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平抛运动是一种特殊的曲线运动，用运动的合成与分解去理解它，对于培养学生的发散思维和解决问题的能力有非常好的帮助.平抛运动只受重力作用且有水平初速度，故是匀变速曲线运动.水平方向只有初速度而不受力是匀速直线运动，竖直方向初速度为零，只受重力是自由落体运动.
根据运动的独立性和等时性可知：下落时间只取决于竖直高度，与水平速度无关.水平方向为匀速直线运动：
vx=v0， sx=v0t，
竖直方向为自由落体运动
vy=gt， sy=12gt2， v2y=2gh，
平抛运动的速度v=v2x v2y=v20 g2t2，
平抛运动的位移s=s2x s2y=v20 14g2t4，
速度比tanθ=vyvx=gtv0，
位移比tanα=sys0=12gt2v0t=gt2v0，
比较后易知速度比是位移比的两倍tanθ=2tanα.
现在我们进入对平抛运动的“高端理解”：将一些规律转化成琅琅上口的易记口诀，使学生对平抛运动达到整体和深入的理解.
（1）垂直平行分解速度，落回斜面分解位移
平抛的速度垂直于斜面或平行于斜面时，常分解速度，而垂直和平行之外的落回斜面类型题常分解位移，下面分别用例题说明.
例1如图1所示，以9.8 m/s的水平速度v0抛出的物体，飞行一段时间后垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是
A.33 sB.233 sC.3 sD.2 s
解析分解速度由tanθ=vyvx=gtv0=t=33，故选A.
例2如图2所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的初速v同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为
A.3∶4B.4∶3C.9∶16D.16∶9
解析37°和53°都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到
tanα=yx=12gt2v0t=gt2v0，
故有tan37°=gt12v0，
同理tan53°=gt22v0，则t1∶t2=9∶16.
（2）速度比与位移比，两倍关系记心底
例3（2008年全国理综卷Ⅰ）如图3所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足
A.tan=sinθB.tan=cosθ
C.tan=tanθD.tan=2tanθ
解析很明显两个角度的正切值是速度比和位移比的两倍关系，故选D.
例4如图4所示，匀强电场区域和匀强磁场区域是紧邻的且宽度相等均为d，电场方向在纸面内竖直向下，而磁场方向垂直纸面向里.一带正电粒子（重力不计）从O点以速度v0沿垂直电场方向进入电场，从A点射出电场进入磁场，离开电场时带电粒子在电场方向的偏转位移为电场宽度的一半，当粒子从磁场右边界上C点穿出磁场时速度方向与进入电场O点时的速度方向一致，求：粒子进入磁场时的速度v为多少？
解析带电粒子在电场中做类平抛运动，抓住
tanθ=2tanθ=2×d2d=vyv0=1，
进入磁场时速度方向与水平方向成θ，
θ=sin-1vyv=sin-1v02v0=45°，
解得vy=v0，到达A点的速度为v=v2y v20=2v0.
例5如图5所示，一小球从平台上抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α=53°的光滑斜面并下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8 m，重力加速度g=10 m/s2，（sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：（1）小球水平抛出的初速度v0是多少；（2）斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少.
解析（1）小球落到斜面并沿斜面下滑，说明此时小球的速度方向与斜面平行，平行分解速度，所以vy=v0tan53°，
又因v2y=2gh，得vy=4 m/s，v0=3 m/s.
（2）再根据两倍关系
tanα=sys0=12gt2v0t=gt2v0，
则2hs=vyv0=1，
得到s=2h=1.2 m.
（3）速度反向延长过中点
例6如图6所示是物体做平抛运动的x-y图象，物体从O点抛出，x、y分别为其水平和竖直位移，在物体运动的过程中，经某一点P（x，y）时，其速度的反向延长线交于x轴上的A点，则OA的长为
A.xB.0.5xC.0.3xD.不能确定
（4）电场类平抛，关系显高招
如图7所示，k级发射出电子，经过KS之间的加速电场加速后，进入AB的偏转电场，AB两板间的电压为U2，射出电场后将射到电子屏幕上.试分析电子的整个运动过程.
①电子穿越加速电场获得的速度v1，设电子的质量为m，电量为q，经电压U1加速后速度为v1.
