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著名艺术家达·芬奇反复地将“黄金矩形”、“对数螺线”运用于其为数不多却幅幅经典的画作中，对他而言数学和科学的研究更令他沉迷，他更谦虚地自称为“业余画家”。达·芬奇让我们意识到艺术从来不是一个孤立的领域，艺术家与数学家的工作虽然看起来截然不同，但数学和艺术却是最为接近的，它们不过是使用不同的语言来进行表达。
20世纪80年代，曼德尔布罗特集（图1）震撼出世，它的命名源于分形理论开创者、数学家——伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）。曼德尔布罗特集是由函数重复与自身复合即进行迭代运算得出数值的集合，被作为分形的标志性图案用于诠释分形。自相似性是分形最具识别度的特征，即放大或缩小分形图中任意一个局部，其形态结构、粗糙度等均保持和原图的极度相似性（图1，后一幅为前一幅方框内容放大）。分形理论的出现，为诸多学科中的复杂现象提供了更新、更为便捷的解决方法。伯努瓦·曼德尔布罗特用毕生的努力使人们渐渐意识到分形的使用价值和艺术价值。纵观分形艺术作品，艺术的张力与数学的魅力让人们叹为观止，它的魅力和价值更在绘画、设计、影视动画、音乐甚至医疗中得以展现。
一、自然中的分形艺术
数学发现了分形，艺术让分形散发出美的光辉，而分形却源于自然，它诠释着大自然的奥秘。我们所熟知且常见的云和闪电都是分形的结构，如果你能无限放大它们，你会发现其每个最微小的部分和整体极度相似。树木、西兰花和蕨类植物的叶子等也都是大自然创造的分形艺术，以蕨类植物的叶子（图2）为例，摘下其中一个分枝，就可看出它与主体有着明显的自相似性。当然，也可以重复的摘下更小的分枝，而这种自相似性是自始至终的。甚至人体内的血管和神经系统都呈现出分形结构。
二、绘画中的分形艺术
上世纪日本艺术家——葛饰北斋（1760-1849，浮世绘画家）的绘画在世界范围内广受青睐，他的绘画栩栩如生，具有鲜明的特色，这是由于他用艺术眼光对大自然进行探索的过程中，发现并初步运用了分形（虽然那时还没有分形理论）。
以葛饰北斋的《神奈川冲浪里》（图3）为例。在大波浪的顶部，有许多更小的浪花，它们几乎是一模一样的，它们不断的堆叠、累加，表现出了无休无止的重复，也表现出分形对象的明确特征——自相似性。
葛饰北斋运用分形描绘自然，使作品在拥有自成一派的风格和极具装饰性之外，也丝毫不显得做作。
三、设计中的分形艺术
曼德尔布罗特集的诞生作为一个文化事件，造成了不小的轰动。人们开始尝试在各领域使用分形，分形甚至频繁出现在T恤、棒球帽和背包上。曼德尔布罗特集为世人开启了分形艺术的宝库，激发出更多美丽的分形图案。软件工程师制作出一系列分形软件，让对数学知之甚少的人们也能够创造出属于自己的分形艺术，并运用于建筑设计、园林景观设计、平面设计、室内设计等行业。而下述领域更为分形在设计中的运用开拓了新的思路。
（一）服装设计
分形于数学、科学领域的探索也许太繁复，但分形独有的艺术价值自其诞生之日就广受人们的关注。美国男装知名品牌Jhane Barnes的创始人和设计师Jhane Barnes从1976年开始从事男士衬衫的设计，沿用传统编织方式，根据图纸在小而慢的手工编织机上进行操作，效率和创新性都备受局限。直到分形的出现，让她意识到这种方式能帮助她创作出丰富多彩的纹样，但当时分形的数学背景和分形软件的缺乏却使她无从下手。她找到Bill和Dana合作，于是服装设计师、数学家、物理学家联袂制作出用于服装纹样设计的分形软件。只需要改变软件中的几个参数就能创造出富于变化的纹样，创造出很多手工不可能做出的设计。如今市场上能看到拥有绚丽缤纷纹样的服装，而它们中的很大一部分都是运用分形软件设计出来的。
（二）首饰设计
珠宝首饰自古以来都受到人们的追捧，但在畅销的同时，也越来越难以满足消费者的审美需求，缺乏创新是首饰设计的一大“瓶颈”。分形的出现使首饰设计师迸发出新的灵感，分形艺术既不属于二维艺术，亦不属于三维艺术，它表现的是非整数维度，即对象的粗糙度。换言之，分形是打破规则造型的艺术。首饰设计师可以利用分形软件随机生成分形图案，并从中挑选满意的图案作为模版，再选择珠宝和金银等进行组合镶嵌。同样可以运用分形原理对宝石进行切割造型，以增加宝石的折射面，使其绽放出流光溢彩。分形艺术给首饰设计带来的不仅仅是创意，更以强烈的视觉张力让珠宝首饰迎来全新的生命力，同时也用个性化的设计满足了市场中求异的心理和高层次的审美需求。
