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【摘要】教师在数学教学过程中一味地让学生死记硬背知识的内容、结论、公式和定理等是难以培养学生数学素养的.对于《余弦定理》这一课，教师怎样把握好本节课的教学目标和重难点？怎样很好地培养学生的数学思想？本文结合具体的课堂实例，从无效教学角度进行深刻反思，以便达到构建高效课堂的目的.
【关键词】余弦定理;数学素养;数学思想;高效课堂
一、课堂实录
1.复习回顾
师：上两节课我们学习了正弦定理，哪位同學能叙述其内容？
生：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且为定值，该定值为三角形外接圆半径的2倍.
师：很好！上节课我们还讲到正弦定理可以求解两类有关三角形问题，大家还记得吗？
生：已知两角和任意一边、已知两边和其中一边的对角求解三角形.
师：你的回答非常棒！
2.新课导入
师：下面看这样一个问题：某施工队为了开凿一条山地隧道，需测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一个适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，分别是 AC=5 km，AB=8 km，再用测角仪测出A对山脚B，C的张角∠BAC=60°，最后计算出山脚的长度BC.（课件展示）如果你是工程技术人员，你会算出BC吗？
学生的回答千差万别，有的说不会，有的说会，有的说可能会吧，有的保持沉默……
师：好，咱们先不急着回答能不能算出来.面对一个实际问题，我们要解决的话，第一步应怎样？哪位学生能说一下？
生：实际问题数学化.
师：你的想法非常好！
师将这个实际问题数学化的图形在白板上画出来，进一步问学生：用正弦定理能算出BC吗？
生：不能，因为在这个图形中只知道一个角，如果用正弦定理算的话还需要知道一个角，所以无法计算.
师：你回答的理由非常充分，请坐！这是一个实际问题，我们还是需要得到最终结果的，那么我们怎么通过三角形的两边及其夹角求第三边呢？这就是本节课我们要学习的内容.
3.课堂探究
探究点1：在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边.
师：我们还是回到刚刚的问题上来，我们既然用正弦定理不能求解，那么能否换种途径解决这个问题呢？
课堂一片安静，学生都在低头思考.
师：这个问题涉及求长度，我们想想之前学过的哪些内容涉及求长度.
生：两点间距离、向量的模等都涉及求长度.
师：回答得很不错！下面老师就为大家展示一种方法——向量法来解决这个问题.师板书求解过程.
向量法：设CB=a，CA=b，AB=c，由向量减法的三角形法则得c=a-b，
∴c2=c·c=（a-b）·（a-b）=a·a b·b-2a·b
=a2 b2-2abcos C=a2 b2-2abcos C，
∴c2=a2 b2-2abcos C.（其中|a|=a，|b|=b，|c|=c.）
师：如果把三角形角按逆时针方向换个标记，我们又可以得到什么新式子？
生：a2=b2 c2-2bccos A.
师：回答得很对！我接着问你，如果把三角形角再按逆时针方向换个标记，又可以得到什么？
生：b2=a2 c2-2accos B.
师：很好，请坐！现在我们已经得到在一个三角形中的3个结论，大家再发挥聪明才智想想还有没有其余方法可以证明这些式子？4个人一组在下面合作交流下，等下我找两个人上来写出你们的想法.
此时教师在下面巡视.同学们讨论得非常激烈，真正有着思想火花的碰撞.过了一会儿，教师找了一男生一女生上台写出他们的不同证明过程.
生：女生利用几何法，过顶点C向AB引垂线，垂足为D，然后在Rt△CBD中利用勾股定理顺利求出BC的表达式，和向量法得出的结果一样.男生在白板上建立了直角坐标系，但最终证明过程压根没用到坐标，其实也是用几何法在证明.
师：我们一起看看这两位同学的证明过程.女生把要求的这条边转化成了直角三角形的斜边，然后利用勾股定理求出斜边，她的证明方法完全正确;男生利用建系做的，看完他的证明，我都找不到坐标的影子啊！（底下一片笑声）
师利用这位男生建好的坐标系，采用了第三种证明方法——坐标法，把该问题转化为求两点间距离，快速得出相同的结果.
师：我们重新把3个式子写在一起.
探究点2：余弦定理.
师：我们再来看看这3个式子，大家能否用文字语言表述它蕴含的意思，哪位自告奋勇来回答？
生：三角形任意一边的平方等于另两边的平方和减去这两边与它夹角余弦值乘积的两倍.
