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笔者翻阅近几年各地高考试题及各地模拟卷，发现大多试卷压轴题涉及数列不等式，因为这类题目既需要证明不等式的基本思路和方法，又要结合数列本身的结构特点，有着较强的技巧，对学生的要求较高，具有较好的区分度。本文从一个简单不等式探讨这类问题。
一、一个结论
设x>1，则ln(1 x)≤x，当且仅当x=0时等号成立。
（*）
证明 构造函数g(x)=ln(1 x)-x，
则g′(x)=11 x-1=-x1 x，
且当-10时，g′(x)<0。
∴当x=0时，g(x)取得最大值，即g(x)≤g(0)=0。
故ln(1 x)≤x，当且仅当x=0时等号成立。
二、四个引申
引申1 已知n∈N 且n≥2，求证：lnn<1 12 13 … 1n-1。
证明 由（*）式，令x=1n，得
ln1 1n=lnn 1n<1n。
∴ln21 ln32 … lnnn-1<1 12 … 1n，
即lnn<1 12 … 1n。
引申2 已知n∈N 且n≥2，求证：12 13 … 1n 证明 由（*）式，令x=-1n，得ln1-1n<-1n，
即1n ∴12 13 … 1n 即12 13 … 1n 引申3 已知n∈N 且n≥2，求证：ln22?ln33?…?lnnn<1n。
证明 由（*），令x=n-1，得lnn 两边除以n，得lnnn ∴ln22?ln33?…?lnnn<12×23×…×n-1n=1n。
引申4 已知n∈N 且n≥2，求证：1ln2 1ln3 1ln4 … 1lnn>32。
证明 由（*），令x=n2-1，得lnn2 即lnn2n2-1。
∴1ln2 1ln3 1ln4 … 1lnn
>222-1 232-1 242-1 … 2n2-1
=1-13 12-14 13-15 … 1n-1-1n 1
=32-1n-1n 1>32。
以上不等式的证明，都是以ln(1 x)≤x(x>-1)为背景，通过对其适当的赋值，合理的变形而得到。因此在学习中，要善于探究知识产生的源头和背景，善于用联系的观点思考问题，举一反三，提高解题能力和学习效率。
三、两个应用
例1 （2009年稽阳联谊学校高三联考）已知函数f(x)=x2 2aln(1-x)(a∈R)，g(x)=f(x)-x2 x。
（1）当a=12时，求函数g(x)的单调区间和极值；
（2）当f(x)在［-1，1］上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若数列{an}满足a1=1且(n 1)an 1=nan，Sn为数列{an}的前n项和，求证：n≥2时，Sn<1 lnn。
解 （1）（2）略。
（3）由(n 1)an 1=nan，得an 1an=nn 1。
设a1=1,利用连乘法，得an=1n。
∴Sn=1 12 … 1n，利用引申2，得Sn<1 lnn。
例2 （湖南师大附中2010年第八次月考）已知f(x)=ln(1 x)-x，数列满足a1=12，ln2 lnan 1=an 1?an f(an 1?an)。
（1）求证：数列1an-1是等差数列；
（2）证明不等式a1 a2 … an 解 （1）略。
（2）由（1）知an=nn 1=1-1n 1，
∴a1 a2 … an=1-12 1-13 … 1-1n 1
=n-12 13 … 1n 1。
由(*)式，令x=1n 1，得1n 1>lnn 2n 1。
∴12 13 … 1n 1>ln32 ln43 … lnn 2n 1=lnn 22，
∴a1 a2 … an
【参考文献】
陈世明。函数f(x)=1 1xx的两个基本性质及应用。中学数学，2009（9）。
一、一个结论
设x>1，则ln(1 x)≤x，当且仅当x=0时等号成立。
（*）
证明 构造函数g(x)=ln(1 x)-x，
则g′(x)=11 x-1=-x1 x，
且当-1
∴当x=0时，g(x)取得最大值，即g(x)≤g(0)=0。
故ln(1 x)≤x，当且仅当x=0时等号成立。
二、四个引申
引申1 已知n∈N 且n≥2，求证：lnn<1 12 13 … 1n-1。
证明 由（*）式，令x=1n，得
ln1 1n=lnn 1n<1n。
∴ln21 ln32 … lnnn-1<1 12 … 1n，
即lnn<1 12 … 1n。
引申2 已知n∈N 且n≥2，求证：12 13 … 1n
即1n
证明 由（*），令x=n-1，得lnn
引申4 已知n∈N 且n≥2，求证：1ln2 1ln3 1ln4 … 1lnn>32。
证明 由（*），令x=n2-1，得lnn2
∴1ln2 1ln3 1ln4 … 1lnn
>222-1 232-1 242-1 … 2n2-1
=1-13 12-14 13-15 … 1n-1-1n 1
=32-1n-1n 1>32。
以上不等式的证明，都是以ln(1 x)≤x(x>-1)为背景，通过对其适当的赋值，合理的变形而得到。因此在学习中，要善于探究知识产生的源头和背景，善于用联系的观点思考问题，举一反三，提高解题能力和学习效率。
三、两个应用
例1 （2009年稽阳联谊学校高三联考）已知函数f(x)=x2 2aln(1-x)(a∈R)，g(x)=f(x)-x2 x。
（1）当a=12时，求函数g(x)的单调区间和极值；
（2）当f(x)在［-1，1］上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若数列{an}满足a1=1且(n 1)an 1=nan，Sn为数列{an}的前n项和，求证：n≥2时，Sn<1 lnn。
解 （1）（2）略。
（3）由(n 1)an 1=nan，得an 1an=nn 1。
设a1=1,利用连乘法，得an=1n。
∴Sn=1 12 … 1n，利用引申2，得Sn<1 lnn。
例2 （湖南师大附中2010年第八次月考）已知f(x)=ln(1 x)-x，数列满足a1=12，ln2 lnan 1=an 1?an f(an 1?an)。
（1）求证：数列1an-1是等差数列；
（2）证明不等式a1 a2 … an
（2）由（1）知an=nn 1=1-1n 1，
∴a1 a2 … an=1-12 1-13 … 1-1n 1
=n-12 13 … 1n 1。
由(*)式，令x=1n 1，得1n 1>lnn 2n 1。
∴12 13 … 1n 1>ln32 ln43 … lnn 2n 1=lnn 22，
∴a1 a2 … an
【参考文献】
陈世明。函数f(x)=1 1xx的两个基本性质及应用。中学数学，2009（9）。