论文部分内容阅读
摘要：高中数学新课程标准提炼了数学科的六个核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学运算，数学建模，直观想象，数据分析。提升数学科核心素养需要有序培养，运用批判性思维，从低级至高级、从简单至繁杂不断质变，不断提高。数学新课改的核心任务就是要提升学生的数学学科核心素养，把数学学科的核心素養的培养落实在数学教育的各个环节。而课堂教学是学生提高学科核心素养的主阵地，就很有必要在数学课堂教学中进行批判性思维的实践和研究。
关键词：数学教学，批判性思维，实践，研究
前言：思维定势或叫心向，是有一定的心理活动所形成的准备状态，会影响或决定其对同类后继心理活动的趋势，也就是人们按照一种固定了的倾向去反映现实，从而表现出心理活动的趋势性和专注性。培养学生有批判性思维是使学生克服思维定势的消极影响，更新观念，提高求异思维能力，随时准备适应新环境，学习新知识，创造新方法。思维定势与批判性思维相辅相成，互相配合，共同服务于人的思维发展，它们是矛盾的“对立统一”体。
人正是在学习实践中不断积累“经验”，不断适应新环境的，这是一个曲折的发展过程。这种“经验”实际上就是思维定势，需要在此后的学习中多次批判，方才由“经验”→“理解”→“熟能生巧”→“批判性思维”。在这动态的发展过程中“培养”是少不了的。
正文
一、倡导培养学生的批判意识和习惯
批判性思维的特质是独立思考，善于质疑，关注理由和合乎逻辑。学生的批判性思维不是先天形成的，需要不断培养。
（1）在数学课堂教学中，不断诱导学生发现“新问题”的意识
中国人强悍于解决问题，但是不善于发现问题。教师平常的数学教学就是培养学生的科学思维定势和求异思维能力，通过数学概念、数学定理、数学公式的正确理解和熟练运用，一是牢固学生的思维定势，二是不断批判，提升理性认识，扎实学生的基本技能。数学课堂教学中，要善于诱导学生发现“新问题”。
例1. 计算：1+1=
【批判】 （1）1群羊+1群羊=2群羊？
【变式】 （2）2-1=？
【发展】 （3）2+2+2+L+2（100个2）=2×100？
【变式】 （4）2×2×2×L×2 （100个2）=2100 ？
【再发展】 （5） =？
【再变式】 （6） =？
问题出现在哪里？这是一个“量变”到“质变”的数学问题。具体的两个“1”相加得“2”；然而，抽象两个“集合”的组合仍是一个“集合”。减法是加法的逆运算；乘法本质上就是若干个数的直接叠加；开方是乘方的逆运算。引入虚数来说明负数不能开平方根的问题。
点拔：数学运算要多次批判，不断变式，由易至难，由简至繁，不断升华衍生出新的运算。
（2）养成独立思考的良好习惯，不断批判固有知识、不迷信专家
数学概念不是与生俱来，需要不断批判，多次抽象，方可归纳出来。在继承传统数学文化与发展新型数学分支中，批判已有的数学知识，不迷信专家，不断突破数学学科颈瓶。
例2. 数域的扩充
自然数：像0，1，2，3，L。它们是为了计数的需要，一一衍生出来；
【发展】素数（质因数）：像2，3，5，7，L；
合数：像4，6，8，9，L；
既不是素数，也不是合数：像0，1；
【批判】为了表示相反意义的量，引入负数，像-1，-2，L；
【发展】把自然数和负整数统称为“整数”。
【批判】测量或分配当中，经常得不到整数值，为了表示这些“数值”，引入了“分数”，像 。
【发展】真分数：像 ；
假分数：像 L；
带分数：像 L；
【再发展】把整数和分数统称为“有理数”。整数可以看作分母为1的分数，任意有限小数或无限循环小数均可化为“ ”形式。
【批判】像 ，L，它们均是无限不循环小数，没有规律性可言，简直是“蛮横无理”！称它们为“无理数”。
【发展】把有理数和无理数统称为“实数”，它们是实实在在的一个数。
【批判】像 L，二次根式的被开方数中出现“负数”，它们虚构的，现实不存在的“数”，称为“虚数”。
【发展】虚数：a+bi中虚部b≠0；虚数不能比较大小；
实数：a+bi中虚部b=0；实数可比较大小；
【再发展】把实数和虚数统称为“复数”。
数域的不断扩充，给数集的发展不断注入了新鲜血液。
二、培养学生批判性思维的基本前提
（1）熟悉数学文化，明确学生的现有思维水平
与其昏昏就无法使人昭昭。数学教师对数学文化要有一个清楚的认识，通过课堂教学不断挖掘和揭示数学文化内涵，使学生感悟数学、欣赏数学，进而掌握数学的真诚。
数学文化有以下特征：
其一：在现实与科学的互动中形成。人类的一切文化活动都离不开现实生活的实践，数学也不例外。古埃及人在尼罗河畔的测绘实践中孕育了几何测量学；具有柏拉图传统的古希腊人在天文学与声学的研究中开创了公理化体系的思想，为人类科学探索中的理性思维竖立起光辉的典范；文艺复兴时期以牛顿为代表的学者将自然哲学科学转变为数学原理，创立微积分，给数学文化注入新的活力，并且使数学在物理学和工程技术等得到了广泛的应用，将人类文明推进到一个全新的时代；从十七世纪欧洲保险的博彩业中诞生和发展而来的概率统计其应用正方兴未艾LL所有这一切说明数学文化与现实世界有高度有同构关系。
其二：在发展与包容中完善。数学文化在不断随着社会科技的发展中与时俱进，外部的文化环境是数学文化发展的外推力，而数学文化中包容与自我完善的机制是数学文化发展的内驱力，其包容性和自我完善性是其他学科所无法比拟的，数学以抽象严谨著称，但这不能概括为数学文化的全部特征，数学的许多理论并不是绝对真理，数学文化的历史性和相对性决定了数学文化必须遵循“否定之否定”哲学原理，在包容中由不严格到严格，在扬弃中不断自我完善和发展数学文化，这才是数学文化的显著特征。 其三：在整合与创新中超越。今天数学在各行各业的应用之所以从幕后走到台前，除了数学文化能很好地提示客体发展的客观规律外，还由于数学文化的前瞻性随着时代的发展而愈发显现出来。众所周知，著名物理学家麦克斯韦在十九世纪由电磁规律所建立的麦克斯韦微分方程组，不仅从理论上证明了光也是一种电磁波，还预言了电磁波的存在，从而把电、磁、光统一起来，这一切均被实验所证实。非欧几何引起数学思想的巨大变化，是数学在整合创新中极具超越精神的光辉例证，尽管一些数学模型在建立之初是如此抽象和不可理解，但是具有超前意识的数学家找到了它们的现实背景，非欧几何成为了相对论、视觉空间理论的基础，难怪物理大师爱因斯坦不得不惊呼“理论物理学家越来越不得不服从纯数学的形式支配”。
数学知识是数学教学的底蕴，而数学思想、数学精神是学生的灵魂，数学文化正是把它们二者高度地统一起来。
（2）合理设计数学课堂教学内容，循序渐进地培养学生的批判性思维
数学学科特点：抽象性、严密性和广泛应用性。而对数学规律的认识要经过“实践——认识——再实践——再认识”这一过程，换言之，对数学的认识，始终是一个历史，发展的动态过程，这种过程不会终结，只有更加完善。
数学课堂教学要设计出切合实際的学习任务，优化处理数学教材，发动学生自主学习，不面面俱到，要舍得放弃，突出重点，走出数学课堂教学的窘境。
不满堂灌，不拘泥于某一种教学模式，不迷恋于一种教法，批判性地认识教学方法，融入个人思想，汇集当地特色，把数学思想、数学文化融入数学课堂教学，分层施教，和而不同、和而不流，让不同程度的学生能在有限的时间内启迪心智、提升品格，使数学教学步入佳境，循序渐进地培养学生的批判性思维。