由动能定理有qU1=12mv21，
v1=2qU1m.
②电子穿越偏转电场的时间t：
电子以初速度v1平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，在偏转电场中运动时间为t，则t=Lv1=Lm2qU1.
③电子穿越偏转电场时沿电场方向的加速度a：
电子在偏转电场中运动时沿电场方向的加速度
a=F′m=qU2dm.
④电子离开偏转电场时的侧移距离y：
电子在偏转电场中运动时沿电场方向作初速度为零的匀加速直线运动
y=12at2=12×qU2dm×m2qU1L2=U2L24U1d.
⑤电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为vy：
电子离开电场时沿电场方向的速度为vy，
则vy=at=U2Ldq2mU1.
⑥电子离开偏转电场时的偏角θ：
设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为θ.
则tanθ=vyvx=U2L2U1d.
⑦电子在屏幕上的偏移位移Y：
电子飞出电场以后将沿电子出场时速度方向做匀速直线运动，最后射到屏幕上.
所以y′L′=tanθ=vyvx=U2L2U1d，
则y′=U2LL′2U1d，
所以Y=y y′=U2L24U1d U2LL′2U1d=U2L2U1d（L2 L′）.
例7如图8所示的真空管中，质量为m，电量为e的电子从灯丝F发出，经过电压U1加速后沿中心线射入相距为d的两平行金属板B、C间的匀强电场中，通过电场后打到荧光屏上，设B、C间电压为U2，B、C板长为l1，平行金属板右端到荧光屏的距离为l2，求：（1）电子离开匀强电场时的速度与进入时速度间的夹角.（2）电子打到荧光屏上的位置偏离屏中心距离.
解析根据上面的关系式，容易解得
tanθ=vyvx=U2L2U1d，
Y=U2l12U1d（l12 l2）.
（5）物理思想，化曲为直
例8如图9楼梯顶部以v0=2 m/s的水平速度抛出，所有的台阶都是高0.2 m，宽0.25 m，问小球从楼梯顶部抛出后首先撞到哪一级台阶上？
解析曲线的台阶可以将台阶连线即变成斜面研究，用“落回斜面分解位移”可解得落在在第三级台阶.
根据运动的独立性和等时性可知：下落时间只取决于竖直高度，与水平速度无关.水平方向为匀速直线运动：
vx=v0， sx=v0t，
竖直方向为自由落体运动
vy=gt， sy=12gt2， v2y=2gh，
平抛运动的速度v=v2x v2y=v20 g2t2，
平抛运动的位移s=s2x s2y=v20 14g2t4，
速度比tanθ=vyvx=gtv0，
位移比tanα=sys0=12gt2v0t=gt2v0，
比较后易知速度比是位移比的两倍tanθ=2tanα.
现在我们进入对平抛运动的“高端理解”：将一些规律转化成琅琅上口的易记口诀，使学生对平抛运动达到整体和深入的理解.
（1）垂直平行分解速度，落回斜面分解位移
平抛的速度垂直于斜面或平行于斜面时，常分解速度，而垂直和平行之外的落回斜面类型题常分解位移，下面分别用例题说明.
例1如图1所示，以9.8 m/s的水平速度v0抛出的物体，飞行一段时间后垂直地撞在倾角为θ=30°的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间是
A.33 sB.233 sC.3 sD.2 s
解析分解速度由tanθ=vyvx=gtv0=t=33，故选A.
例2如图2所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的初速v同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为
A.3∶4B.4∶3C.9∶16D.16∶9
解析37°和53°都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到
tanα=yx=12gt2v0t=gt2v0，
故有tan37°=gt12v0，
同理tan53°=gt22v0，则t1∶t2=9∶16.
（2）速度比与位移比，两倍关系记心底
例3（2008年全国理综卷Ⅰ）如图3所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上.物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足
A.tan=sinθB.tan=cosθ
C.tan=tanθD.tan=2tanθ
解析很明显两个角度的正切值是速度比和位移比的两倍关系，故选D.
