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摘 要：本论文研究了一类不确定时滞系统的非脆弱 保成本控制问题。所研究系统的输入和输出均含有时滞，状态，输入和输出均存在不确定性。在Lyapunov稳定理论的框架下，给出了系统鲁棒及 保性能的有界实引理。在此基础上，利用Lyapunov函数和线性矩阵不等式的方法，给出了非脆弱控制器的设计方法。
关键词：时变时滞；扰动；保成本控制
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：2095-2163（2015）05-
Robust Discrete Uncertain Systems with Time Delay is n-fragile Guaranteed Cost Control
HU Xianwei
（Shenyang chemical industry school， Shenyang 110163，China）
Abstract：This paper studies a class of uncertain time-delay systems of n-fragile Guaranteed cost control problem. The research system of input and output delay， status， the input and output are uncertainty. In the framework of Lyapunov stability theory， the paper presents the system robustness and performance of bounded real lemma. On this basis， by using the method of Lyapunov function and linear matrix inequality， the n-fragile controller design method is given.
Keywords：Time-varying Delay； Perturbation； Guaranteed Cost Control
0引 言
保成本控制问题已引起人们的兴趣[1-3]。在实际工程中，控制器的实现由硬件和软件的原因，存在参数摄动的情况[4-5]。因此，非脆弱控制问题成为研究的热点 [6-9]。另外，实际系统中不可避免地存在各种不确定参数：（1）结构不确定性或参数不确定性[10]；（2）非结构不确定性或非结构摄动[11]；（3）混合不确定性[12]。所以，研究系统的鲁棒稳定性具有重要的意义和价值 [13-14]。本文讨论一类离散系统的非脆弱 保成本控制问题。基于Lyapunov函数和线性矩阵不等式的方法，给出了非脆弱 保成本控制器的设计方法。
1系统描述
考虑离散时滞系统
（1）
其中 是系统的状态； 是输入； 是属于 空间的干扰输入； 是被调输出； ，
和 是适当维数的常数矩阵， 是不确定实值矩阵，表示系统的参数不确定性； 和 ，表示系统的状态和控制中的滞后时间；并满足 ，其中 和 是已知的。假定：
（2）
其中， 是常数矩阵， 是满足：
（3）
其中， 表示 阶单位矩阵。
成本函数为：
（4）
其中， 是正定矩阵。
考虑状态反馈：
（5）
其中， 表示控制器增益， 表示增益的摄动。
本文考虑两种形式的摄动：
（1） 加法式摄动：
（6）
（2） 乘法式摄动：
（7）
其中， 和 是常数矩阵， 是未知的扰动矩阵，且满足 。
系统（1）在 作用下的闭环系统为：
（8）
其中，
定义1 对于给定的常数 对称正定矩阵 和 ，状态反馈控制律
（9）
称为系统（1）的 保成本控制律，如果对所有满足式（3）的参数不确定性，下列条件成立：
（1） 当 时，闭环系统（3）渐近稳定；
（2） 在 的条件下， 为正常数；
（3） 在零初始条件下，被调输出 满足 ，其中 表示 中的标准范数。
引理1 （schur补）[2] 对于给定的对称矩阵 ，其中 是对称负定矩阵，则以下三个条件是等价的：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
引理2[4] 给定适当维数的矩阵 和 其中 是对称的，如果存在正常数 使得：
成立，其中 ， 则对所有满足：
的式中 ，有公式 成立。
2主要结果
定理1对于给定的常数 ，如果存在矩阵 ，对称正定矩阵 ， 和 ，使得对所有允许的参数不确定性（3），矩阵不等式
（10）
成立，则控制律（5）是系统（1）的鲁棒 保成本控制律，并且有：
（11）
证明 选取lyapunov函数
和引理1可得定理1。
定理2 对系统（1）和给定的控制器（5），控制器增益具有形式（6）的摄动，对于成本函数（4），给定标量 ，如果存在正常数 ，对称正定矩阵 和矩阵 ，使得：
成立，其中，
系统（1）可鲁棒 保成本控制，控制律 ，并且成本函数满足：
证明 由定理1，引理1和引理2可得到定理2。 关于乘法式摄动的情形，可类似给出。
3结束语
在实际工程中，在控制过程中，由于硬件和软件存在的偏差，控制器不可避免地存在各种类型的存在参数摄动的情况。加之实际工程系统内部和外部，存在各种不确定因素的影响，使得系统性能变差。时滞不可避免地出现在实际工程中，并使得系统的性能变得更复杂。因此，在研究系统的控制器设计时，不但要考虑系统内部和外部存在的各种不确定因素的干扰，还要考虑时滞的因素。基于上面的原因，论文提出了一类离散时滞系统，并且，系统的输入和输出均含有时滞；状态，输入和输出均存在不确定性。提出了加性和乘性两种形式的非脆弱控制器。论文主要研究了离散时滞系统的非脆弱 保成本控制问题。利用线性矩阵不等式技术，给出了非脆弱 保成本控制的设计方法。所提出的设计方法更便于实际应用。
参考文献：
[1] CHANG S S L，PENG T K C.Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameters[J].IEEE Tmns.Autom.Control， 1972，AC-17（4）：474-483.