例3.求函数y=x（1-x），0 【初中数学的解法】配方法，
y=-x2+x （去括号）
=-（x- ）2+ （配方）
∵0 ∴x= 时，函数的最大值= （在顶点处取最大值）
【高中数学的解法1】应用均值不等式
∵0 ∴1-x>0， （验证“一正、二定、三相等”条件）
∴y=x（1-x）≤ ，
当且仅当x=1-x，即x= 时，等号成立。
【高中数学的解法2】应用导数
∵0 ∴yˊ=-2x+1 （求导）
∵00； ∴函数在（0， ）上递增，在（ ，1）上递减，
∴x= 时，函数取最大值，即ymax=f（ ）= 。
注意：因人而异，因材施教，实现百花齐放。
三、培养学生批判性思维对教师提出的种种挑战
社会迅猛发展，学生要求教师专业素质越来越高，不断提出他们学习发展的需求。打篮球，要求老师像姚明一样，一伸手就扣篮；跑起步，要求老师像苏炳添一样，一溜烟就跑完；游起泳，要求老师像孙阳一样，鱼一样穿梭；LL教师永远是学者，活到老学到老，与学生一起学习，不断进步，不断提升自身的专业技术水平，不断满足学生日益发展需要。教师又是教练，怎样带好队员？怎样带好队伍？怎样发挥出队伍的最大效率？均是给教师提出的种种挑战。冷静面对挑战，灵活应对，深刻透视以下四个的现实问题：
（1）正确认识“为什么要学数学”？
首先，数学是有用的。在生活、生产、科学和技术中，我们都会看到数学的许多应用。数学学科是“研究数量关系和空间形式”，在理论中，在物质世界中，在精神世界中，处处都有用场。数学就在我们身边，她是科学的语言，她是一切科学和技术的基础，她是我们思考和解决问题的工具。
其次，学数学能提高能力。数学学得好，更容易学好其他理论。理论之间往往有彼此想通和共同的东西，而“数量关系与空间形式”、逻辑结构及探索思维等正是它们支架或脉络，因而数学恰在它们的核心处。这样，在数学中得到的训练和修养会很好地帮助我们学习其他理论，数学素质的提高对于个人能力的发展至关重要。
（2）如何才能学好数学？
数学是自然的，数学内容是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味，这有助于大家的学习。
数学是清楚的。清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论，数学中命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的含糊。我们说，数学是易学的，因为它是清楚的，只要大家按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想，绝对可以学懂；我们又说，数学是难学的，也因为它是清楚的，如果有人不是按照数学规则去学去想，总想把“想当然”的东西强加给数学，在没有学会加法的时候就想学乘法，那就要处处碰壁，学不下去了。
在对数学有一个正确认识的基础上，还要讲究一点方法。学数学要摸索自已的学习方法。学习、掌握并能灵活应用数学的途径有千万条，每个人都可以有与众不同的数学学习方法。做习题、用数学解决各种问题是必需的，理解概念、学会证明、领会思想、掌握方法也是必需的，还要充分发挥问题的作用，问题使我们的学习更主动、更生动、更富探索性。要善于提问，学会提问，“凡事问个为什么”，用自已的问题和别人的问题带动自已的学习，类比地学、联系地学，既要从一般概念中看到它的具体背景，不使概念“空洞”，又要在具体例子中想到它蕴含的一般概念，以使事物有“灵魂”。
学数学趁年轻。高中生正处在一生中接受数学训练、打好数学基础的最佳时期。这个时期下点儿功夫学数学，将会终身受益。 （3）怎样教好数学？
数学课堂教学的基本流程：提出问题——尝试解法——分析比较——解决问题——方法提炼——问题拓展。
南京师范大学附中特级教师陶维林就“一节好的数学课的标准”作个性鲜明的说明：①学生参与度越高越好；②教师如何教？如何引领学生思考？如何引导学生探索数学问题？③让学生学会了多少？学得越多越好；④数学教学的特色是什么？要有个性；⑤合理地教学设计，越大气越好；
如何上好一节数学课目前尚没有一个标准。个人认为课前充分备好课，备学生、备教材、备课时教案、备教法、备教具，优化设计教学内容，有舍有弃，胸有成竹；课堂教学要灵活互动教学，突出重点，不面面俱到，精讲多练；课后及时反思，不断提升教学水平。
（4）怎样处理教学实践中的矛盾？
矛盾一：一节课40分钟，让“学生讨论”与“教师讲授”的时间如何分配？颇受争议。让学生互动多、练习多，自然要求教师要少讲；如果教师讲少了，许多内容得不到强调，学生会自主学会吗？
目前，各地流行“大班教学”，克服学生人数多的现实问题。分层教学固然重要，因材实教。如果学生自主学习能力强，点拔一下，他们就会了，教师肯定要“少讲”多练。如果学生的基础差，则需要教师反复点拔，讲的时间肯定“多”。不管如何，一节课要有取舍，突出重点，必须完成主要的教学内容，多讲少讲没有个准，学生能掌握东西就才OK！
矛盾二：教学手断是不是越高级越好？多媒体教学与传统教学矛盾冲撞！
个人认为：数学教育手断不见得越高级越好！多媒体教学仅仅是辅助教学，数学教学是抽象的教育活动，很多情况下需要传统的“手把手”点拔、推理。目前，很多优质课竞赛均采用多媒体教学，表面上教学容量大、师生互动多，实际上那些是花架的，不实用，一闪一闪的屏幕，学生无法正常记录、反应、思考，像看电影似的，坐着看上一把瘾，谈不上发现问题或提出问题。
矛盾三：高中数学解题难度大，专项训练耗时多，是不是训练越多越好？
自中央落实“八项规定”以来，一周五天教学工作制，周未没补课。时间紧，教学任务却不减。上课起来像跑步一样，飞着不着地。数学训练更是没有个谱，有日考、周考、月考、统测，就没有时间完整点评，滑着跑。数学光讲不练，万万不行；数学光练不讲，效果不行。
“精讲”与“多练”矛盾冲突，需要平衡。复杂问题可以归类教学，一一化解难点，通过“专题比较”教学，让函数图像变换带来勃勃生机，让学生就平移的方向、平移的位置、伸缩量的大小、对称性质等等，多视角批判思考，从而提升完整的系统认知。
例4.说说下列函数的图象变换
（1）y=sin x→y=sin（x-2）； （向右平移两个长度单位）
（2）y=sin x→y=sin（x+2）； （向左平移两个长度单位）
（3）y=sin x→y=sin2x； （纵坐标不变，横坐标缩短两倍）
（4）y=sin x→y=sin ； （纵坐标不变，横坐标伸长两倍）
（5）y=sin x→y=sin x+2； （向上平移两个长度单位）
（6）y=sin x→y=sin x-2； （向下平移两个长度单位）
（7）y=sin x→y=cos x； （向左平移 个长度单位）
（8）y=f（x）→y=|f（x）|； （x轴上方部分保留，下方部分对折到上方来）
（9）y=f（x）→y=f（-x）； （图象关于y轴对称）
（10）y=f（x）→y=-f（-x）； （图象关于原点中心对称）
小结：函数的变换要熟记，可运用多媒体辅助教学，加以深刻认识。对于繁杂函数的图象，需要转化为标准型或常见函数类型，方可作图。对于分段函数的图象，需要逐段绘图，不可马虎，它只是一个函数，不是多个函数。
四、四、探索培养学生批判性思维的有效资源与良好的教学方式
1.
