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摘 要:合作学习是一种新型的学习方式,不仅体现在生生之间,也存在于师生之间,甚至被认为是“当代最大的教育改革之一”. 本课例以教学过程中遇到的一个实际问题为蓝本,通过师生之间活动层层深入,探究出一类含绝对值的函数最小值问题的解法及其本质,这是一种“自主—合作—探究”的学习模式.
关键词:探究;合作;发现
著名教育家苏霍姆林斯基说:在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,这就是说希望自己是一个发现者、研究者、探索者.改进学生的学习方式,教师应关注学生的“会学”,而不是只关注学生的“学会”,让学生最大限度地参与教学过程,师生合作学习探究就是一种途径.
作为一名普通教师,虽不能改变高考制度和目前的教育现状,但我们可以思考在尊重学生的主体地位下,发挥教师的主导作用,为学生学习数学做些什么,即能否把学生和自己都同时作为发现者、研究者、探索者来看待呢?
下面是笔者与高三某班学生共同合作完成的一节课,整理出来,请同行指教.
提出问题
这是最近高三一次模拟练习中的一道试题.
已知函数f(x)=x-1+2x-1+3x-1+…+100x-1,则当x=______时,f(x)取得最小值.
答案的正确率出奇的低.在评讲这份练习时,笔者故意把该题留了下来,和学生讲明意图后,请学生以小组为单位,积极收集与本题相关的题目,并探究解决问题的一些方法,准备第二天上一节师生合作的探究课.
下晚自习的时候,课代表交过来学生们搜集的一些题目,笔者进行了整理,并初步设计了明天的教学思路.
点评:在教学过程中,很多有价值的问题,就像一颗颗珍珠散落在平时的教学过程中,这需要教师和学生及时发现,及时串联. 这样处理,也是寻找一切机会,培养学生动手动脑处理问题的能力.
合作探究
1. 先从几个简单的问题谈起
教师从学生递交上来的题目中,选择两个具有代表性的、简单点的问题进行展示和研究.
(投影展示A组和C组提供的案例1、2)
案例1 已知函数f(x)=2x+1+2x-3.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)>a恒成立,求实数a的取值范围.
案例2 设函数f(x)=x-1+x+1,若不等式a+b-2a-b≤a•f(x)对任意a,b∈R且a≠0恒成立,求实数x的取值范围.
教师:这是我们在高中阶段遇到比较多的两个题目,请同学们思考一下,你准备如何来求解?请提供这两题的A组和C组的两个同学解决一下.
学生1:案例1第1问,可以在直角坐标系内作出函数f(x)=2x+1+2x-3的图象,利用图象来解决,或是利用分类讨论的方法,去绝对值符号后,分别解不等式后取并集;第2问,继续可以利用图象求出其最小值,最小值大于a即可.
(投影展示自己的研究成果)
解:(1)由图象可以得出不等式的解集为{x-1≤x≤2}. 或原不等式等价于x>,(2x+1)+(2x-3)≤6
或-≤x≤,(2x+1)-(2x-3)≤6
或x<-,-(2x+1)-(2x-3)≤6, 解得 (2)由(1)知,f(x)min=4,故a<4.
学生2:案例2中,由于a≠0,所以不等式a+b-2a-b≤a•f(x)可以改写成f(x)≥,要求x的取值范围,就必须求出f(x)的最小值,而这与的取值有关.我还没考虑出来.
点评:此种情形在教学中经常发生,有许多教师也许是为了赶进度,往往会重新叫一个学生回答,这样做,容易挫伤学生学习的积极性,是不可取的. 正确的做法是鼓励学生,帮助学生寻找到解题思路,让学生在探索中寻求解题方向.进度完不成没关系,但学生的热情可不能被湮灭.
教师:我们来考查式子a+b-2a-b的最大值. 由于有两个变量,我们先选取其中的一个量作为变量,请思考一下,选择哪个比较好?
学生3:选择b作为变量,因为若能求出其最大值,那么这个值一定是与a有关的,又a≠0,就能求出的最大值.
教师:有一定的道理. 那么怎么求y=a+x-2a-x的最值呢?你也可以用图象法来试一试.
学生4:需要对a进行讨论. 当a>0时,y=a+x-2a-x=3a,x≥2a,2x-a,-a 综上,y=a+x-2a-x的最大值是3a,所以f(x)≥3,即x+1+x-1≥3,解得x≤-,或x≥,所以x的取值范围为xx≤-,或x≥.
