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【摘要】学生的反思习惯是培养学生数学素养、提升数学能力的关键所在，本文作者结合具体的教学实例，对于如何运用变式教学培养学生反思意识，以及在知识形成过程中如何开展反思的策略做了初步的探究，具有很强的操作性和示范性.
【关键词】反思；反思意识；教学策略
新的数学观念形成后，学生就会试图用新的观念去重新认识已经积累起来的解题技巧、方法和规律，把它纳入到刚刚建立起来的认知结构，这就是一个反思过程.“反思”是建构学说在教学实践中的主要体现，它是对主体建构活动的再建构，即：二重建构.唯有反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高自己的原认知水平，从而促进数学观点的形成和发展.
因此，在教学过程中，如何引导学生学会反思，是培养学生数学素养，提升数学能力的关键！下面笔者就中学数学课堂中如何培养学生进行反思的教学策略谈谈自己的一些做法.
1.创设变式问题，培养反思意识
反思起源于问题，这意味着，学生在学习过程中遇到的困惑和问题是反思的起点，也为反思性教学提供了可能.因此，在数学教学中将学生引入一定的问题情境，这是反思性教学的第一步.教學时，老师充分利用典型例题，在解题后进行认真的反思，不断创设出新的变式问题，激发了学生探究兴趣，更为重要的是：引领学生体会这种反思的过程其实就是学习数学的“基本套路”.
案例1 已知：圆的方程是x2 y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）圆的切线的方程.
【变式1】如果把结论中的圆“上”改成圆“外”，结果如何？
【变式2】如果点M（x0，y0）在圆x2 y2=r2外，那么直线方程x0x y0y=r2与圆x2 y2=r2又有什么关系呢？
【变式3】如果点M（x0，y0）在圆x2 y2=r2内，那么直线方程x0x y0y=r2与圆x2 y2=r2又有什么关系呢？
【变式4】如果圆的方程（x-a）2 （y-b）2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）圆的切线的方程.
【变式5】如果圆的方程x2 y2 Dx Ey F=0，求经过圆上一点M（x0，y0）圆的切线的方程.
教师创设的五个变式问题是以学生原有的认知结构为出发点层层推进的，符合学生的认知规律，激发了学生的兴趣和探究欲望，促使学生积极的参与.在教学中经常使用这样的方法，学生也会效仿老师在解题之后进行“反思”，很多学生解题后会思考：把题目的条件特殊化，是否可以得到在特定条件下的特殊结论？把条件一般化能否得到在一般情景下的一般结论？长此以往，于潜移默化中提高了学生提出问题和解决问题的能力.
2.注重知识生成，完善反思过程
通过对知识的回顾和检查，反思所完成的解答过程以及得出这一结果的途径，可以使学生进一步巩固所学的知识，发展解题能力，优化数学认知结构和数学认知技能.在反思过程中，教师要充分发挥监督和指导作用，在引导学生反思学习过程中每个环节的同时，也要善于发掘学生的新见解并且能够及时给予肯定.这一过程的实施策略主要体现在以下四个方面：
（1）形成性反思
在新知识的形成过程中，让学生“一步一反思”，通过学生自己的思考建立起自己的数学理解力，从而实现知识的主动建构.在这一过程中，教师担负着引导者和支持者的重要角色.一是教师要力求创设有利于学生反思的学习情境，让学生在所创设的情境中体验思维过程；二是教师要向学生提出明确的反思任务，不妨让他们多走些弯路，激发学生多方面的反思.
【案例2】在进行“求一元二次函数在给定区间上的最值”的教学时，笔者设计了如下的系列操作题.
①求f（x）=x2-2x 3的最值；
②求f（x）=x2-2x 3在[0，2]的最值；
③求f（x）=x2-2x 3在[-2，0]的最值；
④求f（x）=x2-2ax 3 （a为常数）在[1，2]的最值；
⑤求f（x）=x2-2x 3 （a为常数）在[a，a 1]的最值
⑥请归纳求二次函数f（x）=ax2 bx c（a>0）在[α，β]上的最值的方法.