学生接触的教学资源主要是教材、学校征订资料、报纸杂志、手机搜索、电脑下载等等，涉及面大，内容多，无时不出现新问题，无处不存在新问题。
1、 教学资源泛滥，良莠不齐，对培养学生批判性思维有负面影响
当下是网络时代，学生获得教学资源的途径有多种多样。有自已主动上网搜索，或与同伴交流共享，或阅读新闻媒体，或询问长辈等等，主要来自于个人的学习需要。然而，学习信息有真有假，资料良莠不齐，媒体众说不一，长辈各有说辞，造就了学生思想混乱，很难理清头绪。面对数学课堂中出现的新问题、新思想，批判性的主见很难形成，头脑往往思维定势，屡屡出现随大流的现象。
针对教学资源泛滥问题，需要过滤网络资源，辩其真伪，优化选择公信度更高的信息作为培养学生具有批判性思维的素材，若能组织一些老师自编教材，开展校本课程开发，对学生的批判性思维必有很大的推动作用。
2、 2.教师的教学方式与学生的學习方式要和谐发展，实现双赢
教学是一门交流艺术，老师的教与学生的学，双向互动。
如果学生素质好，老师点拔一下就可以了，教的时间不长，主要让学生不断批判，自主探索新问题。“拔尖”的学生不是教出来的，而是指导出来的，没有必要花过多的时间在管理的细节上，专攻教学点拔即可。如果学生素质不好，老师要预留出问题或引导学生发现问题，让学生批判已有的知识，找出新问题的对策，逐渐提升数学思维能力，时间要有保证，更要突出“教法”的优化。
数学是清楚的，相似或相近的教学内容可采用“专题类比”，集中比较各异，上下贯通，让学生前后比较，批判方程结构的差异性，批判方程成立的适用条件，批判方程的完整性，不断加深认识，形成完整的系统认知。
例5.类比学习圆锥曲线方程 1. 圆的方程
圆的标准方程：
① （x-a）2+（y-b）2=R2； 圆心（a，b），半径=R；离心率e=0
② x2+y2=R2； 圆心（0，0），半径=R；离心率e=0
圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F>0）
圆的参数方程：
① 圆心（a，b），半径=R；
② 圆心（0，0），半径=R；
2. 椭圆的方程
椭圆的标准方程：
椭圆的一般方程： mx2+ny2=1 （m>0，n>0）；
椭圆的参数方程：
（1） （a>b>0） 焦点在x轴，
（2） （a>b>0） 焦点在y轴，
3. 双曲线的方程
双曲线的标准方程：
双曲线的一般方程： mx2+ny2=1 （mn<0）；
双曲线的参数方程：
（1） （a>0，b>0） 焦点在x轴，
（2） （a>0，b>0） 焦点在y轴，
4. 抛物线的方程
（1）抛物线的标准方程
y2=2px，p>0； p为焦准距，焦点在x轴，开口向右；
y2=-2px，p>0； p为焦准距，焦点在x轴，开口向左；
x2=2py，p>0； p为焦准距，焦点在y轴，开口向上；
x2=-2py，p>0； p为焦准距，焦点在y轴，开口向下；
（2）抛物线的参数方程
p为焦准距，焦点在x轴，开口向右；
p为焦准距，焦点在x轴，开口向左；
p为焦准距，焦点在y轴，开口向上；
p为焦准距，焦点在y轴，开口向下；
小结：通过类比学习，明确方程的结构特征，各有千秋，一目了然。
五、总结归纳培养学生批判性思维的结构化程序
上一节数学课之前，教师首先要备课，事先要备好学生目前的思维水平、备教材、备教学内容、备教具等。选定教学课题之后，要优化该课时的教学内容，精选教学素材。教师课前预设出批判内容，好让学生有目的地去探索。课堂教学中，教师主动让学生批判。学生发现新问题，发现很多越好。教师引导学生逐一解决新问题，初步形成学生批判思维。经多次升华，反复批判，思维能力才牢固形成。下图形象地表示出“批判性思维的一个变化周期”。
批判性思维的一个变化周期示意图
人的思维经常定势，起始水平为A。经过批判性学习，发现新问题、解决新问题之后，思维水平升为B。若不继续加以批判性学习，他的思维水平就定势在B上。学习无止境，活到老学到老，需要后续不断的批判性学习，方可不断提升思维水平。为解决此类问题，老师经常要“變式训练”，通过微妙差异性的训练题强化学生的应对能力，多方位提升学生的批判性思维水平。
例6.（1）若函数f（x）=x2+ax+1，当x?[0，2]时恒有f（x）>0，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=x2+ax+1，当a?[0，2]时恒有f（x）>0，求实数x的取值范围；
【分析】问题（1）中x是主元；问题（2）中a是主元。不断批判数学问题，提升分析问题、解决问题的能力。
解：（1）当x=0时，f（x）=1>0恒成立，得a?R；
当x?（0，2]时，由x2+ax+1>0恒成立，得a
∵ （当且仅当x=1时等号成立）
∴a>-2。
（2）由a?[0，2]，恒有f（x）=x2+ax+1>0
设g（a）=ax+x2+1=f（x），
∴
∴x?R，x≠-1。
【注意】批判相近的数学问题，通过比较，找出关键因素，迎刃而解。
例7.已知两个函数f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，x?[-3，3]，k?R。
（1）若对任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；
（2）若存在x?[-3，3]， 使得f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；
（3）若对任意x1，x2?[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范围；
解：（1）设h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，
∵任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立；即h（x）?0恒成立；
∴[h（x）]min?0
∵hˊ（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）>0?x<-1或x>2；
hˊ（x）<0?-1 ∴h（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，2）上递减，在（2，+∞）上递增；
∵h（-3）=k-45，h（-1）=k+7，h（2）=k-20，h（3）=k-9，
∴[h（x）]min=k-45?0，∴k?45；
