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“天空没有留下翅膀的痕迹，但我已经飞过”，听徐斌老师的课，就有这样的意蕴。生活中的徐斌，朴实得像一个农夫，他的课也像他的人一样，朴实无华中散发出独特的魅力，给人留下了深刻的印象。徐斌就像一位有智慧的农夫，在无痕教育的田野里辛勤劳作，为我们开辟了一块教学的新天地。
【片段一】寻找适宜的“土壤”
师：同学们提出的问题都很有道理。其实，比较两个数量除了我们已经学过的求相差多少，还有另一种方法——求倍数关系。关于“倍”，你了解多少？还想了解什么？
生：我听妈妈说过现在的物价是过去的好几倍。
生：我知道“倍”就是比原来多很多。
生：我想知道为什么要学习“倍”。
生：我想知道什么时候要用到“倍”。
（教师先把2朵蓝花排在一起并画上集合圈，再把6朵黄花平均2朵一份地排在一起，并依次画上集合圈）
师：我们一起来数一数，看黄花有几个2朵？
生：1个2朵、2个2朵、3个2朵。
师：黄花有3个2朵，我们就说黄花的朵数是蓝花的3倍。
师：黄花的朵数是蓝花的3倍，是什么意思呢？
生：蓝花有2朵，黄花有3个2朵。
生：蓝花有1份，黄花有这样的3份。
师：是呀！把2朵蓝花看作1份，黄花有3个2朵，也就是这样的3份，我们就说黄花的朵数是蓝花的3倍。
师：刚才我们比较了黄花朵数和蓝花朵数之间的倍数关系，那么红花朵数是蓝花的几倍呢？我们还是把2朵蓝花看作1份，那么，红花有几个2朵呢？我们一起在图上圈一圈。
……
【赏析】优良的种子只有在适宜的土壤里才能生根发芽，教学也是这样，教师一定会为学生创造轻松和谐的“学习场”，让学生的数学思维自然生长。徐斌老师善于给学生寻找适宜的“土壤”，精心播种数学思维的种子。徐老师从学生已有的知识背景出发，激活学生已有的生活经验;创造认知冲突，让学生对“倍”这一数学概念有着强烈的学习需求。“倍”可以看作是一种运算，是乘法和除法意义的发展。徐老师精心设计数学教学活动，让学生感受到求一个数是另一个数的几倍，其实质就是含有几个几。在教学中，徐老师通过圈画的方式比较蓝花和红花，让学生经历从实物到图形的过程，初步建立倍的数学模型。看似平实的教学，符合了儿童学习心理，让数学学习真实发生。
【片段二】播下思维的“种子”
（课件显示绿带子图）
师：看到“倍”了吗？
生：没有。
（课件再显示红带子图）
师：这时，红带子的长是绿带子的几倍？
生：红带子的长是绿带子的1倍。
师：其实两根带子的长度是什么关系？
生：一样长。
（课件变化）
师：这时，红带子的长是绿带子的几倍？为什么？
生：红带子有这样的5份，所以是绿带子的5倍。
（课件动态演示）
师：现在，带子有了怎样的变化？
生：带子变细窄了。
师：这时红带子的长是绿带子的几倍？
生：还是5倍。
师：带子变细窄了，为什么还是5倍呢？
生：因为长度没有变化。
（课件动态演示）
师：那么，现在两根带子又变成什么了呢？
生：变成了线段。
师：第二条线段的长度是第一条线段的几倍？
生：还是5倍。
【赏析】好的数学问题，就是引发学生思维的“种子”。徐斌老师通过图形的动态演示，让学生直观感受“倍”的产生过程。在教学中，徐老师先出示一个绿色带子图，启发学生思考“这个有倍吗”“为什么没有”等有價值的问题，接着出示同样长的红色带子图，追问学生“产生倍了吗”;然后，再依次延长红色带子图，让其变成有这样的5份。这样，让“倍”的概念自然孕育。徐老师利用数学直观，促进了学生对“倍”这一抽象概念的理解。在“带子图和线段图”的对比中，学生经历了数学抽象的过程，能更清晰地建立数学模型，认识到数学概念的内涵，从而不断完善自己的认知结构。