通过学生对以上各题的逐一思考、操作、反思、内化等学习过程，使新知识主动得到顺应，深化了知识和方法的建构，而教师对于二次函数求最值这一难点的教学也轻松的取得了较好的效果.
（2）巩固性反思
在对数学概念、定理、公式、方法等数学内容的学习时，一定要对于诸如：其成立的限定条件、特殊情况、应用范围以及与其他知识的联系等方面进行深刻反思，做到全面理解，才能达到巩固知识，正确利用知识的目的.
如：利用“a b2≥ab”求函数的最值时，要反思注意三个条件：
①两数均为正数；②和或者积必须是常数；③相等的条件能否达到.
三个条件缺一不可，否则，就有可能在实际运用中出现错误.
【案例3】“求函数y=x2 2x2 1的最小值”时，学生就会很容易出现这样的错误：
∵y=x2 2x2 1=x2 1 1x2 1≥2.
∴ 最小值等于2.
但是如果函数的最小值取2时，此时x2 1=1x2 1，即：x2=-1这在实数范围内是不可能的，而学生的错误是在本质上忽略了“两正数能否相等”的条件，经过对自己出现错误的深刻反思，巩固了学生对于基本不等式成立的限定条件的认识，从而对于问题就有了更深刻的理解.
（3）辨误式反思
皮亚杰认为，学生在学习过程中犯些错误是应该的，而且有时甚至是有益的.他认为错误会引起学生顺化自己的认知结构.因此，引导学生对数学解题的某些通病或典型错误做辨误式反思，看是否忽视了隐含条件，是否以特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否严密等，有利于学生对知识的正确建构，培养思维的严密性和批判性，提高分析和解决问题的能力. 【案例4】过抛物线y2=4x的焦点作一条倾角为α的弦，若弦长不超过8，求：倾角α的取值范围.
解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），弦AB的方程为y=k（x-1）其中k=tanα，将此方程代入y2=4x得k2x2-2（k2 2）x k2=0.
所以，x1 x2=2（k2 2）k2，x1·x2=1，
由：|AB|=1 k2|x1-x2|=1 k2（x1-x2）2-4x1·x2=4（2 k2）k2≤8
得：k2≥1即：tanα≥1，α∈π4，π2∪π2，3π4.
反思：纵观解题过程，不难发现忽视了“斜率不存在”这种情况.
（4）总结性反思
教师要引导学生养成问题解答后进行总结反思的习惯，促进学生加深对知识的理解，加强知识之间的联系和沟通，提炼数学思想和方法，最大限度的挖掘、发挥范例的作用，提高解题效益，培养学生良好的思维品质.
①对解题思路的反思：
解题后，不能仅停留在所得到的结论上，而要进一步总结反思是怎样得出结论的？关键之处何在？有没有其他解法等问题，有利于培养思维的敏锐性和广阔性.
如对上例，还可启发学生一题多解.
【方法1】根据弦过定点，利用直线的参数方程，借助于参数t的几何意义，利用|AB|=|t1-t2|求解；
【方法2】根据弦过焦点，借助于韦达定理，利用焦半径公式求解；
【方法3】根据所给焦点是抛物线y2=4x的焦点，利用圆锥曲线的极坐标求解.
②对解题规律的反思：
在一个问题解决后，可以总结（在知识上、技巧上、思维策略上）有什么收获？有何教训？看看能否进行变式、引申和推广，把一道题变成一类题，使学生做一道题会一串题，培养思维的深刻性和创造性.
【案例5】过定圆x2 y2=a2其中a﹥0上的一点A（a，o）作弦，求：各弦中点的轨迹方程.
解完这个题，可以进一步启发学生分析和思考题目的变形：
【变式1】将条件“点A（a，o）”改为点“A（m，o）（|m|≤a）”，即点A在圆内，结果怎样？
【变式2】将条件“圆x2 y2=a2”改为“椭圆x2a2 y2b2=1”结果又怎样？
继续变形，将条件中点A改为在圆外或改圆为双曲线、抛物线或改为各弦定比分点上的轨迹方程等等.