（2）问题等价于h（x）=g（x）-f（x）?0在x?[-3，3]有解，
∴[h（x）]max?0
由（1）得知：[h（x）]max=k+7?0，∴k?-7；
（3）问题等价于[f（x）]max≤[g（x）]min在x?[-3，3]恒成立，
∵[f（x）]max=120-k，[g（x）]min=-21，
∴120-k≤-21， ∴k?141。
【小结】要“等价转化”数学问题，使其变为我们能够或容易处理的函数类型，运用化归思想，化难为易。 六、与批判性思维培养相关的教学反思
案例+反思=教师的专业成长。也就是说教师的成长过程可以归结为通过反思积累教学案例的过程。可以课前反思或课后反思，通常在上第一次课时要采用课前反思，上第二次课时要采用课后反思。
课后反思，顾名思义就是上课之后进行教学反思，其内容主要是反思备课的效果和教案的预设。
经常性的进行课后反思，不仅可以同以往的教学工作联系，起到承上启下的作用，还能够从整体上观察本节课的教学内容，查漏补缺；能够进一步明确教学目标，确定教学起点；能够检测预设方案和学生的符合程度。在研究实践中，笔者发现，能够经常做课后反思的教师对课堂把握的程度要更好，课堂教学效果也更加理想。因为他已经实践过一次，先前遇到的问题、节奏的掌控、重难点的把握愈发灵活应付。同一个教师上两个班数学课，后一个班级的效果是要比前一个好，就是这个道理。
同样地，课前反思也有一定的预设功效，事先评估学生的实际，科学设计教案，尽量减少课堂教学失误。
笔者在这里，只就课后反思的内容作深入阐述。
（1）反思课程内容
本节课要上什么是反思的首选。教学内容要符合学生实际，符合课程体系，逐步培养学生动手能力，循序渐进提升学生批判性思维，不可恣意更改或添加辅助教学内容。例如：人教A版《数学必修3》第三章第一节“随机事件的概率”这一知识点的讲授中，新课程标准明确要求让学生“会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率”，但是笔者发现：许多教师事先为学生讲解了计数的加法原理和乘法原理，而忽视了让学生理解随机事件的具体含义，没有培养学生寻找基本事件的能力，而且这不是个别现象。
（2）反思教学目标是否明确
教学目标中的行为动词应该是可测量的，也就是说我们可以通过某一道习题或者某种测验来检验我们的教学目标是否达到了，如果教学目标达成，我们才可以进行下一章节的学习，反之则不行。例如：“让学生掌握（理解）一元二次不等式的解法”就是一个错误的教学目标。这里的掌握、理解均是抽象的行为动词，不可测量。正确的教学目标可以是“学生能解决三步以内的一元二次不等式的解法”，这样我们就能够清楚地评估出本节课达到什么程度就是教学成功。
（3）反思学生的当前水平
教师要反思学生的当前发展水平，简单地说，好的教学内容不能够太难，也不能太简单，而应该是让学生“跳一跳，就能够得到的”。新课程改革下强调为学生终身发展服务，我们的教学工作一定要有人性化，符合学生本身发展，选择合理的教学内容，有效地提高课堂教学效率，激发学生的学习热情，培养学生积极向上的品质。
（4）情境引入是否恰当
新课程改革下，课堂引入可以分为两种，一种是“创设情境’教学，另一种为“情境—教学”。前者是传统意义上的情境引入式教学，后者是西南地区开展的“设置数学情境与提出数学问题”教学实验所提出来的教学基本模式。两者的共同点都是通过一个现实情境来引入教学。
新课程改革主张：数学生活化，强调情境设计的生活性。
创设情境首先要注重联系学生的现实生活，在学生鲜活的日常生活环境中发现、挖掘学习情境的资源。其次要挖掘和利用学生的经验，强调情境创设的形象性。再次要体现数学学科特色，紧扣教学内容，能够简单明了地让学生发现情境中蕴藏的数学内容和数学问题，能够激发学生情感。
（5）课件使用是否得当
不能为了省事而用课件代替板书，把教学内容罗列在POWERPOINT上，缺乏互动性、时效性差。
哪些教学内容要呈现在课件上，哪些则不需要，必须要明确，精选教学素材，突出重点，不能面面俱到。
課件展现形式有静态、动态之分。无论选择+哪一种制作方式，课件要科学、准确地反映教学内容，简洁地表达出设计目标，充分体现出数学思想和方法，培养学生的数学能力和学习兴趣。
（6）反思教材
新课程改革后，教材一再变动，有删减、有增加、有变化。要正确理解新教材的编写意图，正确理解教材中的内容，有利于开展课堂教学，有利于教师专业素质的提高。
（7）反思一题多解
数学和其他学科相比，有一个显著的区别就是出现“一题多解”频次高。反思我们准备的习题是否有“一题多解”，反思我们的思想是否考虑周全。一旦发现有“一题多解”，要善于提问学生，启发学生的批判性思考，让学生探索出多个解题方法，各抒已见。
结束语：思维定势与批判性思维是矛盾的“对立统一体”，在人的思维活动发展中，它们互相促进，互相转化，它们和谐发展过程就是人辩证思维能力的提高过程，我们惟有对思维和求异思维能力各自的作用加以利用，不断批判性思考，最大程度地培养学生分析问题与解决问题的能力，发挥数学学科的独特优势，让学生真正成为学习的主人，充分感受数学求知的乐趣，在不断探究和合作学习中发现规律，在解决问题的过程中全面提高批判性思维。
参考文献：
（1）普通高中新课程标准实验教科书系列用书（有必修、选修）：人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著，刘绍学主编，2017；
（2）《教育学新编》：广西师范大学出版社，徐莹主编，2000年10月；
（3）《心理学》：广西师范大学出版社，沈阳主编，2000年10月；
（4）《数学分析讲义》（第三版），高等教育出版社，刘玉琏、傅沛仁主编，1994，
（5） 《近世代数基础》，高等教育出版社，张禾瑞著，1978年修订本，
关键词：数学教学，批判性思维，实践，研究
前言：思维定势或叫心向，是有一定的心理活动所形成的准备状态，会影响或决定其对同类后继心理活动的趋势，也就是人们按照一种固定了的倾向去反映现实，从而表现出心理活动的趋势性和专注性。培养学生有批判性思维是使学生克服思维定势的消极影响，更新观念，提高求异思维能力，随时准备适应新环境，学习新知识，创造新方法。思维定势与批判性思维相辅相成，互相配合，共同服务于人的思维发展，它们是矛盾的“对立统一”体。
人正是在学习实践中不断积累“经验”，不断适应新环境的，这是一个曲折的发展过程。这种“经验”实际上就是思维定势，需要在此后的学习中多次批判，方才由“经验”→“理解”→“熟能生巧”→“批判性思维”。在这动态的发展过程中“培养”是少不了的。