教师:这位同学处理得很好. 不过,从上面的解题过程来看,还是有点烦琐. 能否有别的方法简化一下求形如f(x)=2x+1+2x-3以及y=a+x-2a-x的最值呢?
图1
(背景:江苏高考的附加题选做部分只要求从选修4-1:几何证明选讲,选修4-2:矩阵与变换,选修4-4:坐标系与参数方程,选修4-5:不等式选讲中选择两个模块,我校选择的是4-2和4-4)
我们先看一个最简单的例子:求函数y=x+1+x-1的最值.
x-1可以看做是数轴上的数x对应的点C到数1对应的点B之间的距离,x+1=x-(-1)可以看做是数轴上的数x对应的点C到数-1对应的点A之间的距离,如图1,显然,CA+CB≥AB,当且仅当点C在线段AB之间时,等号成立.
仿此,你怎么处理y=a+x-2a-x的最值?你能很快得到答案吗?
很快有学生给出答案y=a+x-2a-x的最大值是3a.
教师:能否改进上面两个问题的解法?
学生5:对于(1),因为2x+1+2x-3≥(2x+1)-(2x-3)=4,所以a<4;对于(2),由f(x)≥,对任意的a,b∈R,且a≠0恒成立,而≤=3,f(x)≥3,即x-1+x+1≥3,所以x的取值范围为xx≤-或x≥.
2. 继续深入
教师:怎么求函数x+1+x-1+x-2的最值呢?
学生6:还是用函数图象研究,因为比较直观. (很多学生善意一笑)
教师:可以的. 但如果随着相加项的增多,作图是不是有点困难呢?开动脑筋思考哦!
(很快,一个意想不到的环节出现了,一个平时不太引人注意的学生说出了下面的想法)
学生7:我用最小二乘法的思想来处理,不知对不对?在必修3中,衡量直线=bx+a与散点图中数据点的接近程度时,书上使用了离差的平方和,其中在确定a,b的值时就使用了最小二乘法,因此,求函数f(x)=x+1+x-1+x-2时,我先求函数g(x)=(x+1)2+(x-1)2+(x-2)2的最值,若f(x)最小,那么g(x)也最小,反之亦然.
显然,g(x)=(x+1)2+(x-1)2+(x-2)2=3x2-4x+6,当x=时,g(x)最小,也即f(x)min=,但这与图象法处理的结果是不一致的,图象法的结果是3. 但对于函数y=x+1+x-1,两种方法得到的结果却是一致的.
点评:课堂上学生的思维发生偏差是正常的,对于这种情况,是粗暴地扼杀,还是及时调整授课内容呢?即使内容没完成,但只要问题具有研究的价值,并且和学生一起进行探究,那么何乐而不为呢!
教师:老师也感到有点惊讶,至于情况是不是如你所说,我们一起来做个研究吧.我们还是先“以形助数”吧(借助几何画板作图,如图2、图3,虚线对应函数g(x))
图2
图3
结果出来后,学生们都很吃惊,但很快就有学生发现了问题.
学生8:把绝对值改成平方表示本身就不等价.
学生7:我能理解表示方法不等价,但为什么有的结果是一样的,而有的却不一样呢?
学生10:函数y=x+1+x-1的图象具有对称性,当x∈[-1,1]时,函数值总是为最小值y=2,而g(x)=(x+1)2+(x-1)2=2x2+2的顶点横坐标恰好落在[-1,1]上,两种方法求出的结果当然一样;而函数f(x)=x+1+x-1+x-2的图象却不对称,所以结果不同.
……
教师:同学们的想法都有一定的道理. 其实这两种方法自变量的取值是关键,换言之,在什么情况下能用平方法中所求得的自变量来替换绝对值函数中的x?
(教师及时利用几何画板又作了几个函数的图象(包括图象对称的和不对称的),以期让学生们加深直观印象)
教师:一般地,对于函数f(x)=x-a+x-a+…+x-a的最小值,那么什么时候可以转化为平方和来处理呢?
师生一起结合图象特点,概括归纳出下面的结论(经过整理):
①只要各个点(k,ak)(k=1,2,…,n)关于直线x=对称的时候,f(x)的最小值就是f.
