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【摘 要】数学建模是六大数学核心素养之一，它在中学数学解题与问题解决活动中有着广泛应用。文章根据有关研究者提供的两种数学建模核心素养的水平划分方案，对应用数学模型“实数=整数部分+小数部分”获解的六个中学数学问题进行分析，得出了相关结论和研究展望。教师在教学中应合理界定中学数学建模核心素养的教学目标，开发数学建模问题，完善数学建模核心素养的水平划分方案。
【关键词】数学核心素养;数学建模;水平划分
【作者简介】顾文娟，教育硕士，一级教师，新青年数学教师工作室上海教研基地成员，主要从事中学数学教学研究。
一、问题的提出在《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的六大数学核心素养中，数学建模指的是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模在教学中引起了教师广泛的重视，一方面是因为以往的教学大纲或课程标准并没有把数学建模提升到如此高的地位;另一方面是因为数学建模在中学数学解题与问题解决活动中都有着广泛的应用，而不仅仅是针对现实问题，还可能是数学问题、科学问题。也就是说，数学建模是具有学科高度和应用广度的数学核心素养之一。
为开展数学建模核心素养的教学与评价，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模的水平划分为三个层级（水平1、水平2、水平3），每一水平都有相应的描述[1]。可是，这一方案是文字描述性的，且针对高中毕业水平、高考水平、高校自主招生水平（强基计划）三个层次，教师在实际教学中比较难于操作，亟须寻找更好的可操作方案及典型案例。
二、研究方法与过程
笔者引入两种操作性较强的数学建模的水平划分方案，并以数学模型“实数=整数部分+小数部分”的应用为例，验证两种方案的可行性，比较其差异，为数学建模核心素养的测评提供有力的实证，从而促进数学建模核心素养的教学与评价。
（一）数学建模的水平划分概述
南京师范大学喻平教授认为，学生数学核心素养的生成源于对数学知识的学习，数学知识学习表现为知识理解、知识迁移、知识创新三种形态，这三种形态生成不同水平的数学核心素养，因此可以基于知识学习的三种形态评价数学核心素养的水平。具体来说，水平1“知识理解”的表现为了解数学知识的来龙去脉，能够解决数学的基本问题，形成数学的基本技能;水平2“知识迁移”的表现为能够将数学知识迁移到不同情境并解决其中的数学问题，理解数学知识之间的逻辑关系和隐含其间的数学思想方法，能够运用多种数学知识和方法解决常规性的、较为复杂和综合性的问题;水平3“知识创新”的表现为具有探究问题的意识和能力，具有批判性思维能力和反思能力，能够提出富有见解的数学猜想并证明（或证伪），能够对数学问题进行变式、拓展和推广，具备解决非常规数学问题的能力，掌握数学知识和方法的结构，能够用数学思维对事物进行判断和分析，初步形成数学学科特定的世界观和方法论。[2]据此，我们可以得出数学建模的水平划分方案1（见表1）。
陕西师范大学罗增儒教授从数学解题角度，将数学建模分为以下四个水平：从能得出题目答案开始算，如果只会记忆模仿就是水平1，如果能完成变式练习就是水平2，如果能够通过解题获得思维感悟就是水平3，如果能自觉地通过解题分析增强数学理解、提高数学素养就是水平4。其中，水平1的具体表现是能模仿教师或教材例题解决一些识记性的问题，能套用定理、公式，按既定流程解决问题，但稍一变化就会思维受阻。水平2的具体表现是能进行知识的简单应用，识别变式问题中的知识原型，发现多题一法、一法多用。水平3的具体表现是有意识地探求解题思路，领悟解题过程中的思想和方法，主动求简、优化解题过程，一题多解。水平4的具体表现是能迅速识别数学问题的数学模型，主动设计解题思路，自觉分析问题和方法的深层次结构，能开展一题多变，获得良好的解题体验，形成良好的数学素养和思维品质。[3-4]据此，我们可获得解题活动中数学建模的水平划分方案2（见表2）。