3.尝试探索问题，强化反思品质
尝试探索是一个需要不断对所发生的情况进行反思和调整的动态过程，是培养反思习惯的良好途径.在课堂教学中，合理地组织学生的尝试活动，可先由教师启发引导，然后让学生自己去分析，学生在探索的过程中，用“问题”来调节尝试过程.具体来讲，可分为如下几个尝试过程：
（1）调节思维过程
研究表明，经常地向自己发问是进行自我调节的最有效的方法.经过自我发问，学生的反思意识就会得到不断的加强，探索和解决问题的能力就会不断提高.
（2）调节尝试难度
学生在尝试中遇到困难时，教师可以利用辅助问题作适当提示，引起学生思维上的自我反省，使探求活动得以持续进行.
（3）充分暴露思维过程
学生在尝试探索问题的解决过程中，教师鼓励他们充分暴露其思维过程，说出自己的“思路、方法、结果和困难”，其正确与错误很快就会被教师或其他同学所发现，由此产生反思，加深理解.
笔者对于在教学中培养学生反思意识的研究还处于探索阶段，还有很多不成熟之处，需要在今后的实践中不断地总结和丰富，使其更加系统、完善，更具有可操作性.
【参考文献】
[1]熊川武.反思性教学[M].上海：华东师范大学出版社，1999年版.
[2]熊川武.论教育实践合理性[J]上海：華东师范大学学报（教育科学版），1997.4.
[3]张志泉.论学生学习的反思[J]，扬州大学学报（高教研究版）2004.2.
[4]卢真金.反思性教学的五种传统[J].比较教育研究，2002.1.
[5]张广样著.数学建构主义与可误主义的认知观[J].数学教育学报，2001.3.
[6]李宽珍著.理清主线，变式推进，注重反思[J].中学数学，2014.3.
[7]李凯著.浅谈高中数学课堂教学中学生问题意识的培养[J].中学数学，2014.6.
[8]漆光宗著.在探究中把学生思考引向深入[J].中国数学教育，2014.5.
【关键词】反思；反思意识；教学策略
新的数学观念形成后，学生就会试图用新的观念去重新认识已经积累起来的解题技巧、方法和规律，把它纳入到刚刚建立起来的认知结构，这就是一个反思过程.“反思”是建构学说在教学实践中的主要体现，它是对主体建构活动的再建构，即：二重建构.唯有反思，才能控制思维操作，才能促进理解，提高自己的原认知水平，从而促进数学观点的形成和发展.
因此，在教学过程中，如何引导学生学会反思，是培养学生数学素养，提升数学能力的关键！下面笔者就中学数学课堂中如何培养学生进行反思的教学策略谈谈自己的一些做法.
1.创设变式问题，培养反思意识
反思起源于问题，这意味着，学生在学习过程中遇到的困惑和问题是反思的起点，也为反思性教学提供了可能.因此，在数学教学中将学生引入一定的问题情境，这是反思性教学的第一步.教學时，老师充分利用典型例题，在解题后进行认真的反思，不断创设出新的变式问题，激发了学生探究兴趣，更为重要的是：引领学生体会这种反思的过程其实就是学习数学的“基本套路”.
案例1 已知：圆的方程是x2 y2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）圆的切线的方程.
【变式1】如果把结论中的圆“上”改成圆“外”，结果如何？
【变式2】如果点M（x0，y0）在圆x2 y2=r2外，那么直线方程x0x y0y=r2与圆x2 y2=r2又有什么关系呢？
【变式3】如果点M（x0，y0）在圆x2 y2=r2内，那么直线方程x0x y0y=r2与圆x2 y2=r2又有什么关系呢？
【变式4】如果圆的方程（x-a）2 （y-b）2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）圆的切线的方程.
【变式5】如果圆的方程x2 y2 Dx Ey F=0，求经过圆上一点M（x0，y0）圆的切线的方程.