师：回答得很好！老师给出余弦定理的内容，这个定理功能是知道三角形两边及其夹角就可以求第三边.
师：请同学们思考：式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，那么能否由三边求出一角？
生：式子中有4个量，可以.
师：你说能由三边求一角，依据是什么呢？
生：余弦定理含有三边一角四个量，所以已知三边把余弦定理公式变形就可以求角的余弦值，进而可以求角.
师：你把这个问题分析得很透彻，非常好！这就是接下来要讲的余弦定理推论.师板书余弦定理的3个推论.
师：同学们再来思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理指出了一般三角形中三边平方之间的关系，我们如何看这两个定理之间的关系？
学生说了很多，但不够简练，师引导.
生：勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的普遍情况. 师：回答基本正确，我们用一句话概括两定理的关系应该是勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
探究点3：余弦定理及其推论的基本作用.
师：同学们学习了余弦定理及其推论以后，想想它们有什么作用？
生：可以解决两类新的三角形问题，一类是已知两边及其夹角可以求另一边及两角;另一类是已知三边可以求三个角.
师：你已经把本节课的精华都分析出来了，非常棒，请坐.
4.典例解析
例：在△ABC中，已知b=3，c=23，A=30°，求B，C和a.
師让学生先思考解题思路，然后自己板书出详细过程，最后概括这是一类属于已知两边及夹角解三角形的问题.
师：下面看两道变式训练，我找两位同学上来分别做这两个小题，其余同学在底下动笔做.
变式训练：在△ABC中，根据下列条件解三角形.
（1）b=3，c=33，B=30°.（2）a=2，b=22，c=6 2.
师：两位上黑板的同学都写出了一点解题过程，从他们的过程来看，知道列式但不会计算或者计算出错导致最终得不出结果.底下大部分同学也是如此，极少数同学做出了第（1）小题的部分结果，第（2）问没发现有人做对.
师在白板上先从两位同学的解法中找出错误，然后顺着他们的思路把这道题完整做完，对第（1）小题还提供了不同的解法，最后总结下两道小题的不同之处，第（1）小题属于已知两边及一边所对的角解三角形，第（2）小题属于已知三边求解三角形问题.
师：到目前为止，我们已经学习了几种类型的解三角形问题？
生在底下七嘴八舌，然后每组找了一个代表起来回答，他们回答得都不完整.
师：把你们所有人不同的回答放在一起才是正确答案.到目前为止，我们学习了四种类型，分别为：一边和两角、两边和夹角、三边以及两边和其中一边的对角.下面我提出一个问题，遇到这四类中的一类解三角形题目，我们该用什么定理进行求解？
学生在底下思考片刻.
师用课件展示四类情况，用表格列出了已知条件、所用定理、一般解法及解的个数等内容.
师点击PPT，直接跳到课堂总结.
5.课堂总结
师：学习了本节课知识后，你们有什么收获？
生：我学到了余弦定理内容和推论及用余弦定理解另外两类三角形，使我受益匪浅！
师：你已经很好地掌握了本节课的核心知识和应用，你有没有学到什么数学思想呢？
生：数形结合思想、类比思想等.
师：除此以外，还有其余的吗？
生：好像没有了.
师：我们花了很多时间在讲定理证明，这其中就蕴含了转化与化归的数学思想，这个思想也是我们本节课所学到的最重要的思想.
6.课后作业
师：今天的课后作业为：①必做题，《五年高考三年模拟》的61页3题、4题、5题;②拓展题，课件展示.
师：好，这节课就上到这里，下课，同学们再见！
生：老师再见！
二、问题发现
纵观本节课，整个课堂教学过程很完整，教师讲解思路清晰.教师从复习回顾—新课导入—课堂探究—典例解析—课堂总结—课后作业六方面很好地完成了本节课的教学要求，贴近考纲.在本节课的教学过程中，教师利用生活中的实例将实际问题数学化，从而引出本节课主题，这样激发起了学生的学习兴趣，也让学生更加懂得了数学的应用价值.另外，教师利用三种学生熟悉的方法引导学生完成了该定理的证明，真正授人以渔，在这个过程中培养了学生的一种转化与化归的数学思想.但从构建高效课堂机制角度来看，本节课还存在诸多不足.