正文
一、倡导培养学生的批判意识和习惯
批判性思维的特质是独立思考，善于质疑，关注理由和合乎逻辑。学生的批判性思维不是先天形成的，需要不断培养。
（1）在数学课堂教学中，不断诱导学生发现“新问题”的意识
中国人强悍于解决问题，但是不善于发现问题。教师平常的数学教学就是培养学生的科学思维定势和求异思维能力，通过数学概念、数学定理、数学公式的正确理解和熟练运用，一是牢固学生的思维定势，二是不断批判，提升理性认识，扎实学生的基本技能。数学课堂教学中，要善于诱导学生发现“新问题”。
例1. 计算：1+1=
【批判】 （1）1群羊+1群羊=2群羊？
【变式】 （2）2-1=？
【发展】 （3）2+2+2+L+2（100个2）=2×100？
【变式】 （4）2×2×2×L×2 （100个2）=2100 ？
【再发展】 （5） =？
【再变式】 （6） =？
问题出现在哪里？这是一个“量变”到“质变”的数学问题。具体的两个“1”相加得“2”；然而，抽象两个“集合”的组合仍是一个“集合”。减法是加法的逆运算；乘法本质上就是若干个数的直接叠加；开方是乘方的逆运算。引入虚数来说明负数不能开平方根的问题。
点拔：数学运算要多次批判，不断变式，由易至难，由简至繁，不断升华衍生出新的运算。
（2）养成独立思考的良好习惯，不断批判固有知识、不迷信专家
数学概念不是与生俱来，需要不断批判，多次抽象，方可归纳出来。在继承传统数学文化与发展新型数学分支中，批判已有的数学知识，不迷信专家，不断突破数学学科颈瓶。
例2. 数域的扩充
自然数：像0，1，2，3，L。它们是为了计数的需要，一一衍生出来；
【发展】素数（质因数）：像2，3，5，7，L；
合数：像4，6，8，9，L；
既不是素数，也不是合数：像0，1；
【批判】为了表示相反意义的量，引入负数，像-1，-2，L；
【发展】把自然数和负整数统称为“整数”。
【批判】测量或分配当中，经常得不到整数值，为了表示这些“数值”，引入了“分数”，像 。
【发展】真分数：像 ；
假分数：像 L；
带分数：像 L；
【再发展】把整数和分数统称为“有理数”。整数可以看作分母为1的分数，任意有限小数或无限循环小数均可化为“ ”形式。
【批判】像 ，L，它们均是无限不循环小数，没有规律性可言，简直是“蛮横无理”！称它们为“无理数”。
【发展】把有理数和无理数统称为“实数”，它们是实实在在的一个数。
【批判】像 L，二次根式的被开方数中出现“负数”，它们虚构的，现实不存在的“数”，称为“虚数”。
【发展】虚数：a+bi中虚部b≠0；虚数不能比较大小；
实数：a+bi中虚部b=0；实数可比较大小；
【再发展】把实数和虚数统称为“复数”。
数域的不断扩充，给数集的发展不断注入了新鲜血液。
二、培养学生批判性思维的基本前提
（1）熟悉数学文化，明确学生的现有思维水平
与其昏昏就无法使人昭昭。数学教师对数学文化要有一个清楚的认识，通过课堂教学不断挖掘和揭示数学文化内涵，使学生感悟数学、欣赏数学，进而掌握数学的真诚。
数学文化有以下特征：
其一：在现实与科学的互动中形成。人类的一切文化活动都离不开现实生活的实践，数学也不例外。古埃及人在尼罗河畔的测绘实践中孕育了几何测量学；具有柏拉图传统的古希腊人在天文学与声学的研究中开创了公理化体系的思想，为人类科学探索中的理性思维竖立起光辉的典范；文艺复兴时期以牛顿为代表的学者将自然哲学科学转变为数学原理，创立微积分，给数学文化注入新的活力，并且使数学在物理学和工程技术等得到了广泛的应用，将人类文明推进到一个全新的时代；从十七世纪欧洲保险的博彩业中诞生和发展而来的概率统计其应用正方兴未艾LL所有这一切说明数学文化与现实世界有高度有同构关系。
其二：在发展与包容中完善。数学文化在不断随着社会科技的发展中与时俱进，外部的文化环境是数学文化发展的外推力，而数学文化中包容与自我完善的机制是数学文化发展的内驱力，其包容性和自我完善性是其他学科所无法比拟的，数学以抽象严谨著称，但这不能概括为数学文化的全部特征，数学的许多理论并不是绝对真理，数学文化的历史性和相对性决定了数学文化必须遵循“否定之否定”哲学原理，在包容中由不严格到严格，在扬弃中不断自我完善和发展数学文化，这才是数学文化的显著特征。 其三：在整合与创新中超越。今天数学在各行各业的应用之所以从幕后走到台前，除了数学文化能很好地提示客体发展的客观规律外，还由于数学文化的前瞻性随着时代的发展而愈发显现出来。众所周知，著名物理学家麦克斯韦在十九世纪由电磁规律所建立的麦克斯韦微分方程组，不仅从理论上证明了光也是一种电磁波，还预言了电磁波的存在，从而把电、磁、光统一起来，这一切均被实验所证实。非欧几何引起数学思想的巨大变化，是数学在整合创新中极具超越精神的光辉例证，尽管一些数学模型在建立之初是如此抽象和不可理解，但是具有超前意识的数学家找到了它们的现实背景，非欧几何成为了相对论、视觉空间理论的基础，难怪物理大师爱因斯坦不得不惊呼“理论物理学家越来越不得不服从纯数学的形式支配”。
数学知识是数学教学的底蕴，而数学思想、数学精神是学生的灵魂，数学文化正是把它们二者高度地统一起来。
（2）合理设计数学课堂教学内容，循序渐进地培养学生的批判性思维
数学学科特点：抽象性、严密性和广泛应用性。而对数学规律的认识要经过“实践——认识——再实践——再认识”这一过程，换言之，对数学的认识，始终是一个历史，发展的动态过程，这种过程不会终结，只有更加完善。
数学课堂教学要设计出切合实際的学习任务，优化处理数学教材，发动学生自主学习，不面面俱到，要舍得放弃，突出重点，走出数学课堂教学的窘境。
不满堂灌，不拘泥于某一种教学模式，不迷恋于一种教法，批判性地认识教学方法，融入个人思想，汇集当地特色，把数学思想、数学文化融入数学课堂教学，分层施教，和而不同、和而不流，让不同程度的学生能在有限的时间内启迪心智、提升品格，使数学教学步入佳境，循序渐进地培养学生的批判性思维。
例3.求函数y=x（1-x），0
y=-x2+x （去括号）
=-（x- ）2+ （配方）
∵0
【高中数学的解法1】应用均值不等式
∵0
∴y=x（1-x）≤ ，
当且仅当x=1-x，即x= 时，等号成立。
【高中数学的解法2】应用导数
∵0
∵0
∴x= 时，函数取最大值，即ymax=f（ ）= 。
注意：因人而异，因材施教，实现百花齐放。
三、培养学生批判性思维对教师提出的种种挑战
