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图式理论（Schema Theory）是认知心理学研究的一个重要方面，它是一种关于人的知识是怎样表征出来，以及关于知识的表征如何以特有的方式有利于知识的应用的理论。按照该理论，人脑中保存的一切知识都能分成单元、构成“组块”和组成系统，这些单元、“组块”和系统就是图式（Schema）。它的表征形式是命题、表象、线性排序等，是对一般概念的有意义信息形成的一个集合体。这里的一般概念可以是客体的类目，如数学中的三角形、等比数列、二次函数等；也可以是一个事件的类目，如解三角形、计算数列的和、求函数的极值等等。无论什么主题，图式中总是包含那个类目中的所有客体或事件所共有的某些特征，例如，“三角形”的图式就包含了我们所熟知的特征，如三条边、封闭的、二维的及其表象“△”等信息。因此，图式实质上是一种关于知识的认知模式。
认知心理学认为，图式理论是一种高级的教学策略。众所周知，常规的數学教学强调以教师为中心，重视陈述性知识和知识的陈述，这样导致学生多是被动甚至机械地接受知识，难以形成框架清晰且富有联动性的认知结构。而图式理论则重视学生完整的知识结构的建构与活化，并因此而消减了因为知识难度增加所带来的认知障碍。
一、加强图式的记忆
如果我们对图式形成的过程进行仔细的分析后就会不难发现，图式的形成对人的记忆提出了很重的负担，在这一过程中，个体必须至少在学习中保持两个实例，对这些实例作出全面考察，记下它们的相似之处，再对这些相似之处形成新的编码表征，因此为减轻学生记忆负担的各种措施都将有助于图式的形成。
即使教师或教材做到了同时或接连呈现实例，有时学生可能还不会进行比较，因为在他们的学习阅历中可能充满了这些实例的方方面面的细节。因此，教师可设法引导学生搞清这些实例的相似性，只有这样，对图式的形成才会更有效。
（一）例如，要介绍函数间断点的分类，教师可先把函数在不连续点的几种形态图画出（图1），让学生这几种直观图形进行透彻的观察。然后，教师只要通过适当引导，学生就可容易地从图中曲线的变化情况看到产生间断的不同状况，对这些状况进行归纳整理，就不难理解为什么要用左、右极限是否存在或是否相等来逻辑地定义不同类型的间断点，进而了解极限值、函数值等数学对象之间存在的逻辑关系。这对正确认识函数的不同类型间断点，正确处理有关函数间断问题，以及进一步加深理解函数在某点处连续的实质——函数在该点的函数值等于其极限值等，都有着积极的帮助作用。（图1为几种常见的间断点形态）
由于数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，因此许多抽象的数学概念能用数学图形形象化，有利于学生通过对直观图形的透彻观察，从感性认识向理性认识过渡，这符合人们思维过程普遍规律。另外，对数学对象记忆的牢固度、掌握的准确度，也取决于对该对象的可感性。在数学的认知活动中，数学图形思维的简明清晰性往往能给抽象逻辑思维提供较多的感性并融合于抽象逻辑思的过程中。因此，在教学中注重数学图式的使用，能帮助和促进学生抽象逻辑思维的展开。
（二）通过使用一些简单的图形对数学对象进行思维，就是将数学问题的各个部分有机地与图形的相应对象建立对应，把对数学问题的思考转化为对图形对象的思考，这样的思维过程正是数学形象思维的过程，其目的就是利用图形的构造方式、功能向学生展现数学问题的实质。显然，这样能有效地促进学生数学形象思维的形成和发展，培养并提高学生数学形象思维的能力。
求多元复合函数的偏导数对学生来说是一个难点，要克服这个难点，教学中可充分利用图形来对求偏导数的顺序进行思维。如：对于函数z=f（u，v），且u=Φ（x，y），v=Ψ（x，y），其求偏导数的公式为：
= • + • 和 = • + •