1.在新课导入环节中所选实例较为单一，并且没有让学生创设一个生活中的相同情境来感受问题的共性，更没有让学生对这个问题分组开展如火如荼的讨论，只是从感观上觉得用正弦定理不能解决.
2.在余弦定理证明过程中，教师从向量角度给出了一种完整的证明方法，接着让学生合作讨论，再用其余方法证明这个结论，但是提示的方法只能是几何法和解析法，这就极大地束缚了学生的思考范围，扼杀了学生的创新思维，不利于培养学生转化与化归思想.
3.本节课准备的内容过多，想当然地满堂灌，这导致利用余弦定理判断三角形形状知识在上课时没有讲.另外课堂主要还是老师在讲，学生参与的活动较少，没有发挥学生的主观能动性.教师找学生上去做题，一道题只找了一个学生上去做，这也是一大遗憾.
4.变式训练（2）这个习题给出得不合理，因为全班没有一个同学在短时间内做出，这真是失效的课堂啊！教师讲完例题和变式训练以后，对这些题目方法进行了归纳总结，美中不足的是整个归纳过程都是老师一个人在讲，速度还很快，这样教师不能及时了解学生对本节课的掌握情况.
5.作业布置环节只有大题，而且必做题都是高考题，思维拓展题比必做题还难，这不利于学生树立学习数学的信心.
三、原因诊断
纵观整个教学过程，我从无效教学角度进行深入诊断分析，出现问题的原因主要有以下几点：
1.课前准备不充分，依赖教参和课件备课.虽然教师在课前把各种课件加以整合和修改，但是别人的课件未必适合我们学生的学情，未必是最全面、最优秀的课件.我们可以借鉴别人的资源，但杜绝照搬照抄.教学是一门艺术，教师需要具有独特新颖的教学方法和理念.比如本节课，首先，教师可以引入两三个不同的生活情境，一方面可以激发学生学习的兴趣;另一方面可以从这些情境中得出问题的共性，为我们后续知识的学习加深印象.其次，教师可以让学生举出一些类似的实例，因为他们熟悉的才是最好的.
2.缺乏利用网络信息的习惯，没有对数学问题进行全方位、多角度思考.本节课开头教师花了一些时间在讲余弦定理的证明，我们不能小看这个证明，更不能忽视证明过程.2011年陕西省高考数学出了一道大题：叙述并证明余弦定理，由此可知教材上定理的证明过程也非常重要.这一定理证明主要是培养学生一种重要的数学思想——转化与化归思想，而我的这节课并没有很好培养学生的这种思想.原因在于备课时教师只看了课本和《五年高考三年模拟》，在讲到余弦定理证明时只用了3种方法——向量法、几何法和解析法，而实际上这个定理的证明在网络上已有十余种方法，其中包括用正弦定理去证. 3.新课程教育原则淡薄，课堂没有真正发挥教师的主导性和学生的主体性，出现填鸭式教学.首先，一些教师有种错误想法，总认为高中数学知识多，而课时量又很少，不得不提快进度，以教师讲授为主，学生参与为辅.在本节课教学过程中这一点就能被看得一清二楚，这种教育模式不适合新课改教育理念，没有把课堂真正还给学生，不能让学生思维得到创新，不能让学生体会到课堂的乐趣，不能展现学生应有的才智.其次，本节课教学内容偏多.
4.高估学生的运算能力，更加高估自己的教学效果.要想做出变式训练（2），学生需要具有较强的根式运算能力，对于高一学生来说，他们各方面的能力还是有限.对于复杂的运算他们还是一头雾水，由此导致本节课利用三边求角教学失效.另外，课后作业布置环节也有很大问题，教师不假思索地认为自己讲过的每个内容学生都能接受且效果很好，其实不然.教师不应该在第一课时后就让学生做这样难度的作业，他们可能会失去学习数学的信心，可谓弄巧成拙.
四、改进建议
1.以教材和考纲为主，以教参和课件为辅，精心备课，让课堂开遍艺术之花.首先，今后教师在准备每一节课时应先拿教材和考纲，独立构思出自己的教学设计，脱离教参，这样方能使课堂具有艺术感和创新感.教师如有需要，可以在教学设计完成以后借鉴别人好的课件或教参，这样就能使自己的课堂更加完整，使自己的教学目标更加明确，重难点把握得更加到位.其次，教师在教学前应更多地考虑让数学与实际生活联系起来，要真正让学生体会到数学的实用价值和无穷魅力，这样的课堂注定其乐融融.