【片段三】提供充足的“养料”
师：蓝花有2朵，红花有8朵，红花的朵数是蓝花的4倍。现在老师适当改变红花的朵数，你还能用倍来比较吗？
（课件显示10朵红花）
生：蓝花有2朵，红花有10朵，红花的朵数是蓝花的5倍。
师：你是怎样算的？
生：10÷2=5。
师：如果蓝花不变，红花有12朵，红花的朵数是蓝花的几倍？
生：红花的朵数是蓝花的6倍，12÷2=6。
师：如果红花变为2朵呢？
生：红花的朵数是蓝花的1倍，2÷2=1。
师：“1倍”表示什么意思？
生：表示红花和蓝花同样多。
师：刚才我们已经知道，蓝花2朵，黄花6朵。现在蓝花增加1朵变成3朵，如果依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？
生：下面黄花也要每个圈里增加1朵。
师：这时黄花有几朵？怎样列出算式？
生：黄花是9朵，9÷3=3。
师：如果蓝花变成只有1朵，还要使黄花的朵数是蓝花的3倍，又该怎么办？
生：把下面黄花变成每份也是1朵。
师：这时又该怎样列式？
生：3÷1=3。
【赏析】在教学中，徐斌老师基于学生的认知，将课本中的例题进行“再加工”，精心设计变式练习，提供了充足的数学“养料”，让数学精神之树长青。以花朵素材为载体，思维在“变”中生长。“1倍数不变，几倍数变”，学生初步建立起“倍”的思维模型;“几倍数不变，1倍数变”，可以增加花的朵数，也可以减少花的朵数，学生深入理解了“倍”的数学本质。教师将学生已有的“同样多”自然改造成“倍”，由1倍扩展到几倍，进一步沟通“1倍”和“几倍”的关系，在多变的情境中拓展思维，学生理解了“倍”的产生是“比出来”的这一数学本质，可谓是在“不露痕迹”中生长。
可见，教师要不断犁动学生思维的土壤，播下数学理性思维的“种子”，提供充足的数学“养料”，让学生在“无痕教育”思想中自由成长，让数学思维之花自然绽放。
（作者单位：安徽省合肥市西园新村小学南校教育集团）
【片段一】寻找适宜的“土壤”
师：同学们提出的问题都很有道理。其实，比较两个数量除了我们已经学过的求相差多少，还有另一种方法——求倍数关系。关于“倍”，你了解多少？还想了解什么？
生：我听妈妈说过现在的物价是过去的好几倍。
生：我知道“倍”就是比原来多很多。
生：我想知道为什么要学习“倍”。
生：我想知道什么时候要用到“倍”。
（教师先把2朵蓝花排在一起并画上集合圈，再把6朵黄花平均2朵一份地排在一起，并依次画上集合圈）
师：我们一起来数一数，看黄花有几个2朵？
生：1个2朵、2个2朵、3个2朵。
师：黄花有3个2朵，我们就说黄花的朵数是蓝花的3倍。
师：黄花的朵数是蓝花的3倍，是什么意思呢？
生：蓝花有2朵，黄花有3个2朵。
生：蓝花有1份，黄花有这样的3份。
师：是呀！把2朵蓝花看作1份，黄花有3个2朵，也就是这样的3份，我们就说黄花的朵数是蓝花的3倍。
师：刚才我们比较了黄花朵数和蓝花朵数之间的倍数关系，那么红花朵数是蓝花的几倍呢？我们还是把2朵蓝花看作1份，那么，红花有几个2朵呢？我们一起在图上圈一圈。
……
【赏析】优良的种子只有在适宜的土壤里才能生根发芽，教学也是这样，教师一定会为学生创造轻松和谐的“学习场”，让学生的数学思维自然生长。徐斌老师善于给学生寻找适宜的“土壤”，精心播种数学思维的种子。徐老师从学生已有的知识背景出发，激活学生已有的生活经验;创造认知冲突，让学生对“倍”这一数学概念有着强烈的学习需求。“倍”可以看作是一种运算，是乘法和除法意义的发展。徐老师精心设计数学教学活动，让学生感受到求一个数是另一个数的几倍，其实质就是含有几个几。在教学中，徐老师通过圈画的方式比较蓝花和红花，让学生经历从实物到图形的过程，初步建立倍的数学模型。看似平实的教学，符合了儿童学习心理，让数学学习真实发生。
