【摘要】勾股定理被称为“几何学的基石”，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，体现了“数”与“形”的互相转换，表明了数形结合思想在数学教学中有不可忽视的作用。基于此，本文探讨了如何在“勾股定理”教学的各个环节渗透数形结合思想，旨在为中学数学教师的教学提供一些新的视角。
　　【关键词】数形结合思想;勾股定理;教学设计
　　“数”与“形”是数学知识的两种表现形式，“数”体现在用数学语言表征数学概念、数学性质与数学定理等，而“形”是实物、图象与图形的表征。勾股定理是中国传统数学文化代表之一，在教学中，为了让学生更深层次地领悟知识、感悟数形结合的思想，教师可以借助数学文化把数形結合思想融入各个教学环节中。
　　一、基于渗透数形结合思想的“勾股定理”教学设计
　　（一）教材分析
　　“勾股定理”是人教版数学教材八年级下册的内容，学生已经初步掌握开方、解方程、三角形等相关知识。教师可以结合八年级学生具有较强的好奇心和求知欲的特点，在教学中分层、分阶段地渗透数形结合的思想。基于此，教师可以借助数学文化载体，对定理的由来、探索证明方法、应用过程中渗透数形结合思想进行设计，为学生后续学习平面几何乃至立体几何做好铺垫[1]。
　　（二）教学目标
　　（1）让学生主动探索“发现”勾股定理的证明过程，并会用面积法证明勾股定理。
　　（2）在探索与证明勾股定理的过程中渗透数形结合的思想方法，培养学生发现问题和总结规律的能力。
　　（3）在学生动手操作过程中，培养学生的合作学习的能力，使学生体会到勾股定理中“数”与“形”的关系，感受到数学中的美。
　　（三）教学重点、难点
　　教学重点：探索勾股定理的推导过程。
　　教学难点：运用数形结合的思想证明勾股定理。
　　（四）教学过程
　　【第一环节】实践操作，提出猜想，导入课题
　　1.小组合作，感知数与形之间的奥秘
　　教师课前准备好三张直角三角形纸片（三边长是勾股数），通过PPT展示以下任务。
　　（1）用直尺量出直角三角形三边长度，将数据填入表1。
　　（2）思考：你发现了什么规律？
　　预设：学生发现规律较困难时，教师提醒两直角边长的平方和与斜边长的平方的关系。
　　设计意图：设计思路改变了传统的教学模式，直接让学生主动建构，从“直角三角形纸片”到“测量各边长度”的过程中，直观地感知数与形之间的关系。
　　2.运用现代信息技术，体验数与形的动态关系
　　教师操作几何画板，设计大小不一的直角三角形;测量三边长度（软件操作）。
　　学生通过观察进一步激发探索和发现的欲望。
　　设计意图：运用几何画板动态地展示各种直角三角形，让学生观察直角三角形三边长的关系，潜移默化地将数形结合思想渗透在动静之中。
　　3.提出猜想，导入课题
　　教师引导学生大胆提出猜想结论：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2 b2=c2。由此导出课题——勾股定理。
　　【第二环节】探索新知，验证定理，证明结论
　　1.借助数学文化，再现发现定理的过程
　　教师出示PPT展示任务：（1）让学生拿出课前准备的四个全等的三角形教具;（2）让学生分组进行拼图，并鼓励他们大胆尝试各种拼法。
　　预设1：拼成第一种情形（见图1）或第二种情形（见图2）。
　　教师屏幕展示图1和图2，并介绍数学文化知识——赵爽弦图。之后，教师提问：“赵爽是如何证明勾股定理的？”
　　学生在讨论过程中总结出采用面积法得到“大正方形面积=四个全等直角三角形的面积 小正方形的面积”，从而得出结论：a2 b2=c2.