②更一般地,对于f(x)=x-a+x-a+…+x-a(a (1)如果当n为偶数时,a1,a1,…,an的算术平均数为=满足a< (2)如果当n为奇数时,除非a1,a2,…,an的算术平均数恰好为中间一个,即=a+1时,否则这种平方法一般是不可行的.
点评:上面的结论对于学生来说,不一定归纳得那么到位,此时就要注意体现教师的主导地位了.哪怕师生都没有归纳得那么具体到位,也不影响研究的效果,这总比直接给出结论要好得多,而这恰恰是许多教师所忌讳的.
教师:抛开平方法,同学们有没有注意到前面的图2和图3,如果函数f(x)在某两个零点之间函数图象是一条平行于x轴的线段,那么其最小值就是该线段上任一点的纵坐标;如果没有,那么函数f(x)的图象是由一系列的折线组成,而且有一个“尖角”,这个尖角实际上就是函数图象的最低点. 那么这类绝对值型函数的最小值有没有一般性的求法呢?当然图象是一种方法,但有局限性.
请同学们注意线段或“尖角”两端的折线段是怎样的位置趋势.
点评:牢牢把握学生的思维方向,正是教师主导性的体现.
学生11:我觉得线段或“尖角”两端的折线段的斜率一边大于零,一边小于零.
学生12:我觉得取得最小值时,实际上就是寻找斜率等于零时的线段或者“尖角”.
教师:这两位同学观察得比较仔细.那么实际情形是否如他们所讲呢?我们请一个同学再随便举一个例子.
学生13:求函数f(x)=x+4+x+1+x+x-3和函数h(x)=x+4+x+1+x+x-3+x-4的最小值.
(教师根据学生提供的函数解析式,利用几何画板作出函数的图象,如图4)
图4
教师:图象可以佐证两位同学的看法是对的,那么我们能否进行证明呢?
假设f(x)=x-a+x-a+…+x-a(a 显然,当k>时,函数在[ak,ak+1]上单调递增;当k<时,函数在[ak,ak+1]上单调递减. 特别地,若k=成立,则函数在[ak,ak+1]上的图象是一条线段.
这也就证明了我们猜想的正确性:若能找到斜率正负的分界点(或某区间),那么函数的最小值就唾手可得.
前面我们研究了绝对值符号中x前面的系数为1时的情形,那么系数如果不都为1,是否可以进行思想方法的类比呢?
设函数f(x)=a1x-1+a2x-1+a3x-1+…+anx-1(0 学生13:(板演完成)函数f(x)的零点分别为x=,,…,,,因此,当x∈,(1≤k≤n-1)时,f(x)=(1-a1x)+(1-a2x)+…+(1-akx)+(ak+1x-1)+(ak+2x-1)+…+(anx-1)=[(ak+1+ak+2+…+an)-(a1+a2+…+ak)]x+2k-n.
……
教师:刚才这位同学没有做完,是因为数据a1,a2,…,an目前没有明确,但基本分析的思路却已经有了,实际上下面的任务就是找出“尖角”,寻找k的值,使其成为斜率正负的分界点. 对应本节课开始的问题,相信在此基础上,同学们能很快得到答案.
学生14:当x∈,(1≤k≤99)时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-kx)+[(k+1)x-1]+[(k+2)x-1]+…+(100x-1)=(-k2-k+5050)x+2k-100.
当k≥71时,-k2-k+5050<0;当k≤70时,-k2-k+5050>0,“x=”就是“尖角”,
所以当x=时,函数f(x)=x-1+2x-1+3x-1+…+100x-1取得最小值.
教师:如果说前面我们是借助图象,进而从理论上来证明的话,那么系数为1和系数不为1的两种绝对值型的函数求最小值的问题,能否从方法上提炼出共同点呢?
(师生共同总结)不管绝对值符号里的系数是否为1,从前面的函数图象特征可以看出,我们只需要考查任意相邻的两个零点所对应的区间上的函数解析式,如果其单调递减,那么就在该区间的右端点取得最小值;如果其单调递增,那么就在该区间的左端点取得最小值. 这样,对于整个函数来说,若能找到这样的一个(或两个)零点,该零点与其相邻两个零点所对应的区间上的单调性正好相反,那么该零点(或一线段上的点)就是函数的最小值点.