要理解并记住这两个公式，我们只需让学生理解图2的表现方式和含义即可。例如，欲求 ，我们可对照图2让学生知道：只需沿着实线找出从z到x的路径z→u→x和z→v→x，并理解每个箭头的含义是求箭首变量对于箭尾变量的偏导数，每条路径上所得偏导数要取积，而不同路径所得的偏导数积要取和，就可得到公式。学生一旦掌握了构造如图2之类图形的方法，就可应用于更为复杂的多元复合函数，按图索骥，正确地得到有关求偏导数的顺序。
二、变换图形的“标准形式”
学生需要从各种样例中发现它们的共同成分，但如果呈现的样例还含有本不属于图式的相同成分的话，就会使学生形成的图式过于局限。如在级数的教学中，若呈现的级数收敛或发散的样例都是所谓的“标准形式”，那么这个“标准形式”可能就会被包含在各种命题之中，学生获得这种不正确的图式就会影响对以后遇到的新实例作出正确的归类。具体地说，以下就是这方面的一些常见实例：级数是收敛的，=0，因此，我们应当避免将一种“图式”与某一特定的“标准形式”固定地连接起来，应当经常地变换图形的“标准形式”，否则可能就会很容易造成一些不应有的“偏见”，换言之,教学时要力求选择的实例在无关特征方面广泛变化。
图式使认知过程变得形象、直观，并凸显了数学对象间的有机联系，这就为学生学习数学创建了良好的、易于开展数学思维的情境，可以促使学生的思维活跃起来，产生求知欲，从而增进学生对数学的学习信心。
三、探求选择图式的反例
（一）美国数学家B•R•盖尔鲍姆和J•M•H•奥姆斯特德在《分析中的反例》一书中指出：“数学由两个大类——证明和反例组成，而数学发现也朝着两个主要的目标——提出证明和构造反例。”一般地说，学生最初形成的图式往往因缺乏精确性而表现出过于泛化。例如，技师生常常会把第一次看到的某个新实例错误地划归为某一已知的范畴。比如，求导数y=x ，便想当然地认为可以用导数公式y=x ，求得y=x•x ;学了洛必达法则，就对所有函数极值都不假思索地用上了，如发生这样的错误===3。再如求y =2x，y=x-4所围成的图形面积。学生往往会先求出交点A（2，-2），B（8，4），从而错误地认为x，y的积分范围为2≤x≤8，-2≤y≤4。
因此，若要促进图式的精深，则需要选择和安排图式的反例，而且最好是将图式的正例与反例同时呈现，这样有可能使适合图式使用和不适合图式使用的情境同时出现在学生的记忆中，便于学生识别、区分出两种情境的关键之所在。
（二）引导学生自己发现或提出图式的正确样例
促进图式最有效的途径是学生自己提出新图式的样例，比如数学史上有趣的“无穷级数悖论”的解决。在教学中，教师应帮助学生意识到比较实例将有助于图式的形成，同时应利用图式的迁移功能，鼓励学生自己发现或提出图式的正确样例。心理学家戴维奥苏伯尔认为：学习的迁移是通过学生头脑中形成的认知结构而实现的。因此，他认为促进迁移就是要塑造学生良好的认知结构。而认知结构是我们关于某一领域内的所有观念的内容及其组织。从某种意义上说，认知结构就是我们所讲的图式。如此看来，我们能够在其他情境中运用以前习得的知识关键在于我们头脑中形成了一定的图式。而图式贮存的知识具有一定程度的概括性，不是具体某一例子在头脑中的贮存，易于迁移。例如，导函数与积分函数之间的具体关联，可自然地应用于微分方程中去。因此，只要我们坚持这样做下去，这种认识和练习最终将会养成学生发现或提出图式实例的良好习惯。
例如纲要信号图表法，是学生在教师的引导自我形成的图式，对培养学生观察、分析、判断等抽象能力极为有效。所谓纲要信号图表是一种由字母、词汇、数字及其它信号组成的直观性很强的一种教学辅助工具。图表通过各种信号，提纲挈领、简明扼要地把掌握的知识表现出来。可以进行章节小结，加深知识的理解。例如在小结数项级数敛散性判定，使用图3，有利于学生对所学知识的掌握。
