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摘要：教学低年级数的认识（主要是整数的认识）时，很多教师认为教学内容比较简单，多数学生已经掌握，感觉没什么可教的。这是将教学的关注点局限在数的读写与组成、计数方法等基本知识层面。其实，教学的着眼点不应囿于基本知识，还应指向数感，促进学生对数本身以及数与数之间关系的深刻理解。通过对“认识100以内的数”第一课时教学案例的分析与改进来说明这一观点。
关键词：数感;教学诊断;认识100以内的数
1954年，托拜厄斯·丹齐克（Tobias Danzig）提出“数感”这一概念，之后，数学教育工作者不断更新对数感的认识，并且愈发认识到数感对数学学习的重要性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”因此，发展学生的数感，是数学教学的重要目标之一。贝尔奇（Berch）认为，应把数感当作数学学习的副产品，而不是直接将其作为教学的特定目标。因此，教师在数的认识、数的运算、常见的量等有关内容的教学中，应注重发展学生的数感。
教学低年级数的认识（主要是整数的认识）时，很多教师认为教学内容比较简单，多数学生已经掌握，感觉没什么可教的。这是将教学的关注点局限在数的读写与组成、计数方法等基本知识层面，结果必然会使学生的认识停留在浅层。其实，教学的着眼点不应囿于基本知识，还应指向数感，促进学生对数本身以及数与数之间关系的深刻理解——这对数的运算的學习尤为重要。下面，通过对一个典型教学案例的分析与改进来说明。
一、案例描述
苏教版小学数学一年级下册“认识100以内的数”第一课时的编排是：通过摆小棒、借助小棒数数等活动，帮助学生初步感知两位数的组成，知道100以内的数表示的多少和相应的顺序;通过在几十九的基础上添一根小棒的活动，帮助学生强化“满十进一”的计数方法。这节课的学习，以之前学习的“认识11—20各数”为基础，同时为后续学习两位数的读写、整十数加一位数及相应减法的口算、数的顺序及数的大小比较奠基。对此，一位教师的主要教学过程如下：
师（课件呈现2捆小棒和3根小棒）同学们，你知道这是多少根小棒吗？说说你是怎样知道的。
生这里有23根小棒，1捆有10根，2捆就是20根，加上3根就是23根。
师你能像老师这样，摆出24根小棒吗？说说你是怎样摆的。
生（摆出24根小棒）摆2捆，就是20根;再摆4根，就是24根。
（教师利用课件演示，然后依次添上1根小棒，带领学生从24数到29。）
师29根小棒再添上1根是多少根呢？同桌互相说一说。
生再添上1根是30根。可以把10根捆成1捆。
师是啊。有10根小棒，我们就把它捆成1捆，就是1个十。
（教师在课件中依次出示39根小棒、49根小棒、59根小棒，并提问：如果再添上1根，是多少根？学生依次回答后，教师在课件中呈现85根小棒，带领学生从85一根一根地数到99。）
师99再添上1根是多少根？
生100根。
师我们可以十根十根地数，从十数到一百。所以10个十是一百，反过来，一百里有10个十。
（教师带领学生完成教材中相应的课堂练习。）
二、案例分析
数感是对数的“感悟”，“感”是主体对外界刺激的感觉，“悟”则是主体本身的思维活动。
上述教学过程如同记流水账，将教材编写的内容按顺序做了“教学”。从中看不到对例题的深度解读，看不到对教学内容的加工和重组，也看不到对学生主体作用的突出。因此，学生没有丰富的学习经历，自然就不能很好地发展数感。
那么，本节课可以从哪些方面发展学生的数感呢？