（三）产品设计
也许你不曾察觉，无处不在的分形渐渐改变着我们的生活。通讯和电子产品的迅速发展，加快了时代的步伐，但人们一定还记得，20世纪90年代并不十分普及的手机。它有一根凸出机体的天线，外形千篇一律，除了打电话发短信并没有其他功能。如果需要增设wifi、2G、3G网络、GPS定位等功能，那么每项功能都需要额外增设一根天线。而现在使用的手机和各种通讯设备却能同时具备轻薄、多功能、多样化外观，这不得不提及波士顿电波天文学家科恩为现代化产品设计带来的变革。科恩利用分形的原理将天线设计为雪花的形状，这让天线内置和多天线并存成为可能，使设备在更便携、更美观的同时具备更广的接收频率和更强、更稳定的信号。除了藏起来的天线，分形运用于产品设计的例子随处可见，灯具、器皿、玩具，等等，只要注意观察，你会发现更多。
（四）影视和动画设计
逼真的影视特效为人们带来的一次次视觉盛宴，使其在影视作品中扮演着越来越重要的角色。电影中那些火山喷发、岩浆四溅的场景总是令人叹为观止，它的制作过程也令人好奇不已，而这同样可以用分形解决。影视制作人员充分利用了分形的自相似性，制作出浩大场面中的一个点，并给它设定一个轨迹，然后缩小、复制、扭转轨迹，再不断地重复这一过程，最后进行渲染、合成。一些气势恢宏的航拍山脉场景也是运用分形得来。这样一来，既提升了对电影镜头的掌控度，也有效地降低了拍摄成本和取景难度。而最直接的影响就是，观众可以越来越多地观看到更为精彩的影片。
分形是图像化的数学，而变更一些数值，让这些图像动起来就成了独到而美丽的分形动画。相对于多数人观看动画时对情节的追求，分形动画就显得小众而“文艺”了。它倾向于表现分形艺术原汁原味的视觉特色。分形动画美轮美奂的画面抽象而深刻地揭示着宇宙和自然规律，展示着来自生命的思考与脉动。
四、结语
正如法国印象派画家雷诺阿所说的“一览无余则不成艺术”。分形艺术之美在于其可无限深入、无限探索的细节之美，也在于其具备自相似性又变幻无穷的神秘之美。分形理论诞生以来，大家都在各自的领域探索并将其利用起来。就艺术而言，分形依然具有不可估量的美学意义和开发潜质，它绮丽而神秘的美将在艺术发展的过程中绽放出耀眼的光芒。
参考文献：
[1]（法）B.曼德尔布洛特，分形对象——形、机遇和维数[M]，世界图书出版社，1999.
[2]（德）佩特根，于尔根斯，绍柏，田逢喜译，混沌与分形[M]，国防工业出版社，2008.
[3]刘华杰，分形艺术[M]，湖南科学技术出版社，1998.
20世纪80年代，曼德尔布罗特集（图1）震撼出世，它的命名源于分形理论开创者、数学家——伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）。曼德尔布罗特集是由函数重复与自身复合即进行迭代运算得出数值的集合，被作为分形的标志性图案用于诠释分形。自相似性是分形最具识别度的特征，即放大或缩小分形图中任意一个局部，其形态结构、粗糙度等均保持和原图的极度相似性（图1，后一幅为前一幅方框内容放大）。分形理论的出现，为诸多学科中的复杂现象提供了更新、更为便捷的解决方法。伯努瓦·曼德尔布罗特用毕生的努力使人们渐渐意识到分形的使用价值和艺术价值。纵观分形艺术作品，艺术的张力与数学的魅力让人们叹为观止，它的魅力和价值更在绘画、设计、影视动画、音乐甚至医疗中得以展现。
一、自然中的分形艺术
数学发现了分形，艺术让分形散发出美的光辉，而分形却源于自然，它诠释着大自然的奥秘。我们所熟知且常见的云和闪电都是分形的结构，如果你能无限放大它们，你会发现其每个最微小的部分和整体极度相似。树木、西兰花和蕨类植物的叶子等也都是大自然创造的分形艺术，以蕨类植物的叶子（图2）为例，摘下其中一个分枝，就可看出它与主体有着明显的自相似性。当然，也可以重复的摘下更小的分枝，而这种自相似性是自始至终的。甚至人体内的血管和神经系统都呈现出分形结构。
二、绘画中的分形艺术
上世纪日本艺术家——葛饰北斋（1760-1849，浮世绘画家）的绘画在世界范围内广受青睐，他的绘画栩栩如生，具有鲜明的特色，这是由于他用艺术眼光对大自然进行探索的过程中，发现并初步运用了分形（虽然那时还没有分形理论）。
以葛饰北斋的《神奈川冲浪里》（图3）为例。在大波浪的顶部，有许多更小的浪花，它们几乎是一模一样的，它们不断的堆叠、累加，表现出了无休无止的重复，也表现出分形对象的明确特征——自相似性。
葛饰北斋运用分形描绘自然，使作品在拥有自成一派的风格和极具装饰性之外，也丝毫不显得做作。