教师创设的五个变式问题是以学生原有的认知结构为出发点层层推进的，符合学生的认知规律，激发了学生的兴趣和探究欲望，促使学生积极的参与.在教学中经常使用这样的方法，学生也会效仿老师在解题之后进行“反思”，很多学生解题后会思考：把题目的条件特殊化，是否可以得到在特定条件下的特殊结论？把条件一般化能否得到在一般情景下的一般结论？长此以往，于潜移默化中提高了学生提出问题和解决问题的能力.
2.注重知识生成，完善反思过程
通过对知识的回顾和检查，反思所完成的解答过程以及得出这一结果的途径，可以使学生进一步巩固所学的知识，发展解题能力，优化数学认知结构和数学认知技能.在反思过程中，教师要充分发挥监督和指导作用，在引导学生反思学习过程中每个环节的同时，也要善于发掘学生的新见解并且能够及时给予肯定.这一过程的实施策略主要体现在以下四个方面：
（1）形成性反思
在新知识的形成过程中，让学生“一步一反思”，通过学生自己的思考建立起自己的数学理解力，从而实现知识的主动建构.在这一过程中，教师担负着引导者和支持者的重要角色.一是教师要力求创设有利于学生反思的学习情境，让学生在所创设的情境中体验思维过程；二是教师要向学生提出明确的反思任务，不妨让他们多走些弯路，激发学生多方面的反思.
【案例2】在进行“求一元二次函数在给定区间上的最值”的教学时，笔者设计了如下的系列操作题.
①求f（x）=x2-2x 3的最值；
②求f（x）=x2-2x 3在[0，2]的最值；
③求f（x）=x2-2x 3在[-2，0]的最值；
④求f（x）=x2-2ax 3 （a为常数）在[1，2]的最值；
⑤求f（x）=x2-2x 3 （a为常数）在[a，a 1]的最值
⑥请归纳求二次函数f（x）=ax2 bx c（a>0）在[α，β]上的最值的方法.
通过学生对以上各题的逐一思考、操作、反思、内化等学习过程，使新知识主动得到顺应，深化了知识和方法的建构，而教师对于二次函数求最值这一难点的教学也轻松的取得了较好的效果.
（2）巩固性反思
在对数学概念、定理、公式、方法等数学内容的学习时，一定要对于诸如：其成立的限定条件、特殊情况、应用范围以及与其他知识的联系等方面进行深刻反思，做到全面理解，才能达到巩固知识，正确利用知识的目的.
如：利用“a b2≥ab”求函数的最值时，要反思注意三个条件：
①两数均为正数；②和或者积必须是常数；③相等的条件能否达到.
三个条件缺一不可，否则，就有可能在实际运用中出现错误.
【案例3】“求函数y=x2 2x2 1的最小值”时，学生就会很容易出现这样的错误：
∵y=x2 2x2 1=x2 1 1x2 1≥2.
∴ 最小值等于2.
但是如果函数的最小值取2时，此时x2 1=1x2 1，即：x2=-1这在实数范围内是不可能的，而学生的错误是在本质上忽略了“两正数能否相等”的条件，经过对自己出现错误的深刻反思，巩固了学生对于基本不等式成立的限定条件的认识，从而对于问题就有了更深刻的理解.
（3）辨误式反思
皮亚杰认为，学生在学习过程中犯些错误是应该的，而且有时甚至是有益的.他认为错误会引起学生顺化自己的认知结构.因此，引导学生对数学解题的某些通病或典型错误做辨误式反思，看是否忽视了隐含条件，是否以特殊代替一般，是否忽视特例，逻辑上是否严密等，有利于学生对知识的正确建构，培养思维的严密性和批判性，提高分析和解决问题的能力. 【案例4】过抛物线y2=4x的焦点作一条倾角为α的弦，若弦长不超过8，求：倾角α的取值范围.
解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），弦AB的方程为y=k（x-1）其中k=tanα，将此方程代入y2=4x得k2x2-2（k2 2）x k2=0.