例4如图4所示，匀强电场区域和匀强磁场区域是紧邻的且宽度相等均为d，电场方向在纸面内竖直向下，而磁场方向垂直纸面向里.一带正电粒子（重力不计）从O点以速度v0沿垂直电场方向进入电场，从A点射出电场进入磁场，离开电场时带电粒子在电场方向的偏转位移为电场宽度的一半，当粒子从磁场右边界上C点穿出磁场时速度方向与进入电场O点时的速度方向一致，求：粒子进入磁场时的速度v为多少？
解析带电粒子在电场中做类平抛运动，抓住
tanθ=2tanθ=2×d2d=vyv0=1，
进入磁场时速度方向与水平方向成θ，
θ=sin-1vyv=sin-1v02v0=45°，
解得vy=v0，到达A点的速度为v=v2y v20=2v0.
例5如图5所示，一小球从平台上抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α=53°的光滑斜面并下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8 m，重力加速度g=10 m/s2，（sin53°=0.8，cos53°=0.6）求：（1）小球水平抛出的初速度v0是多少；（2）斜面顶端与平台边缘的水平距离s是多少.
解析（1）小球落到斜面并沿斜面下滑，说明此时小球的速度方向与斜面平行，平行分解速度，所以vy=v0tan53°，
又因v2y=2gh，得vy=4 m/s，v0=3 m/s.
（2）再根据两倍关系
tanα=sys0=12gt2v0t=gt2v0，
则2hs=vyv0=1，
得到s=2h=1.2 m.
（3）速度反向延长过中点
例6如图6所示是物体做平抛运动的x-y图象，物体从O点抛出，x、y分别为其水平和竖直位移，在物体运动的过程中，经某一点P（x，y）时，其速度的反向延长线交于x轴上的A点，则OA的长为
A.xB.0.5xC.0.3xD.不能确定
（4）电场类平抛，关系显高招
如图7所示，k级发射出电子，经过KS之间的加速电场加速后，进入AB的偏转电场，AB两板间的电压为U2，射出电场后将射到电子屏幕上.试分析电子的整个运动过程.
①电子穿越加速电场获得的速度v1，设电子的质量为m，电量为q，经电压U1加速后速度为v1.
由动能定理有qU1=12mv21，
v1=2qU1m.
②电子穿越偏转电场的时间t：
电子以初速度v1平行于两正对的平行金属板从两板正中间射入后，在偏转电场中运动时间为t，则t=Lv1=Lm2qU1.
③电子穿越偏转电场时沿电场方向的加速度a：
电子在偏转电场中运动时沿电场方向的加速度
a=F′m=qU2dm.
④电子离开偏转电场时的侧移距离y：
电子在偏转电场中运动时沿电场方向作初速度为零的匀加速直线运动
y=12at2=12×qU2dm×m2qU1L2=U2L24U1d.
⑤电子离开偏转电场时沿电场方向的速度为vy：
电子离开电场时沿电场方向的速度为vy，
则vy=at=U2Ldq2mU1.
⑥电子离开偏转电场时的偏角θ：
设飞出两板间时的速度方向与水平方向夹角为θ.
则tanθ=vyvx=U2L2U1d.
⑦电子在屏幕上的偏移位移Y：
电子飞出电场以后将沿电子出场时速度方向做匀速直线运动，最后射到屏幕上.
所以y′L′=tanθ=vyvx=U2L2U1d，
则y′=U2LL′2U1d，
所以Y=y y′=U2L24U1d U2LL′2U1d=U2L2U1d（L2 L′）.
例7如图8所示的真空管中，质量为m，电量为e的电子从灯丝F发出，经过电压U1加速后沿中心线射入相距为d的两平行金属板B、C间的匀强电场中，通过电场后打到荧光屏上，设B、C间电压为U2，B、C板长为l1，平行金属板右端到荧光屏的距离为l2，求：（1）电子离开匀强电场时的速度与进入时速度间的夹角.（2）电子打到荧光屏上的位置偏离屏中心距离.
解析根据上面的关系式，容易解得
tanθ=vyvx=U2L2U1d，
Y=U2l12U1d（l12 l2）.
（5）物理思想，化曲为直
例8如图9楼梯顶部以v0=2 m/s的水平速度抛出，所有的台阶都是高0.2 m，宽0.25 m，问小球从楼梯顶部抛出后首先撞到哪一级台阶上？
解析曲线的台阶可以将台阶连线即变成斜面研究，用“落回斜面分解位移”可解得落在在第三级台阶.