综上可见，利用图式理论指导高等数学教学是一个很有价值的课题，而且具有很强的可操作性。心理学家R.M.加涅认为：“图式理论的精制在不久的将来似乎将会继续，而这必将影响我们如何对学习环境的创建。”因此，我们有理由相信：在职业教育改革逐渐向纵深发展的今天，图式理论就该有更大的作为。但是，鉴于图式理论无论是在数学教学理论方面还是在实践方面都是一种新兴的、正在发展探索的理论，特别是在国内对它的研究还不是很多，因此这既应当引起理论界的高度重视，也应当引起广大一线数学教师的密切关注。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
认知心理学认为，图式理论是一种高级的教学策略。众所周知，常规的數学教学强调以教师为中心，重视陈述性知识和知识的陈述，这样导致学生多是被动甚至机械地接受知识，难以形成框架清晰且富有联动性的认知结构。而图式理论则重视学生完整的知识结构的建构与活化，并因此而消减了因为知识难度增加所带来的认知障碍。
一、加强图式的记忆
如果我们对图式形成的过程进行仔细的分析后就会不难发现，图式的形成对人的记忆提出了很重的负担，在这一过程中，个体必须至少在学习中保持两个实例，对这些实例作出全面考察，记下它们的相似之处，再对这些相似之处形成新的编码表征，因此为减轻学生记忆负担的各种措施都将有助于图式的形成。
即使教师或教材做到了同时或接连呈现实例，有时学生可能还不会进行比较，因为在他们的学习阅历中可能充满了这些实例的方方面面的细节。因此，教师可设法引导学生搞清这些实例的相似性，只有这样，对图式的形成才会更有效。
（一）例如，要介绍函数间断点的分类，教师可先把函数在不连续点的几种形态图画出（图1），让学生这几种直观图形进行透彻的观察。然后，教师只要通过适当引导，学生就可容易地从图中曲线的变化情况看到产生间断的不同状况，对这些状况进行归纳整理，就不难理解为什么要用左、右极限是否存在或是否相等来逻辑地定义不同类型的间断点，进而了解极限值、函数值等数学对象之间存在的逻辑关系。这对正确认识函数的不同类型间断点，正确处理有关函数间断问题，以及进一步加深理解函数在某点处连续的实质——函数在该点的函数值等于其极限值等，都有着积极的帮助作用。（图1为几种常见的间断点形态）
由于数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，因此许多抽象的数学概念能用数学图形形象化，有利于学生通过对直观图形的透彻观察，从感性认识向理性认识过渡，这符合人们思维过程普遍规律。另外，对数学对象记忆的牢固度、掌握的准确度，也取决于对该对象的可感性。在数学的认知活动中，数学图形思维的简明清晰性往往能给抽象逻辑思维提供较多的感性并融合于抽象逻辑思的过程中。因此，在教学中注重数学图式的使用，能帮助和促进学生抽象逻辑思维的展开。
（二）通过使用一些简单的图形对数学对象进行思维，就是将数学问题的各个部分有机地与图形的相应对象建立对应，把对数学问题的思考转化为对图形对象的思考，这样的思维过程正是数学形象思维的过程，其目的就是利用图形的构造方式、功能向学生展现数学问题的实质。显然，这样能有效地促进学生数学形象思维的形成和发展，培养并提高学生数学形象思维的能力。
求多元复合函数的偏导数对学生来说是一个难点，要克服这个难点，教学中可充分利用图形来对求偏导数的顺序进行思维。如：对于函数z=f（u，v），且u=Φ（x，y），v=Ψ（x，y），其求偏导数的公式为：
= • + • 和 = • + •
要理解并记住这两个公式，我们只需让学生理解图2的表现方式和含义即可。例如，欲求 ，我们可对照图2让学生知道：只需沿着实线找出从z到x的路径z→u→x和z→v→x，并理解每个箭头的含义是求箭首变量对于箭尾变量的偏导数，每条路径上所得偏导数要取积，而不同路径所得的偏导数积要取和，就可得到公式。学生一旦掌握了构造如图2之类图形的方法，就可应用于更为复杂的多元复合函数，按图索骥，正确地得到有关求偏导数的顺序。
二、变换图形的“标准形式”
