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摘 要：本文引入了关于超BE-代数上的超BE-同态的概念， 重点研究了超BE-代数的超子代数、超BE-同态核及 （弱） 超滤子等在超同态作用下的性质。
关键词：超BE-代数 超BE-同态 （弱）超滤子 超同态核
一、 引言
超理论由Marty[5]在1934年第八届Scandinavian数学家大会上引入，自那以后，超理论被广泛地研究最近，学者Radfar将超理论应用到BE-代数上，引入了超BE-代数，它是BE-代数及对偶超K-代数的一个推广。本文在已有文献研究的基础上，引入并研究了超BE-代数的超BE-同态，得到了一些重要结论。
二、预备知识
定义2.1设H是一个非空集合，是一个超运算。若，满足：
（HBE1） ；（HBE2） ；（HBE3） ；（HBE4） ，则称为超BE-代数。
在超BE代数中，定义二元关系为：当且仅当。且，A=B指，使得a≤b。此外，。
例2.2设H={1，a，b}，在H上定义超运算O1和O2如下：
则（H；O1，1）和（H；O2，1）是超BE-代数。
性质2.3设（H；O.1）是一个超BE-代数，则，下列结论成立：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） A=B当且仅当；（5） ；（6） 。
定义2.4一个超BE代数（H；O1，1）被称为：
（1）R超BE-代数，若，有；（2）C超BE-代数，若，有；（3）D超BE-代数，若，有；（4）RC超BE-代数，若H既是R超BE-代数，又是C超BE-代数；（5）RCD超BE-代数，若H既是R超BE-代数、C超BE-代数及D超BE-代数。
定义2.5一个超BE代数（H；O1，1）的一个非空子集S被称为H的超子代数，若，都有。
定义2.6设F是超BE代数（H；O1，1）的一个非空子集，且。则F被称为
（1）H的弱超滤子，若，；（2）H的超滤子，若，。
三、超BE-同态
定义3.1 设H1和H2是两个超BE-代数，称映射为H1到H2的超BE-同态，若下列条件成立：，
（1） f（1）=1；（2），。
若f是单射，则f被称为超BE-单同态；若f是满射，则f被称为超BE-满同态；若f既是超BE-单同态，又是超BE满同态，则f被称为超BE-同构。
例3.2（1） 设H1和H2是两个超BE-代数，则恒等映射映射是H1到H2的超BE-同态； 若H2满足，定义映射为f（x）=1，，则f是H1到H2的超BE-同态。
例3.3 在例2.2中，在超BE-代数（H；O1，1）上定义映射为：，则f不是H到H的超BE-同态， 因为。若在超BE-代数（H；O2，1）上定义映射为：，则f是H到H的超BE-同态。
定理3.4 设H1和H2是两个超BE-代数，是超BE-同态。
（1）若S是H1的超子代数，则f（S）是H2的超子代数；（2）若S是H2的超子代数，则f-1（S）是H1的超子代数；（3）若H1是R超（C超，D超，RC超，RCD超）BE-代数，则F（H1）是同类型的超BE-代数；（4）若f是单同态，H2是R超（C超，D超，RC超，RCD超）BE-代数，则f-1（H2）是同类型的超BE-代数。
证明（1）显然1=f（1）∈f（S）。设x，y∈f（S），则使得f（x1）=x，f（y1）=y。因此，。这就证明了f（S）是H2的超子代數。（2）注意到1=f（1），我们有。设x，y∈f-1（S），则。因而，，也就是。这表明f-1（S）是H1的超子代数。（3）若H1是R超BE-代数，即。由（1）知，f（H1）是超BE-代数。设，则使得y=f（x）。因而。故f（H1）也是R超BE-代数。其他情形证明类似。（4）若H2是C超BE-代数，由（2）知，f-1（H2）是超BE-代数。设x∈f-1（H2），我们有f（x）∈H2。因而。因为f是超BE-同态，从而。这表明f-1（H2）是C超BE-代数。其他情形证明类似。
定理3.5 设是超BE-同态。
是H1的（弱）超滤子；
若F是H2的（弱）超滤子，则f-1（F）是H1的（弱）超滤子，且。
证明 （1） 情形1：若，。则f（x）=1且，因而f（a）=1。注意到，我们得到，也就是1≤f（y）。因此f（y）=1，进而y∈Kerf。这表明Kerf是H1的超滤子。
情形2：若，。则f（x）=1且，因而使得。故有a∈xoy且a∈Kerf。剩下的证明同情形1，这证明了Kerf是H1的弱超滤子。
（2）显然
情形1：若F是H2的超滤子，则1∈f-1（F）。设，则。由，我们得到：。这意味着f（y）∈F，进一步，y∈f-1（F）。这表明f-1（F）是H1的超滤子。
情形2：若F是H2的弱超滤子，我们有1∈f-1（F）。若，。则f（x）∈F且使得a∈xoy且a∈f-1（F），因而f（a）∈F且。故且f（x）∈F。因此，f（y）∈F。进一步，y∈f-1（F）。这就证明了f-1（F）是H1的弱超滤子。
定义3.6 一个超BE-代数H称满足反对称性，我们指H满足条件（S）。
例3.7 在例1.2中，（H；O2，1）不满足反对称性，因为a≤b，b≤a，而a≠b；（H；O1，1）满足反对称性。
定理3.8 设是超BE-同态。若H1满足条件（S），则f是单同态当且仅当Kerf={1}。
证明 必要性 设f是单同态。由于1∈H1且f（1）=1，故Kerf={1}。
充分性 设且f（x）=f（y），则1∈f（x）of（y）=f（xoy）。因而使得。这意味着a∈Kerf={1}，进而，a=1。因此，y≤x。同理，我们能证明x≤y。由于H1满足条件（S），于是x=y，故f是单同态。
参考文献：
[1]R.A. Borzooei， A. Hasankhani， M.M. Zahedi， Y.B. Jun. On hyper K-algebras[J]. J. Math. Japonica， 2000， 1： 113-121.