2.充分利用好信息时代下的各种教育资源，提高自己的专业素养.根据数学学科固有的特点，教师应该提倡一题多解的方法，不要让学生总是束缚在自己的教条主义下，更不要让自己在课堂上表现得很无知.所以在今后数学教学中，教师应该多角度、全方位地考虑问题，如果自己没有更多想法，就要充分利用好网络教育资源，不要轻易地下用其余方法行不通的结论，就像这节课一样，用正弦定理同样可以解决，只不过推导过程有些地方难以想到罢了.如果教师在备课时能够将网上10余种证明方法都了如指掌的话，那么我相信这节课就会很成功，更加能培养学生转化与化归思想，整个课堂气氛就会高涨，学生也会更加信任老师.
3.转变课堂教育模式，充分发挥学生的主体性和教师的主导性，课堂容量要分侧重点.新课程的理念要求教师更新观念，更新知识，转变角色，改变课程过于注重知识传授的倾向，让学生学会学习，学会合作，倡导学生主动参与，在教学中尊重学生，凸显学生的主体地位.今后教师应该在数学课堂上设计更多的活动环节，也可以让学生设计自己感兴趣的活动，真正让每一个学生参与其中，乐在其中.此外，教师还需要压缩课堂知识容量，加大思维容量.素质教育背景下需要培养的是创新型人才，而创新主要指的是思维创新，数学课堂正好可以培养学生创新思维.我们还要积极地支持和鼓励学生说说自己的不同想法和做法.
4.教学过程应循序渐进，做到由浅入深、由易到难、由简到繁.一节课有没有效果，成不成功很大程度上取决于教学过程是否遵循教育的循序渐进原则，今后在上课之前，教师应该把资料上所有题目自己先做一遍，做到心中知悉本节内容常考题型，这样可以对我们的教学有很大促进作用，可以使我们懂得这节课应该上到什么深度，另外对我们在课堂上选择例题和练习题也大有裨益.题目由易到难，由简到繁，可以让学生既有基础知识的收获，又有挑战自我的决心.
5.注重课后作业布置，做到层次分明、具有梯度、具有代表性，能较好地凸显本节课的重难点.每一节完整的教学过程总离不开课后作业布置这个环节，而每一节成功的示范课总离不开作业的有效设计.我认为作业的有效设计不能采用旧有模式，不能依照参考资料，这样题目会重复、单一、不具有典型性、更没有层次性.教师在备课时应充分考虑班级所有学习程度不同的学生，为不同类型学生有针对性地布置作业，也可以将一个题目进行由易到难的若干改编，让学习程度由弱到强的学生进行相应练习.教师在布置作业时应该主要侧重基础题，能力题和创新題可以适当加点，不宜过多.
【参考文献】
[1]刘玫.高中数学思想方法的教学案例研究[J].中学数学，2014（08）：55-59.
[2]张喜翔.数学思想方法的渗透[J].课程教育研究，2016（13）：144.
【关键词】余弦定理;数学素养;数学思想;高效课堂
一、课堂实录
1.复习回顾
师：上两节课我们学习了正弦定理，哪位同學能叙述其内容？
生：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，且为定值，该定值为三角形外接圆半径的2倍.
师：很好！上节课我们还讲到正弦定理可以求解两类有关三角形问题，大家还记得吗？
生：已知两角和任意一边、已知两边和其中一边的对角求解三角形.
师：你的回答非常棒！
2.新课导入
师：下面看这样一个问题：某施工队为了开凿一条山地隧道，需测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一个适当位置A，量出A到山脚B，C的距离，分别是 AC=5 km，AB=8 km，再用测角仪测出A对山脚B，C的张角∠BAC=60°，最后计算出山脚的长度BC.（课件展示）如果你是工程技术人员，你会算出BC吗？
学生的回答千差万别，有的说不会，有的说会，有的说可能会吧，有的保持沉默……
师：好，咱们先不急着回答能不能算出来.面对一个实际问题，我们要解决的话，第一步应怎样？哪位学生能说一下？
生：实际问题数学化.
师：你的想法非常好！
师将这个实际问题数学化的图形在白板上画出来，进一步问学生：用正弦定理能算出BC吗？
生：不能，因为在这个图形中只知道一个角，如果用正弦定理算的话还需要知道一个角，所以无法计算.