所以，x1 x2=2（k2 2）k2，x1·x2=1，
由：|AB|=1 k2|x1-x2|=1 k2（x1-x2）2-4x1·x2=4（2 k2）k2≤8
得：k2≥1即：tanα≥1，α∈π4，π2∪π2，3π4.
反思：纵观解题过程，不难发现忽视了“斜率不存在”这种情况.
（4）总结性反思
教师要引导学生养成问题解答后进行总结反思的习惯，促进学生加深对知识的理解，加强知识之间的联系和沟通，提炼数学思想和方法，最大限度的挖掘、发挥范例的作用，提高解题效益，培养学生良好的思维品质.
①对解题思路的反思：
解题后，不能仅停留在所得到的结论上，而要进一步总结反思是怎样得出结论的？关键之处何在？有没有其他解法等问题，有利于培养思维的敏锐性和广阔性.
如对上例，还可启发学生一题多解.
【方法1】根据弦过定点，利用直线的参数方程，借助于参数t的几何意义，利用|AB|=|t1-t2|求解；
【方法2】根据弦过焦点，借助于韦达定理，利用焦半径公式求解；
【方法3】根据所给焦点是抛物线y2=4x的焦点，利用圆锥曲线的极坐标求解.
②对解题规律的反思：
在一个问题解决后，可以总结（在知识上、技巧上、思维策略上）有什么收获？有何教训？看看能否进行变式、引申和推广，把一道题变成一类题，使学生做一道题会一串题，培养思维的深刻性和创造性.
【案例5】过定圆x2 y2=a2其中a﹥0上的一点A（a，o）作弦，求：各弦中点的轨迹方程.
解完这个题，可以进一步启发学生分析和思考题目的变形：
【变式1】将条件“点A（a，o）”改为点“A（m，o）（|m|≤a）”，即点A在圆内，结果怎样？
【变式2】将条件“圆x2 y2=a2”改为“椭圆x2a2 y2b2=1”结果又怎样？
继续变形，将条件中点A改为在圆外或改圆为双曲线、抛物线或改为各弦定比分点上的轨迹方程等等.
3.尝试探索问题，强化反思品质
尝试探索是一个需要不断对所发生的情况进行反思和调整的动态过程，是培养反思习惯的良好途径.在课堂教学中，合理地组织学生的尝试活动，可先由教师启发引导，然后让学生自己去分析，学生在探索的过程中，用“问题”来调节尝试过程.具体来讲，可分为如下几个尝试过程：
（1）调节思维过程
研究表明，经常地向自己发问是进行自我调节的最有效的方法.经过自我发问，学生的反思意识就会得到不断的加强，探索和解决问题的能力就会不断提高.
（2）调节尝试难度
学生在尝试中遇到困难时，教师可以利用辅助问题作适当提示，引起学生思维上的自我反省，使探求活动得以持续进行.
（3）充分暴露思维过程
学生在尝试探索问题的解决过程中，教师鼓励他们充分暴露其思维过程，说出自己的“思路、方法、结果和困难”，其正确与错误很快就会被教师或其他同学所发现，由此产生反思，加深理解.
笔者对于在教学中培养学生反思意识的研究还处于探索阶段，还有很多不成熟之处，需要在今后的实践中不断地总结和丰富，使其更加系统、完善，更具有可操作性.
【参考文献】
[1]熊川武.反思性教学[M].上海：华东师范大学出版社，1999年版.
[2]熊川武.论教育实践合理性[J]上海：華东师范大学学报（教育科学版），1997.4.
[3]张志泉.论学生学习的反思[J]，扬州大学学报（高教研究版）2004.2.
[4]卢真金.反思性教学的五种传统[J].比较教育研究，2002.1.
[5]张广样著.数学建构主义与可误主义的认知观[J].数学教育学报，2001.3.
[6]李宽珍著.理清主线，变式推进，注重反思[J].中学数学，2014.3.
[7]李凯著.浅谈高中数学课堂教学中学生问题意识的培养[J].中学数学，2014.6.
[8]漆光宗著.在探究中把学生思考引向深入[J].中国数学教育，2014.5.