[2] MOHEIMANI S O L， PETERSEN I R. Optimal quadratic guaranteed cost control of a class uncertain time-delay systems[J]. IEE PartD， 1997，144（2）：183-188.
[3] 王福忠，姚波.一类不确定线性系统容错保成本控制器设计[J]. 系统工程与电子技术， 2004， 26（5）：636-640.
[4] 李琴，张庆灵，安祎春.不确定离散广义系统的时滞相关非脆弱无源控制[J].控制与决策， 2007，22（8）：907-911.
[5] 王天成，刘小梅，高荣.一类不确定时滞系统的非线性 控制[J].控制与决策，2009，24（6）：945-948.
[6] 彭达洲，胥布工.带有非线性扰动的不确定时滞系统的鲁棒稳定性[J].广东工业大学学报， 2004，21（1）：22-25.
[7] 舒伟仁，张庆灵.不确定时滞广义系统的鲁棒非脆弱 控制[J].控制与决策，2005，20（6）：629-633.
[8] 张维海.随机不确定系统的鲁棒 控制[J].工程数学学报， 2004，21（4）：592-596.
[9] MASUBUCHI I， KAMITANE Y， OHARA A. H∞ control for descry-sport systems： A matrix inequalities approach[J]. Automatica， 1997， （33）：668-673.
[10] 高彦平，高存臣.状态与输出均含有滞后的不确定广义系统的非脆弱H∞ 控制[J].系统科学与数学， 2008， 8（3）：350-359.
[11] FANG M. Delay-dependent robust control for uncertain singular systems with state delay[J]. Acta Automatica Sinica， 2009， 35（1）：65-70.
[12] WU Z G， ZHOU W N. Delay-dependent robust control for uncertain singular time-delay systems[J]. IET Control Theory Apply， 2007，1（5）：1234-1241.
[13] 张改平，张庆灵，张玲，等.一类不确定广义系统的非脆弱保性能控制[J].信息系统工程， 2010，（3）130-132.
[14] 林瑞全，杨富文.基于H∞ 控制理论的非脆弱控制的研究[J].控制与决策，2004.19（5）：598-600.
关键词：时变时滞；扰动；保成本控制
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：2095-2163（2015）05-
Robust Discrete Uncertain Systems with Time Delay is n-fragile Guaranteed Cost Control
HU Xianwei
（Shenyang chemical industry school， Shenyang 110163，China）
Abstract：This paper studies a class of uncertain time-delay systems of n-fragile Guaranteed cost control problem. The research system of input and output delay， status， the input and output are uncertainty. In the framework of Lyapunov stability theory， the paper presents the system robustness and performance of bounded real lemma. On this basis， by using the method of Lyapunov function and linear matrix inequality， the n-fragile controller design method is given.
Keywords：Time-varying Delay； Perturbation； Guaranteed Cost Control
0引 言
保成本控制问题已引起人们的兴趣[1-3]。在实际工程中，控制器的实现由硬件和软件的原因，存在参数摄动的情况[4-5]。因此，非脆弱控制问题成为研究的热点 [6-9]。另外，实际系统中不可避免地存在各种不确定参数：（1）结构不确定性或参数不确定性[10]；（2）非结构不确定性或非结构摄动[11]；（3）混合不确定性[12]。所以，研究系统的鲁棒稳定性具有重要的意义和价值 [13-14]。本文讨论一类离散系统的非脆弱 保成本控制问题。基于Lyapunov函数和线性矩阵不等式的方法，给出了非脆弱 保成本控制器的设计方法。
1系统描述
考虑离散时滞系统
（1）
其中 是系统的状态； 是输入； 是属于 空间的干扰输入； 是被调输出； ，
和 是适当维数的常数矩阵， 是不确定实值矩阵，表示系统的参数不确定性； 和 ，表示系统的状态和控制中的滞后时间；并满足 ，其中 和 是已知的。假定：
（2）
其中， 是常数矩阵， 是满足：
（3）
其中， 表示 阶单位矩阵。
成本函数为：
（4）