师：你回答的理由非常充分，请坐！这是一个实际问题，我们还是需要得到最终结果的，那么我们怎么通过三角形的两边及其夹角求第三边呢？这就是本节课我们要学习的内容.
3.课堂探究
探究点1：在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边.
师：我们还是回到刚刚的问题上来，我们既然用正弦定理不能求解，那么能否换种途径解决这个问题呢？
课堂一片安静，学生都在低头思考.
师：这个问题涉及求长度，我们想想之前学过的哪些内容涉及求长度.
生：两点间距离、向量的模等都涉及求长度.
师：回答得很不错！下面老师就为大家展示一种方法——向量法来解决这个问题.师板书求解过程.
向量法：设CB=a，CA=b，AB=c，由向量减法的三角形法则得c=a-b，
∴c2=c·c=（a-b）·（a-b）=a·a b·b-2a·b
=a2 b2-2abcos C=a2 b2-2abcos C，
∴c2=a2 b2-2abcos C.（其中|a|=a，|b|=b，|c|=c.）
师：如果把三角形角按逆时针方向换个标记，我们又可以得到什么新式子？
生：a2=b2 c2-2bccos A.
师：回答得很对！我接着问你，如果把三角形角再按逆时针方向换个标记，又可以得到什么？
生：b2=a2 c2-2accos B.
师：很好，请坐！现在我们已经得到在一个三角形中的3个结论，大家再发挥聪明才智想想还有没有其余方法可以证明这些式子？4个人一组在下面合作交流下，等下我找两个人上来写出你们的想法.
此时教师在下面巡视.同学们讨论得非常激烈，真正有着思想火花的碰撞.过了一会儿，教师找了一男生一女生上台写出他们的不同证明过程.
生：女生利用几何法，过顶点C向AB引垂线，垂足为D，然后在Rt△CBD中利用勾股定理顺利求出BC的表达式，和向量法得出的结果一样.男生在白板上建立了直角坐标系，但最终证明过程压根没用到坐标，其实也是用几何法在证明.
师：我们一起看看这两位同学的证明过程.女生把要求的这条边转化成了直角三角形的斜边，然后利用勾股定理求出斜边，她的证明方法完全正确;男生利用建系做的，看完他的证明，我都找不到坐标的影子啊！（底下一片笑声）
师利用这位男生建好的坐标系，采用了第三种证明方法——坐标法，把该问题转化为求两点间距离，快速得出相同的结果.
师：我们重新把3个式子写在一起.
探究点2：余弦定理.
师：我们再来看看这3个式子，大家能否用文字语言表述它蕴含的意思，哪位自告奋勇来回答？
生：三角形任意一边的平方等于另两边的平方和减去这两边与它夹角余弦值乘积的两倍.
师：回答得很好！老师给出余弦定理的内容，这个定理功能是知道三角形两边及其夹角就可以求第三边.
师：请同学们思考：式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，那么能否由三边求出一角？
生：式子中有4个量，可以.
师：你说能由三边求一角，依据是什么呢？
生：余弦定理含有三边一角四个量，所以已知三边把余弦定理公式变形就可以求角的余弦值，进而可以求角.
师：你把这个问题分析得很透彻，非常好！这就是接下来要讲的余弦定理推论.师板书余弦定理的3个推论.
师：同学们再来思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理指出了一般三角形中三边平方之间的关系，我们如何看这两个定理之间的关系？
学生说了很多，但不够简练，师引导.
生：勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的普遍情况. 师：回答基本正确，我们用一句话概括两定理的关系应该是勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
探究点3：余弦定理及其推论的基本作用.
师：同学们学习了余弦定理及其推论以后，想想它们有什么作用？
生：可以解决两类新的三角形问题，一类是已知两边及其夹角可以求另一边及两角;另一类是已知三边可以求三个角.
师：你已经把本节课的精华都分析出来了，非常棒，请坐.
4.典例解析
例：在△ABC中，已知b=3，c=23，A=30°，求B，C和a.
師让学生先思考解题思路，然后自己板书出详细过程，最后概括这是一类属于已知两边及夹角解三角形的问题.
师：下面看两道变式训练，我找两位同学上来分别做这两个小题，其余同学在底下动笔做.