教学后记
作为一种师生合作探究模式的尝试,本节课仍然有不尽如人意的地方,例如,学生的思维深度、广度不足;笔者对有些情形估计不足,如关于函数f(x)=x-a+x-a+…+x-a的最小值的有关结论的概括等.但从效果来看,学生参与的热情和程度都比较高,教学目标基本达成,更重要的是教给了学生一种学习方式,因此,只要条件许可,教师就要进一步推进这种课堂教学模式.
关键词:探究;合作;发现
著名教育家苏霍姆林斯基说:在人的心灵深处,都有一种根深蒂固的需要,这就是说希望自己是一个发现者、研究者、探索者.改进学生的学习方式,教师应关注学生的“会学”,而不是只关注学生的“学会”,让学生最大限度地参与教学过程,师生合作学习探究就是一种途径.
作为一名普通教师,虽不能改变高考制度和目前的教育现状,但我们可以思考在尊重学生的主体地位下,发挥教师的主导作用,为学生学习数学做些什么,即能否把学生和自己都同时作为发现者、研究者、探索者来看待呢?
下面是笔者与高三某班学生共同合作完成的一节课,整理出来,请同行指教.
提出问题
这是最近高三一次模拟练习中的一道试题.
已知函数f(x)=x-1+2x-1+3x-1+…+100x-1,则当x=______时,f(x)取得最小值.
答案的正确率出奇的低.在评讲这份练习时,笔者故意把该题留了下来,和学生讲明意图后,请学生以小组为单位,积极收集与本题相关的题目,并探究解决问题的一些方法,准备第二天上一节师生合作的探究课.
下晚自习的时候,课代表交过来学生们搜集的一些题目,笔者进行了整理,并初步设计了明天的教学思路.
点评:在教学过程中,很多有价值的问题,就像一颗颗珍珠散落在平时的教学过程中,这需要教师和学生及时发现,及时串联. 这样处理,也是寻找一切机会,培养学生动手动脑处理问题的能力.
合作探究
1. 先从几个简单的问题谈起
教师从学生递交上来的题目中,选择两个具有代表性的、简单点的问题进行展示和研究.
(投影展示A组和C组提供的案例1、2)
案例1 已知函数f(x)=2x+1+2x-3.
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)>a恒成立,求实数a的取值范围.
案例2 设函数f(x)=x-1+x+1,若不等式a+b-2a-b≤a•f(x)对任意a,b∈R且a≠0恒成立,求实数x的取值范围.
教师:这是我们在高中阶段遇到比较多的两个题目,请同学们思考一下,你准备如何来求解?请提供这两题的A组和C组的两个同学解决一下.
学生1:案例1第1问,可以在直角坐标系内作出函数f(x)=2x+1+2x-3的图象,利用图象来解决,或是利用分类讨论的方法,去绝对值符号后,分别解不等式后取并集;第2问,继续可以利用图象求出其最小值,最小值大于a即可.
(投影展示自己的研究成果)
解:(1)由图象可以得出不等式的解集为{x-1≤x≤2}. 或原不等式等价于x>,(2x+1)+(2x-3)≤6
或-≤x≤,(2x+1)-(2x-3)≤6
或x<-,-(2x+1)-(2x-3)≤6, 解得
学生2:案例2中,由于a≠0,所以不等式a+b-2a-b≤a•f(x)可以改写成f(x)≥,要求x的取值范围,就必须求出f(x)的最小值,而这与的取值有关.我还没考虑出来.
点评:此种情形在教学中经常发生,有许多教师也许是为了赶进度,往往会重新叫一个学生回答,这样做,容易挫伤学生学习的积极性,是不可取的. 正确的做法是鼓励学生,帮助学生寻找到解题思路,让学生在探索中寻求解题方向.进度完不成没关系,但学生的热情可不能被湮灭.
教师:我们来考查式子a+b-2a-b的最大值. 由于有两个变量,我们先选取其中的一个量作为变量,请思考一下,选择哪个比较好?
学生3:选择b作为变量,因为若能求出其最大值,那么这个值一定是与a有关的,又a≠0,就能求出的最大值.
教师:有一定的道理. 那么怎么求y=a+x-2a-x的最值呢?你也可以用图象法来试一试.
