|x≥1或x≤-1}。
　　当x≥1时，y为单增函数，所以y∈[1，+∞）。
　　当x≤-1时，设x=-s（s≥1），
　　所以y=-s+s2-1=-1s2-1+s。
　　由此易得：y在s∈[1，+∞）上单调递增，所以y∈[-1，0）。
　　综上可得，y∈[-1，0）∪[1，+∞）。
　　二、双根号问题
　　例4求y=x+x-1的值域。
　　分析：函数定义域为{x|x≥1}，同上部分可利用函数单调性求解为y∈[1，+∞）。
　　例5求y=x-x-1的值域。
　　分析：函数定义域为{x|x≥1}，由上部分我们可以得到启发，利用分子有理化得，
　　y=x-x-1=1x+x-1。
　　y在x∈[1，+∞）上单调递减，所以y∈（0，1]。
　　例6求y=3x+6+1-x的值域。
　　分析：此形式比上一题更为一般，可采用以下两种方法求解：
　　y=3·x+2+1-x。
　　观察到（x+2）2+（1-x）2=3。
　　设a=x+2，b=1-x，此题转化为：
　　已知a2+b2=3，a≥0，b≥0，求3a+b的取值范围。
　　解法1：三角换元
　　设a=3cosθ，b=3sinθ，θ∈0，π2。
　　3a+b=3cosθ+3sinθ=23sinθ+π6，θ∈0，π2。
　　所以3a+b∈3，23。
　　解法2：线性规划
　　可行域a2+b2=3，a≥0，b≥0，是半径为3的圆在第一象限的部分，目标函数z=3a+b。
　　由线性规划知识可知：z∈3，23。
　　由上可知值域为y∈3，23。
　　作者单位：河南省郑州外国语新枫杨学校2014级24班