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摘要：“异面直线的距离”的教学可以尝试运用现象教学的根本观点——回到更真实、开放的现象上，引导学生展开更自然、深入的探究。具体地，可以让学生从现象感知开始，先直观地认识“哪个东西”是异面直线的距离，再严格地定义异面直线的距离;并提升到本质认识层面，在严格定义的基础上思考“为什么这样定义”，联系之前学习的多个距离概念，归纳出“最短”这个本质特征，抽象出“点集距离”这个更一般的概念。
关键词：现象教学点集距离《异面直线的距离》
通常，“异面直线的距离”的教学（包括教材编写）是按照“异面直线—公垂线—公垂线段—距离”的顺序展开的。其中，“异面直线”之后每一个概念的出现都有一些突兀，只能以教师讲授或大量引导为主，很难让学生自主探究生成;而且，“异面直线的距离”概念也显得很孤立，没有和前面的点到点的距离、点到直线的距离、平行直线之间的距离从及后面的点面距离、线面距离、面面距离等概念发生联系，很难让学生获得意义上的理解和认识上的提升。因此，学生学起来很吃力，只能机械记忆，套用解题。在这样的教学中，学生就像经过长途跋涉，到了一个地方，但对自己走过的路茫然无知，也不知道自己所到的地方是哪里——他们好像是被“绑架”到了那里，而不是主动行至。有鉴于此，教材和考试一直都在弱化这个知识点。
那么，这个知识点真的很难教吗？有没有更有效的教学方法呢？我们认为，可以尝试运用现象教学的根本观点——回到更真实、开放的现象上，引导学生展开更自然、深入的探究，直至勾连知识的联系，认识知识的本质。
一、教学过程
（一）异面直线距离的定义
师请大家用两支笔代表两条直线，摆出它们在空间中的不同位置关系。
（学生分别摆出相交、平行、异面关系。）
师什么叫异面直线？
（学生回答出异面直线的定义。）
师我们已经知道，两条异面直线可以形成不同大小的角。那么，除了角以外，还有什么是值得认识的？
（学生活动：摆放不同的异面直线，体会其中的位置关系和数量关系。在交流中，很多学生提到“距离”。）
师大家都认为异面直线之间是有距离的。那么什么是异面直线之间的距离呢？同桌的两个同学合作，一个摆好一对异面直线，另一个指出哪個东西能代表异面直线之间的距离。
（学生所摆的异面直线基本上有一条或两条与桌面平行，有的则干脆把一条放在桌面上，另一条平行于桌面。负责指认的学生大多数在两条直线之间比画出一条“最近”的线段来。虽然还没有给出定义和理由，但是他们凭直觉能够感知到“应该是它”。）
师请移动你的直线，把它们之间的距离扩大为原来的两倍。
（学生移动一条或两条直线。大多数学生移动直线的方向就是刚才所比画的方向，也就是“公垂线”的方向，而移动的距离则把刚才那条“公垂线段”的长度加倍。少数学生移动的方向“不对”，教师示范“正确”的移动方向，并提问：“水平移动一条直线能不能把它们之间的距离加倍？”再让学生重新尝试。）
师请依次把它们之间的距离再加倍、再加10厘米、变为原来的三分之一。
（学生活动。）
师请把直线的方向调整一下，使任何一条都不与桌面平行，然后重新考虑上面的问题。
（学生调整两条直线的方向，然后重新指认它们之间的距离。）
师同样地，把它们之间的距离加倍。
（学生活动。）
师我们体会了异面直线之间的距离，还对不同的距离进行了指认，远的近的、歪的斜的都没关系。那么，究竟什么是异面直线的距离呢？我们需要给它一个严格的定义。
（师生合作，给出严格定义。然后，教师出示练习“正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为5，求出下列异面直线之间的距离：①AB与B1C1，②DD1与BC”。学生完成。）
（二）距离的本质
师我们用公垂线段的长度定义异面直线之间的距离，那么用直线上其他点的连线行不行？也就是说，在两条直线上各取另外一点来构造线段，其长度会不会等于刚才所说的公垂线段的长度？