数感是高度个性化的产物，它不仅和学生已有的数概念相联系，也和怎样形成这些概念相联系。引入有关的材料，让学生用不同的材料表示数，寻找这些表示方法的相同之处（内在联系），可以帮助学生理解数的组成，丰富学生对数的意义的认识，增强学生的数感。教材中安排了用小棒表示100以内的数，教师还可以让学生用小正方形表示，用简单的数表（如表1）表示。
美国学者富森指出，数词系统是儿童早期学习数的一个最重要的工具。所谓的“数词系统”，实质上就是“十进制计数法”。本节课中，学生虽然能数数，也能借助小棒说出数的组成，但是并没有体会到仅凭计数单位“十”和“一”，就可以将所有的两位数清晰地表示出来，即没有体会到十进制计数法的简洁、美妙。事实上，学生在了解十进制计数法、理解整数的意义的过程中，也能发展数感。因此，教师可以在用小棒、方块、数表等材料（方法）表示数时，引导学生发现都用到了计数单位“十”和“一”这一特点;以讲故事的方式渗透数学史，让学生感受到用计数单位计数的合理性。
数感并不局限于对单个数的感悟，还体现在对多个数之间的联系及其规律的敏感上。“几十九添上一是几十（或一百）”既是数与数之间的关系的体现，也是一种规律。教师可以设计有层次的活动，引导学生观察、想象、归纳，从而理解“满十进一”的道理，并发展数感。第一个层次，通过操作，思考29根小棒添上1根是多少根，以及怎样能够一眼看出是多少根，重点理解满10根小棒可以捆成1捆，就是1个十。第二个层次，基于29添1的经验，思考39根小棒添上1根是多少根，从而理解39添1是40。第三个层次，自己想一个“几十九”，思考这个数添上1是多少，同桌两人互相考一考对方，并说出是怎样想的。
数数是培养数感最原始、最朴素、最简单的方法。数数能帮助学生感知数的序数特征、基数特征、大小关系以及结构特征。教师可以引导学生用多种方式数数：不仅能按十进制计数法的计数单位数，而且能按自定义的“计数单位”数。对于后者，如果学生数起来有困难，教师可以引入数轴工具。数轴让数更加直观，尤其能够体现数的有序性和大小关系。 此外，比较数的大小也是培养数感的有效策略。本节课中，可以适当地融入借助大小关系来猜数的游戏，既能够激发学生的学习兴趣，又可以发展学生的数感。
三、案例改进
（一）通过旧知引入新知
师（课件出示图片）图片上有一群羊，一共有多少只呢？你能数一数，并让人一眼看出来吗？
生（上台数）我们可以先数10只，然后圈起来，就是1个十;再看外面有3只，就是13只羊。
师（课件操作，如图1）为什么数出10只圈起来呢？
生因为十和几合起来是十几。
师（课件出示图片）如果增加一些羊，你还能一眼看出来有多少只吗？有什么好办法？
生（上台数）数出10只圈起来。
师（课件操作，如图2）现在能一眼看出来了吗？
生23。
师在两次数羊的过程中，大家都用到了什么方法呢？
生数出10只圈起来。
师为什么数出10只圈起来？
生圈起来以后，1个圈就是1个十，几个圈就是几个十;再看外面有几只，就是几十几。
（二）用不同的材料表示数
1.表示23。
师我们还没有学过23，你能用学具表示出这个数吗？怎样表示能让人一眼看出来？老师给大家准备了3种学具，分别是小棒、方格条和数表。请你选择不同的材料试一试，并和同伴交流你的方法。
（学生交流后展示，并解释是怎样表示23的。）
师（随着学生的展示，课件出示图3）原来表示23的方法有很多种。请大家仔细观察，这些方法有哪些相同的地方？
生都用到了计数单位“十”和“一”，23是由2个十和3个一组成的。
师所以，只要用计数单位“十”和“一”，就能清楚地表示23。
2.引入数学史，理解计数单位。