三、设计中的分形艺术
曼德尔布罗特集的诞生作为一个文化事件，造成了不小的轰动。人们开始尝试在各领域使用分形，分形甚至频繁出现在T恤、棒球帽和背包上。曼德尔布罗特集为世人开启了分形艺术的宝库，激发出更多美丽的分形图案。软件工程师制作出一系列分形软件，让对数学知之甚少的人们也能够创造出属于自己的分形艺术，并运用于建筑设计、园林景观设计、平面设计、室内设计等行业。而下述领域更为分形在设计中的运用开拓了新的思路。
（一）服装设计
分形于数学、科学领域的探索也许太繁复，但分形独有的艺术价值自其诞生之日就广受人们的关注。美国男装知名品牌Jhane Barnes的创始人和设计师Jhane Barnes从1976年开始从事男士衬衫的设计，沿用传统编织方式，根据图纸在小而慢的手工编织机上进行操作，效率和创新性都备受局限。直到分形的出现，让她意识到这种方式能帮助她创作出丰富多彩的纹样，但当时分形的数学背景和分形软件的缺乏却使她无从下手。她找到Bill和Dana合作，于是服装设计师、数学家、物理学家联袂制作出用于服装纹样设计的分形软件。只需要改变软件中的几个参数就能创造出富于变化的纹样，创造出很多手工不可能做出的设计。如今市场上能看到拥有绚丽缤纷纹样的服装，而它们中的很大一部分都是运用分形软件设计出来的。
（二）首饰设计
珠宝首饰自古以来都受到人们的追捧，但在畅销的同时，也越来越难以满足消费者的审美需求，缺乏创新是首饰设计的一大“瓶颈”。分形的出现使首饰设计师迸发出新的灵感，分形艺术既不属于二维艺术，亦不属于三维艺术，它表现的是非整数维度，即对象的粗糙度。换言之，分形是打破规则造型的艺术。首饰设计师可以利用分形软件随机生成分形图案，并从中挑选满意的图案作为模版，再选择珠宝和金银等进行组合镶嵌。同样可以运用分形原理对宝石进行切割造型，以增加宝石的折射面，使其绽放出流光溢彩。分形艺术给首饰设计带来的不仅仅是创意，更以强烈的视觉张力让珠宝首饰迎来全新的生命力，同时也用个性化的设计满足了市场中求异的心理和高层次的审美需求。
（三）产品设计
也许你不曾察觉，无处不在的分形渐渐改变着我们的生活。通讯和电子产品的迅速发展，加快了时代的步伐，但人们一定还记得，20世纪90年代并不十分普及的手机。它有一根凸出机体的天线，外形千篇一律，除了打电话发短信并没有其他功能。如果需要增设wifi、2G、3G网络、GPS定位等功能，那么每项功能都需要额外增设一根天线。而现在使用的手机和各种通讯设备却能同时具备轻薄、多功能、多样化外观，这不得不提及波士顿电波天文学家科恩为现代化产品设计带来的变革。科恩利用分形的原理将天线设计为雪花的形状，这让天线内置和多天线并存成为可能，使设备在更便携、更美观的同时具备更广的接收频率和更强、更稳定的信号。除了藏起来的天线，分形运用于产品设计的例子随处可见，灯具、器皿、玩具，等等，只要注意观察，你会发现更多。
（四）影视和动画设计
逼真的影视特效为人们带来的一次次视觉盛宴，使其在影视作品中扮演着越来越重要的角色。电影中那些火山喷发、岩浆四溅的场景总是令人叹为观止，它的制作过程也令人好奇不已，而这同样可以用分形解决。影视制作人员充分利用了分形的自相似性，制作出浩大场面中的一个点，并给它设定一个轨迹，然后缩小、复制、扭转轨迹，再不断地重复这一过程，最后进行渲染、合成。一些气势恢宏的航拍山脉场景也是运用分形得来。这样一来，既提升了对电影镜头的掌控度，也有效地降低了拍摄成本和取景难度。而最直接的影响就是，观众可以越来越多地观看到更为精彩的影片。
分形是图像化的数学，而变更一些数值，让这些图像动起来就成了独到而美丽的分形动画。相对于多数人观看动画时对情节的追求，分形动画就显得小众而“文艺”了。它倾向于表现分形艺术原汁原味的视觉特色。分形动画美轮美奂的画面抽象而深刻地揭示着宇宙和自然规律，展示着来自生命的思考与脉动。
四、结语
正如法国印象派画家雷诺阿所说的“一览无余则不成艺术”。分形艺术之美在于其可无限深入、无限探索的细节之美，也在于其具备自相似性又变幻无穷的神秘之美。分形理论诞生以来，大家都在各自的领域探索并将其利用起来。就艺术而言，分形依然具有不可估量的美学意义和开发潜质，它绮丽而神秘的美将在艺术发展的过程中绽放出耀眼的光芒。
参考文献：
[1]（法）B.曼德尔布洛特，分形对象——形、机遇和维数[M]，世界图书出版社，1999.
[2]（德）佩特根，于尔根斯，绍柏，田逢喜译，混沌与分形[M]，国防工业出版社，2008.
[3]刘华杰，分形艺术[M]，湖南科学技术出版社，1998.