[2]X.Y. Cheng， X.L. Xin. Filter theory On hyper BE-algebras. Italian J Pure and Appl. Math.， 2015， 35： 509-526.
[3]Y.B. Jun， M.M. Zahedi， X.L. Xin， R.A. Borzooei. On hyper BCK-algebras[J]. Italian J Pure and Appl. Math.， 2000， 8： 127-136.
[4]H.S. Kim， and Y.H. Kim. On BE-algebras[J]. Sci. Math. Japo， 2007， 66（1）： 113-116.
[5]F. Marty. Surune generalization de la notion de group[J]. The 8th Congress Math.， Scandinaves， Stockholm， 1934， pp.45–49.
[6]A. Radfar， A. Rezaei and A.B. Saeid， Hyper BE-algebras[J]. Novi Sad J. Math.， 2014， 44（2）： 137-147.
[7]X.L. Xin. Hyper BCI-algebras[J]. Discussiones Math.， 2006， 26： 5-19.
[8]M.M. Zahedi. A review on hyper K-algebras[J]. Journal of Math. Sci. and Inf.， 2006， 1： 55-112.
关键词：超BE-代数 超BE-同态 （弱）超滤子 超同态核
一、 引言
超理论由Marty[5]在1934年第八届Scandinavian数学家大会上引入，自那以后，超理论被广泛地研究最近，学者Radfar将超理论应用到BE-代数上，引入了超BE-代数，它是BE-代数及对偶超K-代数的一个推广。本文在已有文献研究的基础上，引入并研究了超BE-代数的超BE-同态，得到了一些重要结论。
二、预备知识
定义2.1设H是一个非空集合，是一个超运算。若，满足：
（HBE1） ；（HBE2） ；（HBE3） ；（HBE4） ，则称为超BE-代数。
在超BE代数中，定义二元关系为：当且仅当。且，A=B指，使得a≤b。此外，。
例2.2设H={1，a，b}，在H上定义超运算O1和O2如下：
则（H；O1，1）和（H；O2，1）是超BE-代数。
性质2.3设（H；O.1）是一个超BE-代数，则，下列结论成立：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） A=B当且仅当；（5） ；（6） 。
定义2.4一个超BE代数（H；O1，1）被称为：
（1）R超BE-代数，若，有；（2）C超BE-代数，若，有；（3）D超BE-代数，若，有；（4）RC超BE-代数，若H既是R超BE-代数，又是C超BE-代数；（5）RCD超BE-代数，若H既是R超BE-代数、C超BE-代数及D超BE-代数。
定义2.5一个超BE代数（H；O1，1）的一个非空子集S被称为H的超子代数，若，都有。
定义2.6设F是超BE代数（H；O1，1）的一个非空子集，且。则F被称为
（1）H的弱超滤子，若，；（2）H的超滤子，若，。
三、超BE-同态
定义3.1 设H1和H2是两个超BE-代数，称映射为H1到H2的超BE-同态，若下列条件成立：，
（1） f（1）=1；（2），。
若f是单射，则f被称为超BE-单同态；若f是满射，则f被称为超BE-满同态；若f既是超BE-单同态，又是超BE满同态，则f被称为超BE-同构。
例3.2（1） 设H1和H2是两个超BE-代数，则恒等映射映射是H1到H2的超BE-同态； 若H2满足，定义映射为f（x）=1，，则f是H1到H2的超BE-同态。
例3.3 在例2.2中，在超BE-代数（H；O1，1）上定义映射为：，则f不是H到H的超BE-同态， 因为。若在超BE-代数（H；O2，1）上定义映射为：，则f是H到H的超BE-同态。
定理3.4 设H1和H2是两个超BE-代数，是超BE-同态。
（1）若S是H1的超子代数，则f（S）是H2的超子代数；（2）若S是H2的超子代数，则f-1（S）是H1的超子代数；（3）若H1是R超（C超，D超，RC超，RCD超）BE-代数，则F（H1）是同类型的超BE-代数；（4）若f是单同态，H2是R超（C超，D超，RC超，RCD超）BE-代数，则f-1（H2）是同类型的超BE-代数。