师其实，计数单位“十”和“一”的产生还有故事呢。很久以前，人们在生产劳动和日常生活中，就有计数的需要。（课件出示图4）例如，要数出一共有多少只羊，就用小石子计数，数一只羊，就在地上放一个小石子。（出示图5）为了能够一眼看出有多少个小石子，人们想出了“逢十进一”的方法：每当有了10个小石子，就换成1个大石子，表示1个十。所以，大石子和小石子分别表示——
生大石子就是十，小石子就是一。
师现在一眼就能看出有25只羊。所以，用好计数单位“十”和“一”，就能很方便地表示数。想一想：刚刚我们在摆学具的时候，是不是也用到了“十”和“一”？这节课，我们就用“十”和“一”这两个计数单位一起来认数。
3.表示其他数。
师大家会用不同方法表示23了，请再用学具表示35，你能用多种方法表示吗？想到几种就用几种，看谁的方法多。
（学生在展台上展示，教师让学生说一说是怎么表示的。）
师请你比较这些方法，都用到了哪兩个计数单位？
生“十”和“一”。
师看来，我们只要确定几个十和几个一，就能很清楚地表示出几十几。（稍停）你还想表示几十几呢？摆出你想表示的数，让同桌说一说你摆的是多少。
（同桌活动后，全班反馈：一个学生在展台上展示，其他学生说出这是几十几，教师请学生说一说是怎么看出来的。）
（三）几十九添上一是多少
1.从几十九到几十。
师（课件出示图片）老师也摆了一个数，来看看是多少呢？
生是29。
师那29添上1是多少啊？
生是30。
师怎样才能一眼看出是30呢？
生把10根捆成1捆，就变成1个十了。
（全班随课件演示，从31一根一根地数到39。）
师39根再添1根是多少？说给你的同桌听一听。
生把10根再捆成1捆，一共就有4个十，就是40。
师请大家考一考你的同桌：左边的同学说出几十九，右边的同学说出这个几十九添上一是多少;说完之后交换。
（同桌活动后，全班反馈：一个学生说出几十九，其他学生说出添上一后的数;教师说出几十九，指名学生回答添上一后的数。）
师一般来说，几十九添上一，都是几十这样的整十数。
2.从九十九到一百。
师我们再来玩一个猜数游戏吧。（课件出示图6）图中左边的几捆被挡住了，右边有5根，你能猜一猜一共有多少根小棒吗？
（学生猜数时，教师用“大了”或“小了”提示学生接着猜，直至猜中85。）
师为什么不猜84或者86呢？
生左边是几捆，右边有5根，所以个位只能是5。
（全班随课件演示，从85一根一根地数到99。）
师99添上1是多少？
生100。
师这是新的计数单位——百。如果十根十根地数，你会数吗？从10数到100，你发现十和百的关系是什么呢？
生10个十是1个百，1个百里有10个十。
师百是我们今天认识的新朋友，以后会帮助我们认识更大的数，小朋友们千万不要忘记哦！
（四）借助数轴工具，丰富数数经验
师（课件出示图7）谁来数一数香蕉有多少根？你是怎么数的？
（随着学生的回答，课件出示图8。）
师（课件出示图9）谁来数一数正方体的个数？
（随着学生的回答，课件出示图10。）
师为什么香蕉5根5根地数，正方体却10个10个地数？
生香蕉一把是5根，但是正方体每组有10个，是不一样的。
师所以我们数数时，可以根据摆放的特点数。（课件出示图11）图中的羽毛球和糖果分别有多少个？谁来数一数。
生羽毛球有25个，糖果有32块。
师你是怎么数的呢？
生我先看有几个十，就是几十;再看有几个一，合起来就是几十几。
（课件出示图12，引导学生体会数数过程。）
师小朋友乐乐家的门牌号在0到100之间，你能猜猜看吗？
（学生猜数时，课件出示数轴并标出所猜的数，教师用“大了”或“小了”提示学生调整。学生借助数轴，更好地确定数的范围。）
本文中改进后的教学设计由江苏省南京市陶行知学校毛雨辰老师在全区教学展示活动中实施，在此致谢！
参考文献：
[1] 戴维·A.苏泽.人脑如何学数学[M].赵晖，等译.上海：上海教育出版社，2016.