社会迅猛发展，学生要求教师专业素质越来越高，不断提出他们学习发展的需求。打篮球，要求老师像姚明一样，一伸手就扣篮；跑起步，要求老师像苏炳添一样，一溜烟就跑完；游起泳，要求老师像孙阳一样，鱼一样穿梭；LL教师永远是学者，活到老学到老，与学生一起学习，不断进步，不断提升自身的专业技术水平，不断满足学生日益发展需要。教师又是教练，怎样带好队员？怎样带好队伍？怎样发挥出队伍的最大效率？均是给教师提出的种种挑战。冷静面对挑战，灵活应对，深刻透视以下四个的现实问题：
（1）正确认识“为什么要学数学”？
首先，数学是有用的。在生活、生产、科学和技术中，我们都会看到数学的许多应用。数学学科是“研究数量关系和空间形式”，在理论中，在物质世界中，在精神世界中，处处都有用场。数学就在我们身边，她是科学的语言，她是一切科学和技术的基础，她是我们思考和解决问题的工具。
其次，学数学能提高能力。数学学得好，更容易学好其他理论。理论之间往往有彼此想通和共同的东西，而“数量关系与空间形式”、逻辑结构及探索思维等正是它们支架或脉络，因而数学恰在它们的核心处。这样，在数学中得到的训练和修养会很好地帮助我们学习其他理论，数学素质的提高对于个人能力的发展至关重要。
（2）如何才能学好数学？
数学是自然的，数学内容是在人类长期的实践中经过千锤百炼的数学精华和基础，其中的数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味，这有助于大家的学习。
数学是清楚的。清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论，数学中命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的含糊。我们说，数学是易学的，因为它是清楚的，只要大家按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想，绝对可以学懂；我们又说，数学是难学的，也因为它是清楚的，如果有人不是按照数学规则去学去想，总想把“想当然”的东西强加给数学，在没有学会加法的时候就想学乘法，那就要处处碰壁，学不下去了。
在对数学有一个正确认识的基础上，还要讲究一点方法。学数学要摸索自已的学习方法。学习、掌握并能灵活应用数学的途径有千万条，每个人都可以有与众不同的数学学习方法。做习题、用数学解决各种问题是必需的，理解概念、学会证明、领会思想、掌握方法也是必需的，还要充分发挥问题的作用，问题使我们的学习更主动、更生动、更富探索性。要善于提问，学会提问，“凡事问个为什么”，用自已的问题和别人的问题带动自已的学习，类比地学、联系地学，既要从一般概念中看到它的具体背景，不使概念“空洞”，又要在具体例子中想到它蕴含的一般概念，以使事物有“灵魂”。
学数学趁年轻。高中生正处在一生中接受数学训练、打好数学基础的最佳时期。这个时期下点儿功夫学数学，将会终身受益。 （3）怎样教好数学？
数学课堂教学的基本流程：提出问题——尝试解法——分析比较——解决问题——方法提炼——问题拓展。
南京师范大学附中特级教师陶维林就“一节好的数学课的标准”作个性鲜明的说明：①学生参与度越高越好；②教师如何教？如何引领学生思考？如何引导学生探索数学问题？③让学生学会了多少？学得越多越好；④数学教学的特色是什么？要有个性；⑤合理地教学设计，越大气越好；
如何上好一节数学课目前尚没有一个标准。个人认为课前充分备好课，备学生、备教材、备课时教案、备教法、备教具，优化设计教学内容，有舍有弃，胸有成竹；课堂教学要灵活互动教学，突出重点，不面面俱到，精讲多练；课后及时反思，不断提升教学水平。
（4）怎样处理教学实践中的矛盾？
矛盾一：一节课40分钟，让“学生讨论”与“教师讲授”的时间如何分配？颇受争议。让学生互动多、练习多，自然要求教师要少讲；如果教师讲少了，许多内容得不到强调，学生会自主学会吗？
目前，各地流行“大班教学”，克服学生人数多的现实问题。分层教学固然重要，因材实教。如果学生自主学习能力强，点拔一下，他们就会了，教师肯定要“少讲”多练。如果学生的基础差，则需要教师反复点拔，讲的时间肯定“多”。不管如何，一节课要有取舍，突出重点，必须完成主要的教学内容，多讲少讲没有个准，学生能掌握东西就才OK！
矛盾二：教学手断是不是越高级越好？多媒体教学与传统教学矛盾冲撞！
个人认为：数学教育手断不见得越高级越好！多媒体教学仅仅是辅助教学，数学教学是抽象的教育活动，很多情况下需要传统的“手把手”点拔、推理。目前，很多优质课竞赛均采用多媒体教学，表面上教学容量大、师生互动多，实际上那些是花架的，不实用，一闪一闪的屏幕，学生无法正常记录、反应、思考，像看电影似的，坐着看上一把瘾，谈不上发现问题或提出问题。
矛盾三：高中数学解题难度大，专项训练耗时多，是不是训练越多越好？
自中央落实“八项规定”以来，一周五天教学工作制，周未没补课。时间紧，教学任务却不减。上课起来像跑步一样，飞着不着地。数学训练更是没有个谱，有日考、周考、月考、统测，就没有时间完整点评，滑着跑。数学光讲不练，万万不行；数学光练不讲，效果不行。
“精讲”与“多练”矛盾冲突，需要平衡。复杂问题可以归类教学，一一化解难点，通过“专题比较”教学，让函数图像变换带来勃勃生机，让学生就平移的方向、平移的位置、伸缩量的大小、对称性质等等，多视角批判思考，从而提升完整的系统认知。
例4.说说下列函数的图象变换
（1）y=sin x→y=sin（x-2）； （向右平移两个长度单位）
（2）y=sin x→y=sin（x+2）； （向左平移两个长度单位）
（3）y=sin x→y=sin2x； （纵坐标不变，横坐标缩短两倍）
（4）y=sin x→y=sin ； （纵坐标不变，横坐标伸长两倍）
（5）y=sin x→y=sin x+2； （向上平移两个长度单位）
（6）y=sin x→y=sin x-2； （向下平移两个长度单位）
（7）y=sin x→y=cos x； （向左平移 个长度单位）
（8）y=f（x）→y=|f（x）|； （x轴上方部分保留，下方部分对折到上方来）
（9）y=f（x）→y=f（-x）； （图象关于y轴对称）
（10）y=f（x）→y=-f（-x）； （图象关于原点中心对称）
小结：函数的变换要熟记，可运用多媒体辅助教学，加以深刻认识。对于繁杂函数的图象，需要转化为标准型或常见函数类型，方可作图。对于分段函数的图象，需要逐段绘图，不可马虎，它只是一个函数，不是多个函数。
四、四、探索培养学生批判性思维的有效资源与良好的教学方式
1.
