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中图分类号：O185.1 文献标识码：A文章编号：1008-925X(2011)12-0125-01
摘要：利用射影几何知识，探究射影变换下蝴蝶定理中的相关证明与结论，并将其应用在几何问题中，以发挥更大作用。
关键词：蝴蝶定理 射影变换 交比
通过对高等几何的学习，更进一步的认识了几何的意义，其中发现在射影几何变换下的蝴蝶定理更具有代表性，以下是一些相关的举例与结论。
例1[1] 过圆O中弦AF的中点M引任意两弦CD和EF，连接CF和ED分别交AB于P、Q，则PM=MQ。
证明：如图1，设I是CF和ED的交点，J是CE和FD的交点，于是IJ是M点的极线。对圆心O，有关于圆O的配极的度量意义知：OM⊥IJ，而OM⊥AB，于是AB∥IJ。设K是IM和CE的交点，由以I、D、M、F为顶点的完全四点型的调和性得：（CE，KJ）=-1，将AB上的无穷远点记为L∞，则(C，E，K，J)∧=（P，Q，M，L），即（PQ，ML）=（CE，KJ）=-1，于是M平分PQ，则PM=MQ。
例2 设AB是二次曲线L1的一条弦，M为AB上任意一点（M不与A、B重合）,过点M作二次曲线L1的任意两弦CD、EF，交曲线于C、D、E、F，连接CF、ED分别交AB于P、Q。设AM=a，MB=b，PM=x，MQ=y，探究：a、b、x、y之间的关系。
解：如图2，将A、F、D、E看作定点，则C（AFDB）∧-E(AFDB)
∵C（AFDB）∧-C（APMB），E（AMQB）∧-E（AFDB）
∴（APMB）=（AMQB）
即AM•PBAB•PM=AQ•MBAB•MQ
将已知数据代入上式得：a（x+b）x=（a+y）by，化简整理得：1x-1y=1a-1b
引申：将例2中的M点改变为AB延长线上一点R，过R点作L1的切线，则有2RM=1AM+1MB成立。
例3[2] 设二次曲线L1交有向直线x→于A、B两点，过直线AB外点M作L1的两弦CD、EF分别交x→于G、H，连接CF、ED交x→于I、J，记GA=a，HB=b，GI=x，HJ=y，GH=d，证明：1a+1b=1x+1y-d（1ay-1bx）。
证：如图3所示，对于L1上的点A、B、C、D、E、F，由射影变换关系知，以C、E为中心的线束射影关系为：C（AIGB）∧-E（AHGB），即（AIGB）=（AHJB）。
∴AG•IBAB•IG=AJ•HBAB•HJ
将已知数据代入上式得：-x+d+b-bx=-a+d+y-ay
化简整理得：1a+1b=1x+1y-d（1ay-1bx）。
例4 如图4所示，任意四边形ABCD的一组对边BA、CD延长后交于P，过P作割线交另一组对边所在直线于H、L，交对角线所在直线于M、N，求证：1PH+1PL=1PM+1PN。
文章[3]借用梅涅劳斯定理给出一中证法，文章[4]利用解析法给出另一种证法，现在用射影几何法，对此问题作以探究。
证：如图4，由射影几何中透视的射影关系传递性[4]可得：
（PMNL）∧-B（AONC）∧-（AONC），（HMNP）∧-D（AONC）∧-（AONC）
则：（PMNL）∧-（HMNP）
由射影关系的交比性质[5]得：
PN•MLPL•MN=HN•MPHP•MN，即1PH-1PN=1PM-1PL
于是：1PH+1PL=1PM+1PN。
此时当M=N=O时，有结论：1PH+1PL=2PO，即MO=21PH+1PL
这说明，关于线段PH、PL的调和平均的几何表示为线段MO。
參考文献
[1] 李文铭.初等几何教学基础[M].西安：陕西科学技术出版社，2003,6
[2] 赵临龙.射影观点下的蝴蝶定理[J].湖南教育学院学报，1998.2:28-32
[3] 胡耀宗.Memelaus定理的应用[J].中等数学，1998，1:19～20
[4] 杨拥良、苟洋滔.伸缩变换的一个重要结论及其应用[J].中等数学，2001，2:8～11