（学生尝试探究，有的作图说明，有的继续摆放笔，在笔上找点。师生合作，得出结论：异面直线的距离是两条异面直线上点的距离的最小值。）
师让我们回过头来看以前学过的几个距离问题。（1）两点之间的距离是指线段的长，有什么特征？
生两点之间的所有连线中，线段最短。
师（2）点到直线的距离是指自点向直线所作的垂线段的长，有什么特征？
生点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短。
师（3）两条平行线的距离是指夹在两条直线之间的垂线段的长，有什么特征？
生连接两条平行线上两点的线段中，垂线段最短。
师可见，“最短”才是“距离”的本质特征，“垂直”并不是本质特征。我们是不是一直忽视了这一点？这里，我们还能发现，平行线之间的距离其实也是“公垂线段”的长。（稍停）那我们平时所说的距离是什么意思呢？比如，苏州市和上海市的距离是多少？
生坐火车半个小时。
生开车1小时。
生两市相邻，没有距离。
……
师刚才大家说的可能指的是两个火车站之间的距离或开车的起点和终点之间的距离，能不能说它们是“两个市之间的距离”呢？两个城市不是两个点，而是两个区域，怎么考虑距离呢？
（学生讨论，取得共识：苏州市与上海市邻界，可以说距离为0;其余答案都是某两点之间的距离，而不是两市之间的距离。）
师一般地，是不是可以考虑“两个点集之间的距离”？（出示图1）比如，两个圆及其内部作为两个点集，是不是可以考虑它们之间的距离？
（学生思考，讨论。） 师在两个点集内分别取点，连成线段。这些线段长度的最小值就叫作这两个点集之间的距离。（稍停）大家一定知道物理上有个“尖端放电”现象，电所走的就是最近距离。（出示图2）在空中交叉而过的高压电线，当电势差足够大时，就可能击穿空气，产生放电现象。如果这种事情发生，将发生在何处？
生它们的公垂线段处。
师是的，不论它们异面还是平行。所以，在设计高压电线的线路时，一定要考虑这个因素，并不是没有“尖端”就不放电。“电势差足够大”才是放电的本质特征，“尖端”只是放电的一个非本质特征。
二、教学思考
上述教学有两个优点。
第一，让学生从现象感知开始，先直观地认识“哪个东西”是异面直线的距离，再严格地定义异面直线的距离。这样的探究非常自然，没有限制，也非常符合数学（科学）发现的逻辑，即“大胆猜想，小心求证”，左右脑并用，感性与理性并重。而学生的表现也表明，他们具有这样的经验直觉，不难找到异面直线的距离，体会其含义，教师只需帮助他们表述其形式。
第二，让学生提升到本质认识层面，在严格定义的基础上思考“为什么这样定义”，联系之前学习的多个距离概念，归纳出“最短”这个本质特征，抽象出“点集距离”这个更一般的概念。这样的探究非常深入，没有懈怠，也非常符合认知追求的规律，即用上位概念整合下位概念，可以让下位概念变得更深刻，让上位概念变得更充实。而学生的表现也表明，他们能发现“最短”这个本质特征，也能接受“点集距离”这个更一般的概念。
下面再深入地谈一谈抽象出“点集距离”这个更一般的概念的必要性和可行性。
关于必要性，一方面，“点集距离”这个更一般的概念的认识功能大大增强。除了在后面学习点面距离、线面距离、面面距离及两点之间的球面距离时会显示出极大的優越性之外，也为以后用各种距离求二次函数的最小值及学习最小二乘法、数据拟合等奠定了基础。比如，已知x2+y2=9，求4x+2y的最大值和最小值。此题除了用三角换元的方法解决之外，还可用类似线性规划的方法，把它看成动直线与定圆的“点集距离”，或者转化后看成定点与定圆的“点集距离”[4x+2y=x2+y2+4x+2y-9=（x+2）2+（y+1）2-14，即求点（-2，-1）到圆x2+y2=9上的点（x，y）距离的平方]。