其中， 是正定矩阵。
考虑状态反馈：
（5）
其中， 表示控制器增益， 表示增益的摄动。
本文考虑两种形式的摄动：
（1） 加法式摄动：
（6）
（2） 乘法式摄动：
（7）
其中， 和 是常数矩阵， 是未知的扰动矩阵，且满足 。
系统（1）在 作用下的闭环系统为：
（8）
其中，
定义1 对于给定的常数 对称正定矩阵 和 ，状态反馈控制律
（9）
称为系统（1）的 保成本控制律，如果对所有满足式（3）的参数不确定性，下列条件成立：
（1） 当 时，闭环系统（3）渐近稳定；
（2） 在 的条件下， 为正常数；
（3） 在零初始条件下，被调输出 满足 ，其中 表示 中的标准范数。
引理1 （schur补）[2] 对于给定的对称矩阵 ，其中 是对称负定矩阵，则以下三个条件是等价的：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
引理2[4] 给定适当维数的矩阵 和 其中 是对称的，如果存在正常数 使得：
成立，其中 ， 则对所有满足：
的式中 ，有公式 成立。
2主要结果
定理1对于给定的常数 ，如果存在矩阵 ，对称正定矩阵 ， 和 ，使得对所有允许的参数不确定性（3），矩阵不等式
（10）
成立，则控制律（5）是系统（1）的鲁棒 保成本控制律，并且有：
（11）
证明 选取lyapunov函数
和引理1可得定理1。
定理2 对系统（1）和给定的控制器（5），控制器增益具有形式（6）的摄动，对于成本函数（4），给定标量 ，如果存在正常数 ，对称正定矩阵 和矩阵 ，使得：
成立，其中，
系统（1）可鲁棒 保成本控制，控制律 ，并且成本函数满足：
证明 由定理1，引理1和引理2可得到定理2。 关于乘法式摄动的情形，可类似给出。
3结束语
在实际工程中，在控制过程中，由于硬件和软件存在的偏差，控制器不可避免地存在各种类型的存在参数摄动的情况。加之实际工程系统内部和外部，存在各种不确定因素的影响，使得系统性能变差。时滞不可避免地出现在实际工程中，并使得系统的性能变得更复杂。因此，在研究系统的控制器设计时，不但要考虑系统内部和外部存在的各种不确定因素的干扰，还要考虑时滞的因素。基于上面的原因，论文提出了一类离散时滞系统，并且，系统的输入和输出均含有时滞；状态，输入和输出均存在不确定性。提出了加性和乘性两种形式的非脆弱控制器。论文主要研究了离散时滞系统的非脆弱 保成本控制问题。利用线性矩阵不等式技术，给出了非脆弱 保成本控制的设计方法。所提出的设计方法更便于实际应用。
参考文献：
[1] CHANG S S L，PENG T K C.Adaptive guaranteed cost control of systems with uncertain parameters[J].IEEE Tmns.Autom.Control， 1972，AC-17（4）：474-483.
[2] MOHEIMANI S O L， PETERSEN I R. Optimal quadratic guaranteed cost control of a class uncertain time-delay systems[J]. IEE PartD， 1997，144（2）：183-188.
[3] 王福忠，姚波.一类不确定线性系统容错保成本控制器设计[J]. 系统工程与电子技术， 2004， 26（5）：636-640.
[4] 李琴，张庆灵，安祎春.不确定离散广义系统的时滞相关非脆弱无源控制[J].控制与决策， 2007，22（8）：907-911.
[5] 王天成，刘小梅，高荣.一类不确定时滞系统的非线性 控制[J].控制与决策，2009，24（6）：945-948.
[6] 彭达洲，胥布工.带有非线性扰动的不确定时滞系统的鲁棒稳定性[J].广东工业大学学报， 2004，21（1）：22-25.
[7] 舒伟仁，张庆灵.不确定时滞广义系统的鲁棒非脆弱 控制[J].控制与决策，2005，20（6）：629-633.
[8] 张维海.随机不确定系统的鲁棒 控制[J].工程数学学报， 2004，21（4）：592-596.
[9] MASUBUCHI I， KAMITANE Y， OHARA A. H∞ control for descry-sport systems： A matrix inequalities approach[J]. Automatica， 1997， （33）：668-673.
[10] 高彦平，高存臣.状态与输出均含有滞后的不确定广义系统的非脆弱H∞ 控制[J].系统科学与数学， 2008， 8（3）：350-359.
[11] FANG M. Delay-dependent robust control for uncertain singular systems with state delay[J]. Acta Automatica Sinica， 2009， 35（1）：65-70.
[12] WU Z G， ZHOU W N. Delay-dependent robust control for uncertain singular time-delay systems[J]. IET Control Theory Apply， 2007，1（5）：1234-1241.
[13] 张改平，张庆灵，张玲，等.一类不确定广义系统的非脆弱保性能控制[J].信息系统工程， 2010，（3）130-132.
[14] 林瑞全，杨富文.基于H∞ 控制理论的非脆弱控制的研究[J].控制与决策，2004.19（5）：598-600.