证明（1）显然1=f（1）∈f（S）。设x，y∈f（S），则使得f（x1）=x，f（y1）=y。因此，。这就证明了f（S）是H2的超子代數。（2）注意到1=f（1），我们有。设x，y∈f-1（S），则。因而，，也就是。这表明f-1（S）是H1的超子代数。（3）若H1是R超BE-代数，即。由（1）知，f（H1）是超BE-代数。设，则使得y=f（x）。因而。故f（H1）也是R超BE-代数。其他情形证明类似。（4）若H2是C超BE-代数，由（2）知，f-1（H2）是超BE-代数。设x∈f-1（H2），我们有f（x）∈H2。因而。因为f是超BE-同态，从而。这表明f-1（H2）是C超BE-代数。其他情形证明类似。
定理3.5 设是超BE-同态。
是H1的（弱）超滤子；
若F是H2的（弱）超滤子，则f-1（F）是H1的（弱）超滤子，且。
证明 （1） 情形1：若，。则f（x）=1且，因而f（a）=1。注意到，我们得到，也就是1≤f（y）。因此f（y）=1，进而y∈Kerf。这表明Kerf是H1的超滤子。
情形2：若，。则f（x）=1且，因而使得。故有a∈xoy且a∈Kerf。剩下的证明同情形1，这证明了Kerf是H1的弱超滤子。
（2）显然
情形1：若F是H2的超滤子，则1∈f-1（F）。设，则。由，我们得到：。这意味着f（y）∈F，进一步，y∈f-1（F）。这表明f-1（F）是H1的超滤子。
情形2：若F是H2的弱超滤子，我们有1∈f-1（F）。若，。则f（x）∈F且使得a∈xoy且a∈f-1（F），因而f（a）∈F且。故且f（x）∈F。因此，f（y）∈F。进一步，y∈f-1（F）。这就证明了f-1（F）是H1的弱超滤子。
定义3.6 一个超BE-代数H称满足反对称性，我们指H满足条件（S）。
例3.7 在例1.2中，（H；O2，1）不满足反对称性，因为a≤b，b≤a，而a≠b；（H；O1，1）满足反对称性。
定理3.8 设是超BE-同态。若H1满足条件（S），则f是单同态当且仅当Kerf={1}。
证明 必要性 设f是单同态。由于1∈H1且f（1）=1，故Kerf={1}。
充分性 设且f（x）=f（y），则1∈f（x）of（y）=f（xoy）。因而使得。这意味着a∈Kerf={1}，进而，a=1。因此，y≤x。同理，我们能证明x≤y。由于H1满足条件（S），于是x=y，故f是单同态。
参考文献：
[1]R.A. Borzooei， A. Hasankhani， M.M. Zahedi， Y.B. Jun. On hyper K-algebras[J]. J. Math. Japonica， 2000， 1： 113-121.
[2]X.Y. Cheng， X.L. Xin. Filter theory On hyper BE-algebras. Italian J Pure and Appl. Math.， 2015， 35： 509-526.
[3]Y.B. Jun， M.M. Zahedi， X.L. Xin， R.A. Borzooei. On hyper BCK-algebras[J]. Italian J Pure and Appl. Math.， 2000， 8： 127-136.
[4]H.S. Kim， and Y.H. Kim. On BE-algebras[J]. Sci. Math. Japo， 2007， 66（1）： 113-116.
[5]F. Marty. Surune generalization de la notion de group[J]. The 8th Congress Math.， Scandinaves， Stockholm， 1934， pp.45–49.
[6]A. Radfar， A. Rezaei and A.B. Saeid， Hyper BE-algebras[J]. Novi Sad J. Math.， 2014， 44（2）： 137-147.
[7]X.L. Xin. Hyper BCI-algebras[J]. Discussiones Math.， 2006， 26： 5-19.
[8]M.M. Zahedi. A review on hyper K-algebras[J]. Journal of Math. Sci. and Inf.， 2006， 1： 55-112.