论文部分内容阅读
【摘要】数学思想方法是数学的血液和精髓，是解决数学问题的金钥匙。在教学过程中渗透数学思想方法，能增加学生的学习兴趣，启迪学生的思维，发展学生的数学智能，培养学生的创新意识和实践能力，提高学生的数学素养及分析问题和解决问题的能力。
【关键词】数学思想；数学方法；数学教学
数学思想方法是人们对数学知识内容的本质认识和对所使用的方法和规律的理性认识。它是数学的血液和精髓，是解决数学问题的金钥匙。在数学解题中会涉及到许多数学思想方法，重视对这些数学思想方法的渗透和运用，能增加学生的学习兴趣，启迪学生的思维，发展学生的数学智能，培养学生的创新意识和实践能力，提高学生的数学素养及分析问题和解决问题的能力。下面就北师大版七年级下册数学第一章《整式的乘除》中蕴涵的数学思想方法归纳如下，以供参考。
1 整体的思想方法
整体的思想方法就是从整体观点出发，有意识地放大思考问题的“视角”， 纵观全局，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，并对其进行调节和转化，从而使问题得到解决。在整式的乘除中，有些问题从每个部分或条件去思考不易解决时，可以把问题的各个部分或条件作为一个整体，全面考虑，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识。
例1 已知a-b=2，a-c=1，求（2a-b-c）2+（c-b）2的值
分析：由已知条件很难求出a、b、c的值，可考虑将待求式变形，把a-b、a-c和c-d分别看做一个整体，由于（a-b）-（a-c）= -b+c = 2-1=1，所以c-b=1，然后整体代入求值。
解：（2a-b-c）2+（c-b）2=（a-b+ a-c）2+（c-b）2=（2+1）2+12=10
2 转化的思想方法
转化思想就是将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将陌生转化为熟悉，将实际问题转化为数学问题的一种数学思想，可以说解决数学问题时，转化思想几乎无处不在.如在整式乘法中，就是运用法则将多项式与多项式相乘，转化为单项式与多项式相乘，进而转化为单项式与单项式相乘等，再看下面的例子.
例2 计算：19983-1997×1998×1999
分析：直接计算显然较繁，注意到原式中的各数的联系，可恰当的利用字母代替数，从而把数的计算转化为代数式的化简，可使问题很快解决.
解：设1998=a，则原式=a3-（a-1） ×a×（a+1）=a3-a（a2-1）=a3-a3+a=a=1998.
3 逆向运用的思想
通常，人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。如幂的运算性质和乘法公式（平方差公式与完全平方公式），不仅可以正向运用，还可以逆向运用.
例3 （1）计算 （-0.125）2012·82012；
（2）已知am=3，an=2，求a3m-2n的值；
（3）计算（2a+3b）2-（2a-3b）2
分析：（1）逆用积的乘方，即am·bm=（ab）m；
（2）先可逆用同底数的除法法则，再逆用幂的乘方的法则，即可代入求值；
（3）中若直接运用完全平方公式计算比较麻烦，若逆用平方差公式可简化计算.
解：（1）原式=（-0.125·8）2012=（- 1）2012=1
（2）a3m-2n=a3m÷a2n= （am）3÷（an）2=33÷22=274；
（3）原式=（2a+3b）+（2a-3b）（2a+3b）-（2a-3b）=4a×6b=24ab.
4 数形结合的思想
数形结合思想方法，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。在数学解题中，可以形助数、以数解形，便能很快发现解题的线索，使问题迅速得到解决。
例4 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b），再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形（2），如图，根据这两个图形的面积关系，可以表示成.
分析：图（1）中阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即a2-b2；图（2）是一个上底为2b、下底为2a、高为（a-b）的等腰梯形，其面积是12（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）.由图（2）的面积与图（1）中阴影部分的面积相等，得 （a+b）（a-b）=a2-b2.
5 分类讨论的思想方法
如果问题中包含多种情况，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出相应的答案，这种解决问题的思想方法叫做分类讨论思想。
例5 若x2-2（m-3）x+9是關于字母x的一个完全平方公式，求m值。
分析：根据完全平方式求待定系数或公式中的a与b。
解：x2-2（m-3）x+9=x2-2（m-3）x+32.
∵多项式是完全平方式， ∴-2（m-3）x=±2×x×3， ∴-2（m-3）= ±6.