学生4:需要对a进行讨论. 当a>0时,y=a+x-2a-x=3a,x≥2a,2x-a,-a
教师:这位同学处理得很好. 不过,从上面的解题过程来看,还是有点烦琐. 能否有别的方法简化一下求形如f(x)=2x+1+2x-3以及y=a+x-2a-x的最值呢?
图1
(背景:江苏高考的附加题选做部分只要求从选修4-1:几何证明选讲,选修4-2:矩阵与变换,选修4-4:坐标系与参数方程,选修4-5:不等式选讲中选择两个模块,我校选择的是4-2和4-4)
我们先看一个最简单的例子:求函数y=x+1+x-1的最值.
x-1可以看做是数轴上的数x对应的点C到数1对应的点B之间的距离,x+1=x-(-1)可以看做是数轴上的数x对应的点C到数-1对应的点A之间的距离,如图1,显然,CA+CB≥AB,当且仅当点C在线段AB之间时,等号成立.
仿此,你怎么处理y=a+x-2a-x的最值?你能很快得到答案吗?
很快有学生给出答案y=a+x-2a-x的最大值是3a.
教师:能否改进上面两个问题的解法?
学生5:对于(1),因为2x+1+2x-3≥(2x+1)-(2x-3)=4,所以a<4;对于(2),由f(x)≥,对任意的a,b∈R,且a≠0恒成立,而≤=3,f(x)≥3,即x-1+x+1≥3,所以x的取值范围为xx≤-或x≥.
2. 继续深入
教师:怎么求函数x+1+x-1+x-2的最值呢?
学生6:还是用函数图象研究,因为比较直观. (很多学生善意一笑)
教师:可以的. 但如果随着相加项的增多,作图是不是有点困难呢?开动脑筋思考哦!
(很快,一个意想不到的环节出现了,一个平时不太引人注意的学生说出了下面的想法)
学生7:我用最小二乘法的思想来处理,不知对不对?在必修3中,衡量直线=bx+a与散点图中数据点的接近程度时,书上使用了离差的平方和,其中在确定a,b的值时就使用了最小二乘法,因此,求函数f(x)=x+1+x-1+x-2时,我先求函数g(x)=(x+1)2+(x-1)2+(x-2)2的最值,若f(x)最小,那么g(x)也最小,反之亦然.
显然,g(x)=(x+1)2+(x-1)2+(x-2)2=3x2-4x+6,当x=时,g(x)最小,也即f(x)min=,但这与图象法处理的结果是不一致的,图象法的结果是3. 但对于函数y=x+1+x-1,两种方法得到的结果却是一致的.
点评:课堂上学生的思维发生偏差是正常的,对于这种情况,是粗暴地扼杀,还是及时调整授课内容呢?即使内容没完成,但只要问题具有研究的价值,并且和学生一起进行探究,那么何乐而不为呢!
教师:老师也感到有点惊讶,至于情况是不是如你所说,我们一起来做个研究吧.我们还是先“以形助数”吧(借助几何画板作图,如图2、图3,虚线对应函数g(x))
图2
图3
结果出来后,学生们都很吃惊,但很快就有学生发现了问题.
学生8:把绝对值改成平方表示本身就不等价.
学生7:我能理解表示方法不等价,但为什么有的结果是一样的,而有的却不一样呢?
学生10:函数y=x+1+x-1的图象具有对称性,当x∈[-1,1]时,函数值总是为最小值y=2,而g(x)=(x+1)2+(x-1)2=2x2+2的顶点横坐标恰好落在[-1,1]上,两种方法求出的结果当然一样;而函数f(x)=x+1+x-1+x-2的图象却不对称,所以结果不同.
……
教师:同学们的想法都有一定的道理. 其实这两种方法自变量的取值是关键,换言之,在什么情况下能用平方法中所求得的自变量来替换绝对值函数中的x?
(教师及时利用几何画板又作了几个函数的图象(包括图象对称的和不对称的),以期让学生们加深直观印象)
教师:一般地,对于函数f(x)=x-a+x-a+…+x-a的最小值,那么什么时候可以转化为平方和来处理呢?
师生一起结合图象特点,概括归纳出下面的结论(经过整理):
①只要各个点(k,ak)(k=1,2,…,n)关于直线x=对称的时候,f(x)的最小值就是f.