学生需要从各种样例中发现它们的共同成分，但如果呈现的样例还含有本不属于图式的相同成分的话，就会使学生形成的图式过于局限。如在级数的教学中，若呈现的级数收敛或发散的样例都是所谓的“标准形式”，那么这个“标准形式”可能就会被包含在各种命题之中，学生获得这种不正确的图式就会影响对以后遇到的新实例作出正确的归类。具体地说，以下就是这方面的一些常见实例：级数是收敛的，=0，因此，我们应当避免将一种“图式”与某一特定的“标准形式”固定地连接起来，应当经常地变换图形的“标准形式”，否则可能就会很容易造成一些不应有的“偏见”，换言之,教学时要力求选择的实例在无关特征方面广泛变化。
图式使认知过程变得形象、直观，并凸显了数学对象间的有机联系，这就为学生学习数学创建了良好的、易于开展数学思维的情境，可以促使学生的思维活跃起来，产生求知欲，从而增进学生对数学的学习信心。
三、探求选择图式的反例
（一）美国数学家B•R•盖尔鲍姆和J•M•H•奥姆斯特德在《分析中的反例》一书中指出：“数学由两个大类——证明和反例组成，而数学发现也朝着两个主要的目标——提出证明和构造反例。”一般地说，学生最初形成的图式往往因缺乏精确性而表现出过于泛化。例如，技师生常常会把第一次看到的某个新实例错误地划归为某一已知的范畴。比如，求导数y=x ，便想当然地认为可以用导数公式y=x ，求得y=x•x ;学了洛必达法则，就对所有函数极值都不假思索地用上了，如发生这样的错误===3。再如求y =2x，y=x-4所围成的图形面积。学生往往会先求出交点A（2，-2），B（8，4），从而错误地认为x，y的积分范围为2≤x≤8，-2≤y≤4。
因此，若要促进图式的精深，则需要选择和安排图式的反例，而且最好是将图式的正例与反例同时呈现，这样有可能使适合图式使用和不适合图式使用的情境同时出现在学生的记忆中，便于学生识别、区分出两种情境的关键之所在。
（二）引导学生自己发现或提出图式的正确样例
促进图式最有效的途径是学生自己提出新图式的样例，比如数学史上有趣的“无穷级数悖论”的解决。在教学中，教师应帮助学生意识到比较实例将有助于图式的形成，同时应利用图式的迁移功能，鼓励学生自己发现或提出图式的正确样例。心理学家戴维奥苏伯尔认为：学习的迁移是通过学生头脑中形成的认知结构而实现的。因此，他认为促进迁移就是要塑造学生良好的认知结构。而认知结构是我们关于某一领域内的所有观念的内容及其组织。从某种意义上说，认知结构就是我们所讲的图式。如此看来，我们能够在其他情境中运用以前习得的知识关键在于我们头脑中形成了一定的图式。而图式贮存的知识具有一定程度的概括性，不是具体某一例子在头脑中的贮存，易于迁移。例如，导函数与积分函数之间的具体关联，可自然地应用于微分方程中去。因此，只要我们坚持这样做下去，这种认识和练习最终将会养成学生发现或提出图式实例的良好习惯。
例如纲要信号图表法，是学生在教师的引导自我形成的图式，对培养学生观察、分析、判断等抽象能力极为有效。所谓纲要信号图表是一种由字母、词汇、数字及其它信号组成的直观性很强的一种教学辅助工具。图表通过各种信号，提纲挈领、简明扼要地把掌握的知识表现出来。可以进行章节小结，加深知识的理解。例如在小结数项级数敛散性判定，使用图3，有利于学生对所学知识的掌握。
综上可见，利用图式理论指导高等数学教学是一个很有价值的课题，而且具有很强的可操作性。心理学家R.M.加涅认为：“图式理论的精制在不久的将来似乎将会继续，而这必将影响我们如何对学习环境的创建。”因此，我们有理由相信：在职业教育改革逐渐向纵深发展的今天，图式理论就该有更大的作为。但是，鉴于图式理论无论是在数学教学理论方面还是在实践方面都是一种新兴的、正在发展探索的理论，特别是在国内对它的研究还不是很多，因此这既应当引起理论界的高度重视，也应当引起广大一线数学教师的密切关注。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”