从以上表1和表2可以看出，数学建模的水平划分方案1与方案2的角度不同，但是它们对同一问题的评价是一致的还是背道而驰的？下面以数学模型“实数=整数部分+小数部分”的应用为例进行分析。
（二）数学建模的应用案例及分析
笔者首先给出一个数学模型，然后选取6个问题（初中、高中的数学常规教学问题各2个，初中、高中的数学竞赛教学问题各1个）进行对照研究。这6个问题均以所给数学模型为线索（或明或暗），且覆盖了初中和高中两个学段、常规教学与竞赛教学两种教学要求，具有较好的代表性。
本题通过两个共轭根式的齐次幂之和为整数，且其中一个根式的幂为纯小数，从而获得另一个根式的整数部分。其实质也是数学模型“实数=整数部分+小数部分”的应用。（5+3）6的整数部分为3903，小数部分为1-（5-3）6。该题体现了数学模型“实数=整数部分+小数部分”的知识创新水平、自觉分析水平。在解題中如果没有知识创新，即实数=整数部分+1-（1-小数部分）;如果没有自觉分析，即实数+（1-小数部分）=整数部分+1，就不可能完成解题。
（三）统计与分析
为保证客观性，笔者又邀请甲、乙两位资深中学数学教师对上述6个问题的解法所体现的数学建模水平，使用前述两种方案分别进行评价，得到表3和表4的统计结果（两位教师的评价工作独立进行，个别意见不一致的地方通过协商后达成一致）。
分析表3和表4，我们得到以下启示。
（1）无论选用数学建模的水平划分方案1还是方案2，无论是初中数学还是高中数学，竞赛教学问题比常规教学问题的数学建模水平普遍高一级，这与竞赛教学问题的教学要求设置是相吻合的。
（2）数学建模的水平划分方案1与方案2存在一定的对应关系：方案1的水平1（知识理解）对应方案2的水平1（记忆模仿），方案1的水平2（知识迁移）对应方案2的水平2（变式应用）和水平3（自发领悟），方案1的水平3（知识创新）对应方案2的水平3（自发领悟）和水平4（自觉分析），但也具有一定的重复性。 （3）实践是检验理论的重要标准，无论选用数学建模的水平划分方案1还是方案2，都存在描述不够精确的地方，有时无法有效区分相关问题解决水平的真实差异。
三、研究结论与展望
到目前为止，《普通高中数学课程标准（2017年版）》及有关专家、学者给出了多种数学建模的水平划分方案，并且都具有一定的合理性，能够定性地评价大部分数学建模问题及其解决过程。但在实际操作中还存在模糊与不足的地方，上述6个问题的统计与分析就是实证。究其原因，一方面是把数学建模局限在现实情境的问题，忽视数学情境、科学情境的数学建模问题;另一方面是这些方案难以定量、精准地描述问题的解决过程，难以比较、评价不同解决过程所表现的数学核心素养的差异。因此，笔者建议关于数学建模的教学与评价研究应关注以下几方面。
（1）合理界定中学数学建模核心素养的教学目标，比如：了解数学建模的一般过程和方法，理解模型思想;理解中学阶段常见的数学模型（恒等式模型、不等式模型、方程模型、函数模型、几何基本图形模型、概率统计模型等）的现实背景，掌握其数学表述;认识数学模型在数学内部以及外部（科学、社会、工程技术等）诸多领域的应用，能运用这些数学模型解决简单的问题（包括现实问题、数学问题、科学问题等）。
（2）借助更科学的教育测量技术，继续量化、完善已有数学建模的水平划分方案，准确评价问题本身及不同解答过程、不同解题者反映的数学建模的不同水平，从而指导和改进数学教学。
（3）开发好的培育数学建模等数学核心素养的问题，引导学生有意识地用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，分析和解决问题，感悟数学的知识与方法，积累数学活动的經验，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：19-23，59.