另一方面，抽象出“点集距离”的概念，可以给学生示范一种思考的路径，帮助他们学会学习。这符合素养培育和可持续发展的原则。理论科学就是分类的学问，而分类之所以能够进行就是因为有不断递进的足够抽象的概念，用以揭示本质特征并涵盖有关个例，形成知识结构。我们不应该把每一个个体都认识得非常清楚，却没有产生更一般的概念。比如，因纽特人把每一头麋鹿都认识得非常清楚，却没有产生“麋鹿”这个概念，以至于每一头麋鹿都有不同的称呼，甚至同一只麋鹿在不同季节也有不同的称呼。这样的认识是重复而低效的，这样的知识学得再多，对提高认识的帮助也是十分有限的。“减负”不是少学或不学，而应该是高效地学。高效地学需要更深入的认识。
关于可行性，首先，“点集距离”比“异面直线的距离”和“平行线的距离”更具有直观性。人类最基本的感知是对空间的感知，而其中基本的感知之一是对距离的感知。人们在生活中接触“两个区域（比如城市）的距离”比接触“两条异面直线的距离”机会更多，感知也更清晰，理解也更容易，探究动力也更强。这就具备了抽象“点集距离”的心理基础。其次，现行高中数学教材的解析几何部分明确地把曲线看作点的集合，立体几何部分也暗含着“直线、平面是点的集合”的观点（从A∈l、aα、α∩β=l等记号中可见），那么，用“点集距离”来理解“异面直线的距离”等概念并不算突兀。最后，此处的抽象只是做一个直观的描述，并不做细微的分析，对“点集距离”没有过高的要求，不去操练解题的方法，因而没有加重学生的负担，反而带来了思想的自由和心灵的愉悦，唤醒了学生沉睡的记忆，激活了学生的想象力。
参考文献：
[1] 孙四周.把数学问题还原为数学现象——谈“基于活动与体验的例题教学”[J].数学通报，2015（10）.
[2] 水菊芳.从情境到现象：再进一步的数学教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[3] 孙四周.现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[4] 李宏铭.数学现象教学的实施及评价概述[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[5] 水菊芳.“数学现象”视角下的概念教学[J].江苏教育，2018（43）.
关键词：现象教学点集距离《异面直线的距离》
通常，“异面直线的距离”的教学（包括教材编写）是按照“异面直线—公垂线—公垂线段—距离”的顺序展开的。其中，“异面直线”之后每一个概念的出现都有一些突兀，只能以教师讲授或大量引导为主，很难让学生自主探究生成;而且，“异面直线的距离”概念也显得很孤立，没有和前面的点到点的距离、点到直线的距离、平行直线之间的距离从及后面的点面距离、线面距离、面面距离等概念发生联系，很难让学生获得意义上的理解和认识上的提升。因此，学生学起来很吃力，只能机械记忆，套用解题。在这样的教学中，学生就像经过长途跋涉，到了一个地方，但对自己走过的路茫然无知，也不知道自己所到的地方是哪里——他们好像是被“绑架”到了那里，而不是主动行至。有鉴于此，教材和考试一直都在弱化这个知识点。
那么，这个知识点真的很难教吗？有没有更有效的教学方法呢？我们认为，可以尝试运用现象教学的根本观点——回到更真实、开放的现象上，引导学生展开更自然、深入的探究，直至勾连知识的联系，认识知识的本质。
一、教学过程
（一）异面直线距离的定义
师请大家用两支笔代表两条直线，摆出它们在空间中的不同位置关系。
（学生分别摆出相交、平行、异面关系。）
师什么叫异面直线？
（学生回答出异面直线的定义。）
师我们已经知道，两条异面直线可以形成不同大小的角。那么，除了角以外，还有什么是值得认识的？
（学生活动：摆放不同的异面直线，体会其中的位置关系和数量关系。在交流中，很多学生提到“距离”。）
师大家都认为异面直线之间是有距离的。那么什么是异面直线之间的距离呢？同桌的两个同学合作，一个摆好一对异面直线，另一个指出哪個东西能代表异面直线之间的距离。