学生接触的教学资源主要是教材、学校征订资料、报纸杂志、手机搜索、电脑下载等等，涉及面大，内容多，无时不出现新问题，无处不存在新问题。
1、 教学资源泛滥，良莠不齐，对培养学生批判性思维有负面影响
当下是网络时代，学生获得教学资源的途径有多种多样。有自已主动上网搜索，或与同伴交流共享，或阅读新闻媒体，或询问长辈等等，主要来自于个人的学习需要。然而，学习信息有真有假，资料良莠不齐，媒体众说不一，长辈各有说辞，造就了学生思想混乱，很难理清头绪。面对数学课堂中出现的新问题、新思想，批判性的主见很难形成，头脑往往思维定势，屡屡出现随大流的现象。
针对教学资源泛滥问题，需要过滤网络资源，辩其真伪，优化选择公信度更高的信息作为培养学生具有批判性思维的素材，若能组织一些老师自编教材，开展校本课程开发，对学生的批判性思维必有很大的推动作用。
2、 2.教师的教学方式与学生的學习方式要和谐发展，实现双赢
教学是一门交流艺术，老师的教与学生的学，双向互动。
如果学生素质好，老师点拔一下就可以了，教的时间不长，主要让学生不断批判，自主探索新问题。“拔尖”的学生不是教出来的，而是指导出来的，没有必要花过多的时间在管理的细节上，专攻教学点拔即可。如果学生素质不好，老师要预留出问题或引导学生发现问题，让学生批判已有的知识，找出新问题的对策，逐渐提升数学思维能力，时间要有保证，更要突出“教法”的优化。
数学是清楚的，相似或相近的教学内容可采用“专题类比”，集中比较各异，上下贯通，让学生前后比较，批判方程结构的差异性，批判方程成立的适用条件，批判方程的完整性，不断加深认识，形成完整的系统认知。
例5.类比学习圆锥曲线方程 1. 圆的方程
圆的标准方程：
① （x-a）2+（y-b）2=R2； 圆心（a，b），半径=R；离心率e=0
② x2+y2=R2； 圆心（0，0），半径=R；离心率e=0
圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F=0 （D2+E2-4F>0）
圆的参数方程：
① 圆心（a，b），半径=R；
② 圆心（0，0），半径=R；
2. 椭圆的方程
椭圆的标准方程：
椭圆的一般方程： mx2+ny2=1 （m>0，n>0）；
椭圆的参数方程：
（1） （a>b>0） 焦点在x轴，
（2） （a>b>0） 焦点在y轴，
3. 双曲线的方程
双曲线的标准方程：
双曲线的一般方程： mx2+ny2=1 （mn<0）；
双曲线的参数方程：
（1） （a>0，b>0） 焦点在x轴，
（2） （a>0，b>0） 焦点在y轴，
4. 抛物线的方程
（1）抛物线的标准方程
y2=2px，p>0； p为焦准距，焦点在x轴，开口向右；
y2=-2px，p>0； p为焦准距，焦点在x轴，开口向左；
x2=2py，p>0； p为焦准距，焦点在y轴，开口向上；
x2=-2py，p>0； p为焦准距，焦点在y轴，开口向下；
（2）抛物线的参数方程
p为焦准距，焦点在x轴，开口向右；
p为焦准距，焦点在x轴，开口向左；
p为焦准距，焦点在y轴，开口向上；
p为焦准距，焦点在y轴，开口向下；
小结：通过类比学习，明确方程的结构特征，各有千秋，一目了然。
五、总结归纳培养学生批判性思维的结构化程序
上一节数学课之前，教师首先要备课，事先要备好学生目前的思维水平、备教材、备教学内容、备教具等。选定教学课题之后，要优化该课时的教学内容，精选教学素材。教师课前预设出批判内容，好让学生有目的地去探索。课堂教学中，教师主动让学生批判。学生发现新问题，发现很多越好。教师引导学生逐一解决新问题，初步形成学生批判思维。经多次升华，反复批判，思维能力才牢固形成。下图形象地表示出“批判性思维的一个变化周期”。
批判性思维的一个变化周期示意图
人的思维经常定势，起始水平为A。经过批判性学习，发现新问题、解决新问题之后，思维水平升为B。若不继续加以批判性学习，他的思维水平就定势在B上。学习无止境，活到老学到老，需要后续不断的批判性学习，方可不断提升思维水平。为解决此类问题，老师经常要“變式训练”，通过微妙差异性的训练题强化学生的应对能力，多方位提升学生的批判性思维水平。
例6.（1）若函数f（x）=x2+ax+1，当x?[0，2]时恒有f（x）>0，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）=x2+ax+1，当a?[0，2]时恒有f（x）>0，求实数x的取值范围；
【分析】问题（1）中x是主元；问题（2）中a是主元。不断批判数学问题，提升分析问题、解决问题的能力。
解：（1）当x=0时，f（x）=1>0恒成立，得a?R；
当x?（0，2]时，由x2+ax+1>0恒成立，得a
∵ （当且仅当x=1时等号成立）
∴a>-2。
（2）由a?[0，2]，恒有f（x）=x2+ax+1>0
设g（a）=ax+x2+1=f（x），
∴
∴x?R，x≠-1。
【注意】批判相近的数学问题，通过比较，找出关键因素，迎刃而解。
例7.已知两个函数f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x，x?[-3，3]，k?R。
（1）若对任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；
（2）若存在x?[-3，3]， 使得f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；
（3）若对任意x1，x2?[-3，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范围；
解：（1）设h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，
∵任意x?[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立；即h（x）?0恒成立；
∴[h（x）]min?0