[2] 朱莉娅·安吉莱瑞.如何培养学生的数感[M].徐文彬，译.北京：北京师范大学出版社，2007.
[3] 胡利群.数感培养：可遇，更可求[J].教育研究与评论（小学教育教学），2020（8）.
[4] 王林，等.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.
关键词：数感;教学诊断;认识100以内的数
1954年，托拜厄斯·丹齐克（Tobias Danzig）提出“数感”这一概念，之后，数学教育工作者不断更新对数感的认识，并且愈发认识到数感对数学学习的重要性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”因此，发展学生的数感，是数学教学的重要目标之一。贝尔奇（Berch）认为，应把数感当作数学学习的副产品，而不是直接将其作为教学的特定目标。因此，教师在数的认识、数的运算、常见的量等有关内容的教学中，应注重发展学生的数感。
教学低年级数的认识（主要是整数的认识）时，很多教师认为教学内容比较简单，多数学生已经掌握，感觉没什么可教的。这是将教学的关注点局限在数的读写与组成、计数方法等基本知识层面，结果必然会使学生的认识停留在浅层。其实，教学的着眼点不应囿于基本知识，还应指向数感，促进学生对数本身以及数与数之间关系的深刻理解——这对数的运算的學习尤为重要。下面，通过对一个典型教学案例的分析与改进来说明。
一、案例描述
苏教版小学数学一年级下册“认识100以内的数”第一课时的编排是：通过摆小棒、借助小棒数数等活动，帮助学生初步感知两位数的组成，知道100以内的数表示的多少和相应的顺序;通过在几十九的基础上添一根小棒的活动，帮助学生强化“满十进一”的计数方法。这节课的学习，以之前学习的“认识11—20各数”为基础，同时为后续学习两位数的读写、整十数加一位数及相应减法的口算、数的顺序及数的大小比较奠基。对此，一位教师的主要教学过程如下：
师（课件呈现2捆小棒和3根小棒）同学们，你知道这是多少根小棒吗？说说你是怎样知道的。
生这里有23根小棒，1捆有10根，2捆就是20根，加上3根就是23根。
师你能像老师这样，摆出24根小棒吗？说说你是怎样摆的。
生（摆出24根小棒）摆2捆，就是20根;再摆4根，就是24根。
（教师利用课件演示，然后依次添上1根小棒，带领学生从24数到29。）
师29根小棒再添上1根是多少根呢？同桌互相说一说。
生再添上1根是30根。可以把10根捆成1捆。
师是啊。有10根小棒，我们就把它捆成1捆，就是1个十。
（教师在课件中依次出示39根小棒、49根小棒、59根小棒，并提问：如果再添上1根，是多少根？学生依次回答后，教师在课件中呈现85根小棒，带领学生从85一根一根地数到99。）
师99再添上1根是多少根？
生100根。
师我们可以十根十根地数，从十数到一百。所以10个十是一百，反过来，一百里有10个十。
（教师带领学生完成教材中相应的课堂练习。）
二、案例分析
数感是对数的“感悟”，“感”是主体对外界刺激的感觉，“悟”则是主体本身的思维活动。
上述教学过程如同记流水账，将教材编写的内容按顺序做了“教学”。从中看不到对例题的深度解读，看不到对教学内容的加工和重组，也看不到对学生主体作用的突出。因此，学生没有丰富的学习经历，自然就不能很好地发展数感。
那么，本节课可以从哪些方面发展学生的数感呢？
数感是高度个性化的产物，它不仅和学生已有的数概念相联系，也和怎样形成这些概念相联系。引入有关的材料，让学生用不同的材料表示数，寻找这些表示方法的相同之处（内在联系），可以帮助学生理解数的组成，丰富学生对数的意义的认识，增强学生的数感。教材中安排了用小棒表示100以内的数，教师还可以让学生用小正方形表示，用简单的数表（如表1）表示。