（学生所摆的异面直线基本上有一条或两条与桌面平行，有的则干脆把一条放在桌面上，另一条平行于桌面。负责指认的学生大多数在两条直线之间比画出一条“最近”的线段来。虽然还没有给出定义和理由，但是他们凭直觉能够感知到“应该是它”。）
师请移动你的直线，把它们之间的距离扩大为原来的两倍。
（学生移动一条或两条直线。大多数学生移动直线的方向就是刚才所比画的方向，也就是“公垂线”的方向，而移动的距离则把刚才那条“公垂线段”的长度加倍。少数学生移动的方向“不对”，教师示范“正确”的移动方向，并提问：“水平移动一条直线能不能把它们之间的距离加倍？”再让学生重新尝试。）
师请依次把它们之间的距离再加倍、再加10厘米、变为原来的三分之一。
（学生活动。）
师请把直线的方向调整一下，使任何一条都不与桌面平行，然后重新考虑上面的问题。
（学生调整两条直线的方向，然后重新指认它们之间的距离。）
师同样地，把它们之间的距离加倍。
（学生活动。）
师我们体会了异面直线之间的距离，还对不同的距离进行了指认，远的近的、歪的斜的都没关系。那么，究竟什么是异面直线的距离呢？我们需要给它一个严格的定义。
（师生合作，给出严格定义。然后，教师出示练习“正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为5，求出下列异面直线之间的距离：①AB与B1C1，②DD1与BC”。学生完成。）
（二）距离的本质
师我们用公垂线段的长度定义异面直线之间的距离，那么用直线上其他点的连线行不行？也就是说，在两条直线上各取另外一点来构造线段，其长度会不会等于刚才所说的公垂线段的长度？
（学生尝试探究，有的作图说明，有的继续摆放笔，在笔上找点。师生合作，得出结论：异面直线的距离是两条异面直线上点的距离的最小值。）
师让我们回过头来看以前学过的几个距离问题。（1）两点之间的距离是指线段的长，有什么特征？
生两点之间的所有连线中，线段最短。
师（2）点到直线的距离是指自点向直线所作的垂线段的长，有什么特征？
生点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短。
师（3）两条平行线的距离是指夹在两条直线之间的垂线段的长，有什么特征？
生连接两条平行线上两点的线段中，垂线段最短。
师可见，“最短”才是“距离”的本质特征，“垂直”并不是本质特征。我们是不是一直忽视了这一点？这里，我们还能发现，平行线之间的距离其实也是“公垂线段”的长。（稍停）那我们平时所说的距离是什么意思呢？比如，苏州市和上海市的距离是多少？
生坐火车半个小时。
生开车1小时。
生两市相邻，没有距离。
……
师刚才大家说的可能指的是两个火车站之间的距离或开车的起点和终点之间的距离，能不能说它们是“两个市之间的距离”呢？两个城市不是两个点，而是两个区域，怎么考虑距离呢？
（学生讨论，取得共识：苏州市与上海市邻界，可以说距离为0;其余答案都是某两点之间的距离，而不是两市之间的距离。）
师一般地，是不是可以考虑“两个点集之间的距离”？（出示图1）比如，两个圆及其内部作为两个点集，是不是可以考虑它们之间的距离？
（学生思考，讨论。） 师在两个点集内分别取点，连成线段。这些线段长度的最小值就叫作这两个点集之间的距离。（稍停）大家一定知道物理上有个“尖端放电”现象，电所走的就是最近距离。（出示图2）在空中交叉而过的高压电线，当电势差足够大时，就可能击穿空气，产生放电现象。如果这种事情发生，将发生在何处？
生它们的公垂线段处。
师是的，不论它们异面还是平行。所以，在设计高压电线的线路时，一定要考虑这个因素，并不是没有“尖端”就不放电。“电势差足够大”才是放电的本质特征，“尖端”只是放电的一个非本质特征。
二、教学思考
上述教学有两个优点。
