柯西不等式的内容如下:
　　设ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),则有不等式·≥[]2成立;当且仅当bi=kai(i=1,2,3,…,n)时等号成立。
　　这是初等数学中一个重要的不等式,它的二维形式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2在高中数学中也多处体现,尤其是对它的证明及证明不等式中的应用,下面我们对它的一些证明方法及简单应用做一介绍,以便更好地了解这个不等式。
　　一、柯西不等式的证明
　　证法一(分析法):要证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+b2d2+2abcd
　　a2d2+b2c2≥2abcd
　　(ad-bc)2≥0
　　上式显然成立,所以原不等式成立
　　证法二(比较法):∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2
　　=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-(a2c2+b2d2+2abcd)
　　=a2d2-2abcd+b2c2
　　=(ad-bc)2≥0
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　证法三(综合法):∵(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　证法四(向量法):设向量=(a,b),=(c,d),则2=a2+b2,2=c2+d2,=(ac+bd)2
　　∵||||≥||
　　∴22≥()2
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　证法五(构造法):构造函数f(x)=(a2+b2)x2±2(ac+bd)x+c2+d2
　　则f(x)=(ax±c)2+(bx±d)2≥0恒成立
　　当a2+b2=0时,不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2显然成立
　　当a2+b2>0时,由f(x)≥0恒成立,得△=4(ac+bd)2-4(a2+b2)(c2+d2)≤0
　　即(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　证法六(数形结合法):(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
　　≤c2+d2
　　≤
　　即:在平面直角坐标系xOy中,点P(c,d)到直线ax+by=0的距离PQ不大于它到原点的距离PO。
　　由右图可见,|PO|≥|PQ|显然成立
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立
　　二、应用柯西不等式应用举例
　　1、已知a,b∈R+,求证:≤
　　证明:∵a,b∈R+
　　∴由柯西不等式得(a+b)(+)≥(·+·)2=4
　　∴≤成立
　　2、已知a,b∈R+且a≠b,求证:+>+
　　证明:由柯西不等式可得(+)(+)≥(·+·)=(+)2
　　∴+≥+(当且仅当a=b时摚綌成立)
　　又∵a≠b∴+>+
　　3、求函数y=+的最小值。
　　解:y=+
　　=(+)(sin2+cos2)
　　≥(+)2=(tan+)2=4
　　∴函数y=+的最小值为4
　　4、a,b∈R+,a+b=1,求证:(a+)2+(b+)2≥
　　证明:∵a+b=1
　　∴(a+)2+(b+)2=(12+12)[(a+)2+(b+)2]≥[1·(a+)+1·(b+)] 2=[(a+b)+(+)]2
　　=[1+(a+b)(+)]2
　　≥{1+[(a·)+(b·)]2}2=25/2