∴当 -2（m-3）=6时，m=0； 当-2（m-3）=-6时， m=6
故m=0或6。
6 方程的思想方法
在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。
例6 阳光小区有一块长方形的绿地，现要将其规划成一块正方形绿地，将其宽增加2m，长减少2m，就可以使其面积增大为原来的3倍，则这块绿地现在的面积是多少？
分析：要求这块绿地现在的面积，必须知道现在这块绿地的形状和边长，形状是正方形，但是边长不知道，于是可以引进未知数，列方程求解。
解： 设这块绿地现在的边长为x m，则面积为x2m2，列方程为：3（x-2）（x+2）= x2 解得 x2=6故这块绿地现在的面积是6m2。
总之，数学思想方法较多，除了以上几种外，还有类比、假设等数学思想，只要大家认真思考，灵活的应用。数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果。
【关键词】数学思想；数学方法；数学教学
数学思想方法是人们对数学知识内容的本质认识和对所使用的方法和规律的理性认识。它是数学的血液和精髓，是解决数学问题的金钥匙。在数学解题中会涉及到许多数学思想方法，重视对这些数学思想方法的渗透和运用，能增加学生的学习兴趣，启迪学生的思维，发展学生的数学智能，培养学生的创新意识和实践能力，提高学生的数学素养及分析问题和解决问题的能力。下面就北师大版七年级下册数学第一章《整式的乘除》中蕴涵的数学思想方法归纳如下，以供参考。
1 整体的思想方法
整体的思想方法就是从整体观点出发，有意识地放大思考问题的“视角”， 纵观全局，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，并对其进行调节和转化，从而使问题得到解决。在整式的乘除中，有些问题从每个部分或条件去思考不易解决时，可以把问题的各个部分或条件作为一个整体，全面考虑，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识。
例1 已知a-b=2，a-c=1，求（2a-b-c）2+（c-b）2的值
分析：由已知条件很难求出a、b、c的值，可考虑将待求式变形，把a-b、a-c和c-d分别看做一个整体，由于（a-b）-（a-c）= -b+c = 2-1=1，所以c-b=1，然后整体代入求值。
解：（2a-b-c）2+（c-b）2=（a-b+ a-c）2+（c-b）2=（2+1）2+12=10
2 转化的思想方法
转化思想就是将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将陌生转化为熟悉，将实际问题转化为数学问题的一种数学思想，可以说解决数学问题时，转化思想几乎无处不在.如在整式乘法中，就是运用法则将多项式与多项式相乘，转化为单项式与多项式相乘，进而转化为单项式与单项式相乘等，再看下面的例子.
例2 计算：19983-1997×1998×1999
分析：直接计算显然较繁，注意到原式中的各数的联系，可恰当的利用字母代替数，从而把数的计算转化为代数式的化简，可使问题很快解决.
解：设1998=a，则原式=a3-（a-1） ×a×（a+1）=a3-a（a2-1）=a3-a3+a=a=1998.
3 逆向运用的思想
通常，人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。如幂的运算性质和乘法公式（平方差公式与完全平方公式），不仅可以正向运用，还可以逆向运用.
例3 （1）计算 （-0.125）2012·82012；
（2）已知am=3，an=2，求a3m-2n的值；
（3）计算（2a+3b）2-（2a-3b）2
分析：（1）逆用积的乘方，即am·bm=（ab）m；
（2）先可逆用同底数的除法法则，再逆用幂的乘方的法则，即可代入求值；
（3）中若直接运用完全平方公式计算比较麻烦，若逆用平方差公式可简化计算.
解：（1）原式=（-0.125·8）2012=（- 1）2012=1
（2）a3m-2n=a3m÷a2n= （am）3÷（an）2=33÷22=274；
（3）原式=（2a+3b）+（2a-3b）（2a+3b）-（2a-3b）=4a×6b=24ab.
4 数形结合的思想
数形结合思想方法，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。在数学解题中，可以形助数、以数解形，便能很快发现解题的线索，使问题迅速得到解决。
例4 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b），再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形（2），如图，根据这两个图形的面积关系，可以表示成.
分析：图（1）中阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即a2-b2；图（2）是一个上底为2b、下底为2a、高为（a-b）的等腰梯形，其面积是12（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）.由图（2）的面积与图（1）中阴影部分的面积相等，得 （a+b）（a-b）=a2-b2.
5 分类讨论的思想方法
如果问题中包含多种情况，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出相应的答案，这种解决问题的思想方法叫做分类讨论思想。
例5 若x2-2（m-3）x+9是關于字母x的一个完全平方公式，求m值。
分析：根据完全平方式求待定系数或公式中的a与b。
解：x2-2（m-3）x+9=x2-2（m-3）x+32.
∵多项式是完全平方式， ∴-2（m-3）x=±2×x×3， ∴-2（m-3）= ±6.
∴当 -2（m-3）=6时，m=0； 当-2（m-3）=-6时， m=6
故m=0或6。
6 方程的思想方法
在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。
例6 阳光小区有一块长方形的绿地，现要将其规划成一块正方形绿地，将其宽增加2m，长减少2m，就可以使其面积增大为原来的3倍，则这块绿地现在的面积是多少？
分析：要求这块绿地现在的面积，必须知道现在这块绿地的形状和边长，形状是正方形，但是边长不知道，于是可以引进未知数，列方程求解。
解： 设这块绿地现在的边长为x m，则面积为x2m2，列方程为：3（x-2）（x+2）= x2 解得 x2=6故这块绿地现在的面积是6m2。
总之，数学思想方法较多，除了以上几种外，还有类比、假设等数学思想，只要大家认真思考，灵活的应用。数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果。