第一，让学生从现象感知开始，先直观地认识“哪个东西”是异面直线的距离，再严格地定义异面直线的距离。这样的探究非常自然，没有限制，也非常符合数学（科学）发现的逻辑，即“大胆猜想，小心求证”，左右脑并用，感性与理性并重。而学生的表现也表明，他们具有这样的经验直觉，不难找到异面直线的距离，体会其含义，教师只需帮助他们表述其形式。
第二，让学生提升到本质认识层面，在严格定义的基础上思考“为什么这样定义”，联系之前学习的多个距离概念，归纳出“最短”这个本质特征，抽象出“点集距离”这个更一般的概念。这样的探究非常深入，没有懈怠，也非常符合认知追求的规律，即用上位概念整合下位概念，可以让下位概念变得更深刻，让上位概念变得更充实。而学生的表现也表明，他们能发现“最短”这个本质特征，也能接受“点集距离”这个更一般的概念。
下面再深入地谈一谈抽象出“点集距离”这个更一般的概念的必要性和可行性。
关于必要性，一方面，“点集距离”这个更一般的概念的认识功能大大增强。除了在后面学习点面距离、线面距离、面面距离及两点之间的球面距离时会显示出极大的優越性之外，也为以后用各种距离求二次函数的最小值及学习最小二乘法、数据拟合等奠定了基础。比如，已知x2+y2=9，求4x+2y的最大值和最小值。此题除了用三角换元的方法解决之外，还可用类似线性规划的方法，把它看成动直线与定圆的“点集距离”，或者转化后看成定点与定圆的“点集距离”[4x+2y=x2+y2+4x+2y-9=（x+2）2+（y+1）2-14，即求点（-2，-1）到圆x2+y2=9上的点（x，y）距离的平方]。
另一方面，抽象出“点集距离”的概念，可以给学生示范一种思考的路径，帮助他们学会学习。这符合素养培育和可持续发展的原则。理论科学就是分类的学问，而分类之所以能够进行就是因为有不断递进的足够抽象的概念，用以揭示本质特征并涵盖有关个例，形成知识结构。我们不应该把每一个个体都认识得非常清楚，却没有产生更一般的概念。比如，因纽特人把每一头麋鹿都认识得非常清楚，却没有产生“麋鹿”这个概念，以至于每一头麋鹿都有不同的称呼，甚至同一只麋鹿在不同季节也有不同的称呼。这样的认识是重复而低效的，这样的知识学得再多，对提高认识的帮助也是十分有限的。“减负”不是少学或不学，而应该是高效地学。高效地学需要更深入的认识。
关于可行性，首先，“点集距离”比“异面直线的距离”和“平行线的距离”更具有直观性。人类最基本的感知是对空间的感知，而其中基本的感知之一是对距离的感知。人们在生活中接触“两个区域（比如城市）的距离”比接触“两条异面直线的距离”机会更多，感知也更清晰，理解也更容易，探究动力也更强。这就具备了抽象“点集距离”的心理基础。其次，现行高中数学教材的解析几何部分明确地把曲线看作点的集合，立体几何部分也暗含着“直线、平面是点的集合”的观点（从A∈l、aα、α∩β=l等记号中可见），那么，用“点集距离”来理解“异面直线的距离”等概念并不算突兀。最后，此处的抽象只是做一个直观的描述，并不做细微的分析，对“点集距离”没有过高的要求，不去操练解题的方法，因而没有加重学生的负担，反而带来了思想的自由和心灵的愉悦，唤醒了学生沉睡的记忆，激活了学生的想象力。
参考文献：
[1] 孙四周.把数学问题还原为数学现象——谈“基于活动与体验的例题教学”[J].数学通报，2015（10）.
[2] 水菊芳.从情境到现象：再进一步的数学教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[3] 孙四周.现象教学的内涵与价值[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[4] 李宏铭.数学现象教学的实施及评价概述[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（3）.
[5] 水菊芳.“数学现象”视角下的概念教学[J].江苏教育，2018（43）.