美国学者富森指出，数词系统是儿童早期学习数的一个最重要的工具。所谓的“数词系统”，实质上就是“十进制计数法”。本节课中，学生虽然能数数，也能借助小棒说出数的组成，但是并没有体会到仅凭计数单位“十”和“一”，就可以将所有的两位数清晰地表示出来，即没有体会到十进制计数法的简洁、美妙。事实上，学生在了解十进制计数法、理解整数的意义的过程中，也能发展数感。因此，教师可以在用小棒、方块、数表等材料（方法）表示数时，引导学生发现都用到了计数单位“十”和“一”这一特点;以讲故事的方式渗透数学史，让学生感受到用计数单位计数的合理性。
数感并不局限于对单个数的感悟，还体现在对多个数之间的联系及其规律的敏感上。“几十九添上一是几十（或一百）”既是数与数之间的关系的体现，也是一种规律。教师可以设计有层次的活动，引导学生观察、想象、归纳，从而理解“满十进一”的道理，并发展数感。第一个层次，通过操作，思考29根小棒添上1根是多少根，以及怎样能够一眼看出是多少根，重点理解满10根小棒可以捆成1捆，就是1个十。第二个层次，基于29添1的经验，思考39根小棒添上1根是多少根，从而理解39添1是40。第三个层次，自己想一个“几十九”，思考这个数添上1是多少，同桌两人互相考一考对方，并说出是怎样想的。
数数是培养数感最原始、最朴素、最简单的方法。数数能帮助学生感知数的序数特征、基数特征、大小关系以及结构特征。教师可以引导学生用多种方式数数：不仅能按十进制计数法的计数单位数，而且能按自定义的“计数单位”数。对于后者，如果学生数起来有困难，教师可以引入数轴工具。数轴让数更加直观，尤其能够体现数的有序性和大小关系。 此外，比较数的大小也是培养数感的有效策略。本节课中，可以适当地融入借助大小关系来猜数的游戏，既能够激发学生的学习兴趣，又可以发展学生的数感。
三、案例改进
（一）通过旧知引入新知
师（课件出示图片）图片上有一群羊，一共有多少只呢？你能数一数，并让人一眼看出来吗？
生（上台数）我们可以先数10只，然后圈起来，就是1个十;再看外面有3只，就是13只羊。
师（课件操作，如图1）为什么数出10只圈起来呢？
生因为十和几合起来是十几。
师（课件出示图片）如果增加一些羊，你还能一眼看出来有多少只吗？有什么好办法？
生（上台数）数出10只圈起来。
师（课件操作，如图2）现在能一眼看出来了吗？
生23。
师在两次数羊的过程中，大家都用到了什么方法呢？
生数出10只圈起来。
师为什么数出10只圈起来？
生圈起来以后，1个圈就是1个十，几个圈就是几个十;再看外面有几只，就是几十几。
（二）用不同的材料表示数
1.表示23。
师我们还没有学过23，你能用学具表示出这个数吗？怎样表示能让人一眼看出来？老师给大家准备了3种学具，分别是小棒、方格条和数表。请你选择不同的材料试一试，并和同伴交流你的方法。
（学生交流后展示，并解释是怎样表示23的。）
师（随着学生的展示，课件出示图3）原来表示23的方法有很多种。请大家仔细观察，这些方法有哪些相同的地方？
生都用到了计数单位“十”和“一”，23是由2个十和3个一组成的。
师所以，只要用计数单位“十”和“一”，就能清楚地表示23。
2.引入数学史，理解计数单位。
师其实，计数单位“十”和“一”的产生还有故事呢。很久以前，人们在生产劳动和日常生活中，就有计数的需要。（课件出示图4）例如，要数出一共有多少只羊，就用小石子计数，数一只羊，就在地上放一个小石子。（出示图5）为了能够一眼看出有多少个小石子，人们想出了“逢十进一”的方法：每当有了10个小石子，就换成1个大石子，表示1个十。所以，大石子和小石子分别表示——
生大石子就是十，小石子就是一。