②更一般地,对于f(x)=x-a+x-a+…+x-a(a (1)如果当n为偶数时,a1,a1,…,an的算术平均数为=满足a< (2)如果当n为奇数时,除非a1,a2,…,an的算术平均数恰好为中间一个,即=a+1时,否则这种平方法一般是不可行的.
点评:上面的结论对于学生来说,不一定归纳得那么到位,此时就要注意体现教师的主导地位了.哪怕师生都没有归纳得那么具体到位,也不影响研究的效果,这总比直接给出结论要好得多,而这恰恰是许多教师所忌讳的.
教师:抛开平方法,同学们有没有注意到前面的图2和图3,如果函数f(x)在某两个零点之间函数图象是一条平行于x轴的线段,那么其最小值就是该线段上任一点的纵坐标;如果没有,那么函数f(x)的图象是由一系列的折线组成,而且有一个“尖角”,这个尖角实际上就是函数图象的最低点. 那么这类绝对值型函数的最小值有没有一般性的求法呢?当然图象是一种方法,但有局限性.
请同学们注意线段或“尖角”两端的折线段是怎样的位置趋势.
点评:牢牢把握学生的思维方向,正是教师主导性的体现.
学生11:我觉得线段或“尖角”两端的折线段的斜率一边大于零,一边小于零.
学生12:我觉得取得最小值时,实际上就是寻找斜率等于零时的线段或者“尖角”.
教师:这两位同学观察得比较仔细.那么实际情形是否如他们所讲呢?我们请一个同学再随便举一个例子.
学生13:求函数f(x)=x+4+x+1+x+x-3和函数h(x)=x+4+x+1+x+x-3+x-4的最小值.
(教师根据学生提供的函数解析式,利用几何画板作出函数的图象,如图4)
图4
教师:图象可以佐证两位同学的看法是对的,那么我们能否进行证明呢?
假设f(x)=x-a+x-a+…+x-a(a 显然,当k>时,函数在[ak,ak+1]上单调递增;当k<时,函数在[ak,ak+1]上单调递减. 特别地,若k=成立,则函数在[ak,ak+1]上的图象是一条线段.
这也就证明了我们猜想的正确性:若能找到斜率正负的分界点(或某区间),那么函数的最小值就唾手可得.
前面我们研究了绝对值符号中x前面的系数为1时的情形,那么系数如果不都为1,是否可以进行思想方法的类比呢?
设函数f(x)=a1x-1+a2x-1+a3x-1+…+anx-1(0
……
教师:刚才这位同学没有做完,是因为数据a1,a2,…,an目前没有明确,但基本分析的思路却已经有了,实际上下面的任务就是找出“尖角”,寻找k的值,使其成为斜率正负的分界点. 对应本节课开始的问题,相信在此基础上,同学们能很快得到答案.
学生14:当x∈,(1≤k≤99)时,f(x)=(1-x)+(1-2x)+…+(1-kx)+[(k+1)x-1]+[(k+2)x-1]+…+(100x-1)=(-k2-k+5050)x+2k-100.
当k≥71时,-k2-k+5050<0;当k≤70时,-k2-k+5050>0,“x=”就是“尖角”,
所以当x=时,函数f(x)=x-1+2x-1+3x-1+…+100x-1取得最小值.
教师:如果说前面我们是借助图象,进而从理论上来证明的话,那么系数为1和系数不为1的两种绝对值型的函数求最小值的问题,能否从方法上提炼出共同点呢?
(师生共同总结)不管绝对值符号里的系数是否为1,从前面的函数图象特征可以看出,我们只需要考查任意相邻的两个零点所对应的区间上的函数解析式,如果其单调递减,那么就在该区间的右端点取得最小值;如果其单调递增,那么就在该区间的左端点取得最小值. 这样,对于整个函数来说,若能找到这样的一个(或两个)零点,该零点与其相邻两个零点所对应的区间上的单调性正好相反,那么该零点(或一线段上的点)就是函数的最小值点.
教学后记
作为一种师生合作探究模式的尝试,本节课仍然有不尽如人意的地方,例如,学生的思维深度、广度不足;笔者对有些情形估计不足,如关于函数f(x)=x-a+x-a+…+x-a的最小值的有关结论的概括等.但从效果来看,学生参与的热情和程度都比较高,教学目标基本达成,更重要的是教给了学生一种学习方式,因此,只要条件许可,教师就要进一步推进这种课堂教学模式.