[3]罗增儒.数学解题的水平划分[J].中学数学教学参考，2020（7）：2-4，21.
[4]罗增儒.数学解题的水平划分（续）[J].中学数学教学参考，2020（10）：2-5.
（责任编辑：陆顺演）
【关键词】数学核心素养;数学建模;水平划分
【作者简介】顾文娟，教育硕士，一级教师，新青年数学教师工作室上海教研基地成员，主要从事中学数学教学研究。
一、问题的提出在《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的六大数学核心素养中，数学建模指的是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学建模在教学中引起了教师广泛的重视，一方面是因为以往的教学大纲或课程标准并没有把数学建模提升到如此高的地位;另一方面是因为数学建模在中学数学解题与问题解决活动中都有着广泛的应用，而不仅仅是针对现实问题，还可能是数学问题、科学问题。也就是说，数学建模是具有学科高度和应用广度的数学核心素养之一。
为开展数学建模核心素养的教学与评价，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将数学建模的水平划分为三个层级（水平1、水平2、水平3），每一水平都有相应的描述[1]。可是，这一方案是文字描述性的，且针对高中毕业水平、高考水平、高校自主招生水平（强基计划）三个层次，教师在实际教学中比较难于操作，亟须寻找更好的可操作方案及典型案例。
二、研究方法与过程
笔者引入两种操作性较强的数学建模的水平划分方案，并以数学模型“实数=整数部分+小数部分”的应用为例，验证两种方案的可行性，比较其差异，为数学建模核心素养的测评提供有力的实证，从而促进数学建模核心素养的教学与评价。
（一）数学建模的水平划分概述
南京师范大学喻平教授认为，学生数学核心素养的生成源于对数学知识的学习，数学知识学习表现为知识理解、知识迁移、知识创新三种形态，这三种形态生成不同水平的数学核心素养，因此可以基于知识学习的三种形态评价数学核心素养的水平。具体来说，水平1“知识理解”的表现为了解数学知识的来龙去脉，能够解决数学的基本问题，形成数学的基本技能;水平2“知识迁移”的表现为能够将数学知识迁移到不同情境并解决其中的数学问题，理解数学知识之间的逻辑关系和隐含其间的数学思想方法，能够运用多种数学知识和方法解决常规性的、较为复杂和综合性的问题;水平3“知识创新”的表现为具有探究问题的意识和能力，具有批判性思维能力和反思能力，能够提出富有见解的数学猜想并证明（或证伪），能够对数学问题进行变式、拓展和推广，具备解决非常规数学问题的能力，掌握数学知识和方法的结构，能够用数学思维对事物进行判断和分析，初步形成数学学科特定的世界观和方法论。[2]据此，我们可以得出数学建模的水平划分方案1（见表1）。
陕西师范大学罗增儒教授从数学解题角度，将数学建模分为以下四个水平：从能得出题目答案开始算，如果只会记忆模仿就是水平1，如果能完成变式练习就是水平2，如果能够通过解题获得思维感悟就是水平3，如果能自觉地通过解题分析增强数学理解、提高数学素养就是水平4。其中，水平1的具体表现是能模仿教师或教材例题解决一些识记性的问题，能套用定理、公式，按既定流程解决问题，但稍一变化就会思维受阻。水平2的具体表现是能进行知识的简单应用，识别变式问题中的知识原型，发现多题一法、一法多用。水平3的具体表现是有意识地探求解题思路，领悟解题过程中的思想和方法，主动求简、优化解题过程，一题多解。水平4的具体表现是能迅速识别数学问题的数学模型，主动设计解题思路，自觉分析问题和方法的深层次结构，能开展一题多变，获得良好的解题体验，形成良好的数学素养和思维品质。[3-4]据此，我们可获得解题活动中数学建模的水平划分方案2（见表2）。