师现在一眼就能看出有25只羊。所以，用好计数单位“十”和“一”，就能很方便地表示数。想一想：刚刚我们在摆学具的时候，是不是也用到了“十”和“一”？这节课，我们就用“十”和“一”这两个计数单位一起来认数。
3.表示其他数。
师大家会用不同方法表示23了，请再用学具表示35，你能用多种方法表示吗？想到几种就用几种，看谁的方法多。
（学生在展台上展示，教师让学生说一说是怎么表示的。）
师请你比较这些方法，都用到了哪兩个计数单位？
生“十”和“一”。
师看来，我们只要确定几个十和几个一，就能很清楚地表示出几十几。（稍停）你还想表示几十几呢？摆出你想表示的数，让同桌说一说你摆的是多少。
（同桌活动后，全班反馈：一个学生在展台上展示，其他学生说出这是几十几，教师请学生说一说是怎么看出来的。）
（三）几十九添上一是多少
1.从几十九到几十。
师（课件出示图片）老师也摆了一个数，来看看是多少呢？
生是29。
师那29添上1是多少啊？
生是30。
师怎样才能一眼看出是30呢？
生把10根捆成1捆，就变成1个十了。
（全班随课件演示，从31一根一根地数到39。）
师39根再添1根是多少？说给你的同桌听一听。
生把10根再捆成1捆，一共就有4个十，就是40。
师请大家考一考你的同桌：左边的同学说出几十九，右边的同学说出这个几十九添上一是多少;说完之后交换。
（同桌活动后，全班反馈：一个学生说出几十九，其他学生说出添上一后的数;教师说出几十九，指名学生回答添上一后的数。）
师一般来说，几十九添上一，都是几十这样的整十数。
2.从九十九到一百。
师我们再来玩一个猜数游戏吧。（课件出示图6）图中左边的几捆被挡住了，右边有5根，你能猜一猜一共有多少根小棒吗？
（学生猜数时，教师用“大了”或“小了”提示学生接着猜，直至猜中85。）
师为什么不猜84或者86呢？
生左边是几捆，右边有5根，所以个位只能是5。
（全班随课件演示，从85一根一根地数到99。）
师99添上1是多少？
生100。
师这是新的计数单位——百。如果十根十根地数，你会数吗？从10数到100，你发现十和百的关系是什么呢？
生10个十是1个百，1个百里有10个十。
师百是我们今天认识的新朋友，以后会帮助我们认识更大的数，小朋友们千万不要忘记哦！
（四）借助数轴工具，丰富数数经验
师（课件出示图7）谁来数一数香蕉有多少根？你是怎么数的？
（随着学生的回答，课件出示图8。）
师（课件出示图9）谁来数一数正方体的个数？
（随着学生的回答，课件出示图10。）
师为什么香蕉5根5根地数，正方体却10个10个地数？
生香蕉一把是5根，但是正方体每组有10个，是不一样的。
师所以我们数数时，可以根据摆放的特点数。（课件出示图11）图中的羽毛球和糖果分别有多少个？谁来数一数。
生羽毛球有25个，糖果有32块。
师你是怎么数的呢？
生我先看有几个十，就是几十;再看有几个一，合起来就是几十几。
（课件出示图12，引导学生体会数数过程。）
师小朋友乐乐家的门牌号在0到100之间，你能猜猜看吗？
（学生猜数时，课件出示数轴并标出所猜的数，教师用“大了”或“小了”提示学生调整。学生借助数轴，更好地确定数的范围。）
本文中改进后的教学设计由江苏省南京市陶行知学校毛雨辰老师在全区教学展示活动中实施，在此致谢！
参考文献：
[1] 戴维·A.苏泽.人脑如何学数学[M].赵晖，等译.上海：上海教育出版社，2016.
[2] 朱莉娅·安吉莱瑞.如何培养学生的数感[M].徐文彬，译.北京：北京师范大学出版社，2007.
[3] 胡利群.数感培养：可遇，更可求[J].教育研究与评论（小学教育教学），2020（8）.
[4] 王林，等.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.