∵hˊ（x）=6x2-6x-12=6（x-2）（x+1）>0?x<-1或x>2；
hˊ（x）<0?-1
∵h（-3）=k-45，h（-1）=k+7，h（2）=k-20，h（3）=k-9，
∴[h（x）]min=k-45?0，∴k?45；
（2）问题等价于h（x）=g（x）-f（x）?0在x?[-3，3]有解，
∴[h（x）]max?0
由（1）得知：[h（x）]max=k+7?0，∴k?-7；
（3）问题等价于[f（x）]max≤[g（x）]min在x?[-3，3]恒成立，
∵[f（x）]max=120-k，[g（x）]min=-21，
∴120-k≤-21， ∴k?141。
【小结】要“等价转化”数学问题，使其变为我们能够或容易处理的函数类型，运用化归思想，化难为易。 六、与批判性思维培养相关的教学反思
案例+反思=教师的专业成长。也就是说教师的成长过程可以归结为通过反思积累教学案例的过程。可以课前反思或课后反思，通常在上第一次课时要采用课前反思，上第二次课时要采用课后反思。
课后反思，顾名思义就是上课之后进行教学反思，其内容主要是反思备课的效果和教案的预设。
经常性的进行课后反思，不仅可以同以往的教学工作联系，起到承上启下的作用，还能够从整体上观察本节课的教学内容，查漏补缺；能够进一步明确教学目标，确定教学起点；能够检测预设方案和学生的符合程度。在研究实践中，笔者发现，能够经常做课后反思的教师对课堂把握的程度要更好，课堂教学效果也更加理想。因为他已经实践过一次，先前遇到的问题、节奏的掌控、重难点的把握愈发灵活应付。同一个教师上两个班数学课，后一个班级的效果是要比前一个好，就是这个道理。
同样地，课前反思也有一定的预设功效，事先评估学生的实际，科学设计教案，尽量减少课堂教学失误。
笔者在这里，只就课后反思的内容作深入阐述。
（1）反思课程内容
本节课要上什么是反思的首选。教学内容要符合学生实际，符合课程体系，逐步培养学生动手能力，循序渐进提升学生批判性思维，不可恣意更改或添加辅助教学内容。例如：人教A版《数学必修3》第三章第一节“随机事件的概率”这一知识点的讲授中，新课程标准明确要求让学生“会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率”，但是笔者发现：许多教师事先为学生讲解了计数的加法原理和乘法原理，而忽视了让学生理解随机事件的具体含义，没有培养学生寻找基本事件的能力，而且这不是个别现象。
（2）反思教学目标是否明确
教学目标中的行为动词应该是可测量的，也就是说我们可以通过某一道习题或者某种测验来检验我们的教学目标是否达到了，如果教学目标达成，我们才可以进行下一章节的学习，反之则不行。例如：“让学生掌握（理解）一元二次不等式的解法”就是一个错误的教学目标。这里的掌握、理解均是抽象的行为动词，不可测量。正确的教学目标可以是“学生能解决三步以内的一元二次不等式的解法”，这样我们就能够清楚地评估出本节课达到什么程度就是教学成功。
（3）反思学生的当前水平
教师要反思学生的当前发展水平，简单地说，好的教学内容不能够太难，也不能太简单，而应该是让学生“跳一跳，就能够得到的”。新课程改革下强调为学生终身发展服务，我们的教学工作一定要有人性化，符合学生本身发展，选择合理的教学内容，有效地提高课堂教学效率，激发学生的学习热情，培养学生积极向上的品质。
（4）情境引入是否恰当
新课程改革下，课堂引入可以分为两种，一种是“创设情境’教学，另一种为“情境—教学”。前者是传统意义上的情境引入式教学，后者是西南地区开展的“设置数学情境与提出数学问题”教学实验所提出来的教学基本模式。两者的共同点都是通过一个现实情境来引入教学。
新课程改革主张：数学生活化，强调情境设计的生活性。
创设情境首先要注重联系学生的现实生活，在学生鲜活的日常生活环境中发现、挖掘学习情境的资源。其次要挖掘和利用学生的经验，强调情境创设的形象性。再次要体现数学学科特色，紧扣教学内容，能够简单明了地让学生发现情境中蕴藏的数学内容和数学问题，能够激发学生情感。
（5）课件使用是否得当
不能为了省事而用课件代替板书，把教学内容罗列在POWERPOINT上，缺乏互动性、时效性差。
哪些教学内容要呈现在课件上，哪些则不需要，必须要明确，精选教学素材，突出重点，不能面面俱到。
課件展现形式有静态、动态之分。无论选择+哪一种制作方式，课件要科学、准确地反映教学内容，简洁地表达出设计目标，充分体现出数学思想和方法，培养学生的数学能力和学习兴趣。
（6）反思教材
新课程改革后，教材一再变动，有删减、有增加、有变化。要正确理解新教材的编写意图，正确理解教材中的内容，有利于开展课堂教学，有利于教师专业素质的提高。
（7）反思一题多解
数学和其他学科相比，有一个显著的区别就是出现“一题多解”频次高。反思我们准备的习题是否有“一题多解”，反思我们的思想是否考虑周全。一旦发现有“一题多解”，要善于提问学生，启发学生的批判性思考，让学生探索出多个解题方法，各抒已见。
结束语：思维定势与批判性思维是矛盾的“对立统一体”，在人的思维活动发展中，它们互相促进，互相转化，它们和谐发展过程就是人辩证思维能力的提高过程，我们惟有对思维和求异思维能力各自的作用加以利用，不断批判性思考，最大程度地培养学生分析问题与解决问题的能力，发挥数学学科的独特优势，让学生真正成为学习的主人，充分感受数学求知的乐趣，在不断探究和合作学习中发现规律，在解决问题的过程中全面提高批判性思维。
参考文献：
（1）普通高中新课程标准实验教科书系列用书（有必修、选修）：人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著，刘绍学主编，2017；
（2）《教育学新编》：广西师范大学出版社，徐莹主编，2000年10月；
（3）《心理学》：广西师范大学出版社，沈阳主编，2000年10月；
（4）《数学分析讲义》（第三版），高等教育出版社，刘玉琏、傅沛仁主编，1994，
（5） 《近世代数基础》，高等教育出版社，张禾瑞著，1978年修订本，