[5] 朱德祥.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983,9
摘要：利用射影几何知识，探究射影变换下蝴蝶定理中的相关证明与结论，并将其应用在几何问题中，以发挥更大作用。
关键词：蝴蝶定理 射影变换 交比
通过对高等几何的学习，更进一步的认识了几何的意义，其中发现在射影几何变换下的蝴蝶定理更具有代表性，以下是一些相关的举例与结论。
例1[1] 过圆O中弦AF的中点M引任意两弦CD和EF，连接CF和ED分别交AB于P、Q，则PM=MQ。
证明：如图1，设I是CF和ED的交点，J是CE和FD的交点，于是IJ是M点的极线。对圆心O，有关于圆O的配极的度量意义知：OM⊥IJ，而OM⊥AB，于是AB∥IJ。设K是IM和CE的交点，由以I、D、M、F为顶点的完全四点型的调和性得：（CE，KJ）=-1，将AB上的无穷远点记为L∞，则(C，E，K，J)∧=（P，Q，M，L），即（PQ，ML）=（CE，KJ）=-1，于是M平分PQ，则PM=MQ。
例2 设AB是二次曲线L1的一条弦，M为AB上任意一点（M不与A、B重合）,过点M作二次曲线L1的任意两弦CD、EF，交曲线于C、D、E、F，连接CF、ED分别交AB于P、Q。设AM=a，MB=b，PM=x，MQ=y，探究：a、b、x、y之间的关系。
解：如图2，将A、F、D、E看作定点，则C（AFDB）∧-E(AFDB)
∵C（AFDB）∧-C（APMB），E（AMQB）∧-E（AFDB）
∴（APMB）=（AMQB）
即AM•PBAB•PM=AQ•MBAB•MQ
将已知数据代入上式得：a（x+b）x=（a+y）by，化简整理得：1x-1y=1a-1b
引申：将例2中的M点改变为AB延长线上一点R，过R点作L1的切线，则有2RM=1AM+1MB成立。
例3[2] 设二次曲线L1交有向直线x→于A、B两点，过直线AB外点M作L1的两弦CD、EF分别交x→于G、H，连接CF、ED交x→于I、J，记GA=a，HB=b，GI=x，HJ=y，GH=d，证明：1a+1b=1x+1y-d（1ay-1bx）。
证：如图3所示，对于L1上的点A、B、C、D、E、F，由射影变换关系知，以C、E为中心的线束射影关系为：C（AIGB）∧-E（AHGB），即（AIGB）=（AHJB）。
∴AG•IBAB•IG=AJ•HBAB•HJ
将已知数据代入上式得：-x+d+b-bx=-a+d+y-ay
化简整理得：1a+1b=1x+1y-d（1ay-1bx）。
例4 如图4所示，任意四边形ABCD的一组对边BA、CD延长后交于P，过P作割线交另一组对边所在直线于H、L，交对角线所在直线于M、N，求证：1PH+1PL=1PM+1PN。
文章[3]借用梅涅劳斯定理给出一中证法，文章[4]利用解析法给出另一种证法，现在用射影几何法，对此问题作以探究。
证：如图4，由射影几何中透视的射影关系传递性[4]可得：
（PMNL）∧-B（AONC）∧-（AONC），（HMNP）∧-D（AONC）∧-（AONC）
则：（PMNL）∧-（HMNP）
由射影关系的交比性质[5]得：
PN•MLPL•MN=HN•MPHP•MN，即1PH-1PN=1PM-1PL
于是：1PH+1PL=1PM+1PN。
此时当M=N=O时，有结论：1PH+1PL=2PO，即MO=21PH+1PL
这说明，关于线段PH、PL的调和平均的几何表示为线段MO。
參考文献
[1] 李文铭.初等几何教学基础[M].西安：陕西科学技术出版社，2003,6
[2] 赵临龙.射影观点下的蝴蝶定理[J].湖南教育学院学报，1998.2:28-32
[3] 胡耀宗.Memelaus定理的应用[J].中等数学，1998，1:19～20
[4] 杨拥良、苟洋滔.伸缩变换的一个重要结论及其应用[J].中等数学，2001，2:8～11
[5] 朱德祥.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983,9