　　
　　教师出示PPT展示毕达哥拉斯证明勾股定理的图形，让学生自己尝试证明的过程。
　　设计意图：让学生经历动手操作到“再创造”的过程，感受中外数学家运用数形结合思想证明勾股定理的过程。
　　2.自主探索，总结证明定理的方法
　　教师通过课件展示问题：除教材中证明勾股定理的方法，还有什么方法呢？由此拓展学生的思维，引出美国第20任总统加菲尔德证明勾股定理时所采用的图形是用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出一个梯形。之后，教师进一步引导学生思考：运用之前学过的方法怎样来证明勾股定理？
　　设计意图：赵爽证法有创意、简洁、直观，让学生进行拼、凑、补等实践活动，能使他们感受到我国传统数学文化的精髓。此外，通过学习勾股定理的不同证法，学生能更加深刻地理解数形结合的思想内涵。
　　【第三环节】巩固新知，拓展延伸，学以致用
　　为了更好地帮助学生巩固知识、提升能力，教师可以设计一系列问题与拓展练习。
　　1.设问反思，知识建构
　　教师可以设计以下问题：（1）勾股定理具体内容是什么？（2）在运用勾股定理时需要注意的前提条件是什么？（3）勾股定理主要研究直角三角形的什么关系？
　　2.多层训练，夯实基础
　　教师利用课件展示练习题：（1）将教材24页练习改编成抢答方式，设计一些常见的勾股数，已知直角三角形的任意两边长，说出另一边长。（2）因条件有限，不能直接测量池塘的两点间距离，如何运用今天所学知识解决问题？
　　设计意图：为了达到巩固新知的目的，创造性地设计练习（1）。练习（2）的情境设计遵循数学源于生活并服务于生活的理念，这样做既能提高学生的学习兴趣，又让学生体会到勾股定理蕴含的数形结合思想的应用价值。
　　3.拓展延伸，渗透思想
　　教师提问：“能否运用图形解释公式（a b）2=a2 2ab b2的几何意义？” 　　设计意图：勾股定理的证明体现了“形”转化为“数”的过程，为防止学生出现思维定式，教师设计拓展性问题——解释完全平方公式的几何意义，让学生体会到“数”转化成“形”的魅力，从而理解数形结合思想的本质。
　　【第四环节】归纳小结，总结思想，作业布置
　　1.归纳小结，总结思想
　　师生共同归纳总结，不仅从知识的结构进行梳理，还概括了本节课数形结合思想的运用过程。学生在总结反思过程中感受到数形结合思想贯穿于本节课的始终。
　　2.作业布置，运用思想
　　（1）如图3所示，一根长为10米的竹竿AB，竹竿的顶端A距离垂直地面长为8米，如果顶端A点下滑2米后，变成CD位置，竹竿的底端是否也滑动了2米？
　　（2）借助网络收集新的证明勾股定理的方法。
　　二、对教学设计做进一步思考
　　（一）在教学过程中有效利用现代信息技术渗透数形结合思想
　　以“勾股定理”的教学设计为例，教师可以通过运用现代信息技术（几何画板），在教学中呈现出不同类型的直角三角形，让学生在多变的图形中感受数量的变化，进一步发现不变的数量之间存在的规律。在教学设计中，教师从传统数学文化的角度展现古今中外数学家运用数形结合思想证明勾股定理的方法，使学生通过再探索、再创造去学习和理解了勾股定理。
　　（二）在问题解决过程中展现数形结合思想
　　教师应在解决数学问题过程中，展现数形结合思想的关键——呈现问题中的“数”与“形”互为一体，把复杂的问题简单化。“勾股定理”的教学设计从导入、定理证明及其应用，设计了有层次、有梯度的数学问题，如从学生动手测量、观察到动手操作拼图，逐步渗透数形结合的思想。
　　（三）在教学反思过程中总结数形结合思想方法
　　关于反思的认识，弗赖登塔尔认为是建构到反思，反思到证明的过程。教师的教学反思主要体现在四个方面：一是挖掘教材中蕴含的数形结合思想;二是在教学活动的各环节渗透数形结合思想;三是数形结合思想的渗透过程伴随知识的生长过程;四是分析例题设计习题练习，让学生时刻受到这种方法的熏陶，从而逐步形成数形结合的意识。比如，在“勾股定理”的教学设计中，从“形”的角度看，四个全等三角形的拼凑方法主要采用了活动探究式教学方法;从“数”的角度看，勾股定理结论的呈现就是数形结合的思想。在教学的各个环节，教师应始终遵循反思渗透的原则，以便有效地渗透数形结合思想。
　　综上所述，在“勾股定理”的教学过程中渗透数形结合思想方法，教师应遵循学生的思维发展特点，运用现代信息技术动态地展现“形”，在解决问题的过程中灵活运用“数”与“形”的关系，反思数形结合思想的内在价值，从而提升学生解决数学问题的能力，提高学生的综合素质。
　　【参考文献】
　　孙悦，刘金魁.新课标下初中數学教学案例设计：以“探索勾股定理”为例[J].凯里学院学报，2020（12）：109-111.