【片段二】播下思维的“种子”
（课件显示绿带子图）
师：看到“倍”了吗？
生：没有。
（课件再显示红带子图）
师：这时，红带子的长是绿带子的几倍？
生：红带子的长是绿带子的1倍。
师：其实两根带子的长度是什么关系？
生：一样长。
（课件变化）
师：这时，红带子的长是绿带子的几倍？为什么？
生：红带子有这样的5份，所以是绿带子的5倍。
（课件动态演示）
师：现在，带子有了怎样的变化？
生：带子变细窄了。
师：这时红带子的长是绿带子的几倍？
生：还是5倍。
师：带子变细窄了，为什么还是5倍呢？
生：因为长度没有变化。
（课件动态演示）
师：那么，现在两根带子又变成什么了呢？
生：变成了线段。
师：第二条线段的长度是第一条线段的几倍？
生：还是5倍。
【赏析】好的数学问题，就是引发学生思维的“种子”。徐斌老师通过图形的动态演示，让学生直观感受“倍”的产生过程。在教学中，徐老师先出示一个绿色带子图，启发学生思考“这个有倍吗”“为什么没有”等有價值的问题，接着出示同样长的红色带子图，追问学生“产生倍了吗”;然后，再依次延长红色带子图，让其变成有这样的5份。这样，让“倍”的概念自然孕育。徐老师利用数学直观，促进了学生对“倍”这一抽象概念的理解。在“带子图和线段图”的对比中，学生经历了数学抽象的过程，能更清晰地建立数学模型，认识到数学概念的内涵，从而不断完善自己的认知结构。
【片段三】提供充足的“养料”
师：蓝花有2朵，红花有8朵，红花的朵数是蓝花的4倍。现在老师适当改变红花的朵数，你还能用倍来比较吗？
（课件显示10朵红花）
生：蓝花有2朵，红花有10朵，红花的朵数是蓝花的5倍。
师：你是怎样算的？
生：10÷2=5。
师：如果蓝花不变，红花有12朵，红花的朵数是蓝花的几倍？
生：红花的朵数是蓝花的6倍，12÷2=6。
师：如果红花变为2朵呢？
生：红花的朵数是蓝花的1倍，2÷2=1。
师：“1倍”表示什么意思？
生：表示红花和蓝花同样多。
师：刚才我们已经知道，蓝花2朵，黄花6朵。现在蓝花增加1朵变成3朵，如果依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？
生：下面黄花也要每个圈里增加1朵。
师：这时黄花有几朵？怎样列出算式？
生：黄花是9朵，9÷3=3。
师：如果蓝花变成只有1朵，还要使黄花的朵数是蓝花的3倍，又该怎么办？
生：把下面黄花变成每份也是1朵。
师：这时又该怎样列式？
生：3÷1=3。
【赏析】在教学中，徐斌老师基于学生的认知，将课本中的例题进行“再加工”，精心设计变式练习，提供了充足的数学“养料”，让数学精神之树长青。以花朵素材为载体，思维在“变”中生长。“1倍数不变，几倍数变”，学生初步建立起“倍”的思维模型;“几倍数不变，1倍数变”，可以增加花的朵数，也可以减少花的朵数，学生深入理解了“倍”的数学本质。教师将学生已有的“同样多”自然改造成“倍”，由1倍扩展到几倍，进一步沟通“1倍”和“几倍”的关系，在多变的情境中拓展思维，学生理解了“倍”的产生是“比出来”的这一数学本质，可谓是在“不露痕迹”中生长。
可见，教师要不断犁动学生思维的土壤，播下数学理性思维的“种子”，提供充足的数学“养料”，让学生在“无痕教育”思想中自由成长，让数学思维之花自然绽放。
（作者单位：安徽省合肥市西园新村小学南校教育集团）