从以上表1和表2可以看出，数学建模的水平划分方案1与方案2的角度不同，但是它们对同一问题的评价是一致的还是背道而驰的？下面以数学模型“实数=整数部分+小数部分”的应用为例进行分析。
（二）数学建模的应用案例及分析
笔者首先给出一个数学模型，然后选取6个问题（初中、高中的数学常规教学问题各2个，初中、高中的数学竞赛教学问题各1个）进行对照研究。这6个问题均以所给数学模型为线索（或明或暗），且覆盖了初中和高中两个学段、常规教学与竞赛教学两种教学要求，具有较好的代表性。
本题通过两个共轭根式的齐次幂之和为整数，且其中一个根式的幂为纯小数，从而获得另一个根式的整数部分。其实质也是数学模型“实数=整数部分+小数部分”的应用。（5+3）6的整数部分为3903，小数部分为1-（5-3）6。该题体现了数学模型“实数=整数部分+小数部分”的知识创新水平、自觉分析水平。在解題中如果没有知识创新，即实数=整数部分+1-（1-小数部分）;如果没有自觉分析，即实数+（1-小数部分）=整数部分+1，就不可能完成解题。
（三）统计与分析
为保证客观性，笔者又邀请甲、乙两位资深中学数学教师对上述6个问题的解法所体现的数学建模水平，使用前述两种方案分别进行评价，得到表3和表4的统计结果（两位教师的评价工作独立进行，个别意见不一致的地方通过协商后达成一致）。
分析表3和表4，我们得到以下启示。
（1）无论选用数学建模的水平划分方案1还是方案2，无论是初中数学还是高中数学，竞赛教学问题比常规教学问题的数学建模水平普遍高一级，这与竞赛教学问题的教学要求设置是相吻合的。
（2）数学建模的水平划分方案1与方案2存在一定的对应关系：方案1的水平1（知识理解）对应方案2的水平1（记忆模仿），方案1的水平2（知识迁移）对应方案2的水平2（变式应用）和水平3（自发领悟），方案1的水平3（知识创新）对应方案2的水平3（自发领悟）和水平4（自觉分析），但也具有一定的重复性。 （3）实践是检验理论的重要标准，无论选用数学建模的水平划分方案1还是方案2，都存在描述不够精确的地方，有时无法有效区分相关问题解决水平的真实差异。
三、研究结论与展望
到目前为止，《普通高中数学课程标准（2017年版）》及有关专家、学者给出了多种数学建模的水平划分方案，并且都具有一定的合理性，能够定性地评价大部分数学建模问题及其解决过程。但在实际操作中还存在模糊与不足的地方，上述6个问题的统计与分析就是实证。究其原因，一方面是把数学建模局限在现实情境的问题，忽视数学情境、科学情境的数学建模问题;另一方面是这些方案难以定量、精准地描述问题的解决过程，难以比较、评价不同解决过程所表现的数学核心素养的差异。因此，笔者建议关于数学建模的教学与评价研究应关注以下几方面。
（1）合理界定中学数学建模核心素养的教学目标，比如：了解数学建模的一般过程和方法，理解模型思想;理解中学阶段常见的数学模型（恒等式模型、不等式模型、方程模型、函数模型、几何基本图形模型、概率统计模型等）的现实背景，掌握其数学表述;认识数学模型在数学内部以及外部（科学、社会、工程技术等）诸多领域的应用，能运用这些数学模型解决简单的问题（包括现实问题、数学问题、科学问题等）。
（2）借助更科学的教育测量技术，继续量化、完善已有数学建模的水平划分方案，准确评价问题本身及不同解答过程、不同解题者反映的数学建模的不同水平，从而指导和改进数学教学。
（3）开发好的培育数学建模等数学核心素养的问题，引导学生有意识地用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，分析和解决问题，感悟数学的知识与方法，积累数学活动的經验，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：19-23，59.
[3]罗增儒.数学解题的水平划分[J].中学数学教学参考，2020（7）：2-4，21.
[4]罗增儒.数学解题的水平划分（续）[J].中学数学教学参考，2020（10）：2-5.
（责任编辑：陆顺演）