变式训练：在△ABC中，根据下列条件解三角形.
（1）b=3，c=33，B=30°.（2）a=2，b=22，c=6 2.
师：两位上黑板的同学都写出了一点解题过程，从他们的过程来看，知道列式但不会计算或者计算出错导致最终得不出结果.底下大部分同学也是如此，极少数同学做出了第（1）小题的部分结果，第（2）问没发现有人做对.
师在白板上先从两位同学的解法中找出错误，然后顺着他们的思路把这道题完整做完，对第（1）小题还提供了不同的解法，最后总结下两道小题的不同之处，第（1）小题属于已知两边及一边所对的角解三角形，第（2）小题属于已知三边求解三角形问题.
师：到目前为止，我们已经学习了几种类型的解三角形问题？
生在底下七嘴八舌，然后每组找了一个代表起来回答，他们回答得都不完整.
师：把你们所有人不同的回答放在一起才是正确答案.到目前为止，我们学习了四种类型，分别为：一边和两角、两边和夹角、三边以及两边和其中一边的对角.下面我提出一个问题，遇到这四类中的一类解三角形题目，我们该用什么定理进行求解？
学生在底下思考片刻.
师用课件展示四类情况，用表格列出了已知条件、所用定理、一般解法及解的个数等内容.
师点击PPT，直接跳到课堂总结.
5.课堂总结
师：学习了本节课知识后，你们有什么收获？
生：我学到了余弦定理内容和推论及用余弦定理解另外两类三角形，使我受益匪浅！
师：你已经很好地掌握了本节课的核心知识和应用，你有没有学到什么数学思想呢？
生：数形结合思想、类比思想等.
师：除此以外，还有其余的吗？
生：好像没有了.
师：我们花了很多时间在讲定理证明，这其中就蕴含了转化与化归的数学思想，这个思想也是我们本节课所学到的最重要的思想.
6.课后作业
师：今天的课后作业为：①必做题，《五年高考三年模拟》的61页3题、4题、5题;②拓展题，课件展示.
师：好，这节课就上到这里，下课，同学们再见！
生：老师再见！
二、问题发现
纵观本节课，整个课堂教学过程很完整，教师讲解思路清晰.教师从复习回顾—新课导入—课堂探究—典例解析—课堂总结—课后作业六方面很好地完成了本节课的教学要求，贴近考纲.在本节课的教学过程中，教师利用生活中的实例将实际问题数学化，从而引出本节课主题，这样激发起了学生的学习兴趣，也让学生更加懂得了数学的应用价值.另外，教师利用三种学生熟悉的方法引导学生完成了该定理的证明，真正授人以渔，在这个过程中培养了学生的一种转化与化归的数学思想.但从构建高效课堂机制角度来看，本节课还存在诸多不足.
1.在新课导入环节中所选实例较为单一，并且没有让学生创设一个生活中的相同情境来感受问题的共性，更没有让学生对这个问题分组开展如火如荼的讨论，只是从感观上觉得用正弦定理不能解决.
2.在余弦定理证明过程中，教师从向量角度给出了一种完整的证明方法，接着让学生合作讨论，再用其余方法证明这个结论，但是提示的方法只能是几何法和解析法，这就极大地束缚了学生的思考范围，扼杀了学生的创新思维，不利于培养学生转化与化归思想.
3.本节课准备的内容过多，想当然地满堂灌，这导致利用余弦定理判断三角形形状知识在上课时没有讲.另外课堂主要还是老师在讲，学生参与的活动较少，没有发挥学生的主观能动性.教师找学生上去做题，一道题只找了一个学生上去做，这也是一大遗憾.
4.变式训练（2）这个习题给出得不合理，因为全班没有一个同学在短时间内做出，这真是失效的课堂啊！教师讲完例题和变式训练以后，对这些题目方法进行了归纳总结，美中不足的是整个归纳过程都是老师一个人在讲，速度还很快，这样教师不能及时了解学生对本节课的掌握情况.
5.作业布置环节只有大题，而且必做题都是高考题，思维拓展题比必做题还难，这不利于学生树立学习数学的信心.
三、原因诊断
纵观整个教学过程，我从无效教学角度进行深入诊断分析，出现问题的原因主要有以下几点：
1.课前准备不充分，依赖教参和课件备课.虽然教师在课前把各种课件加以整合和修改，但是别人的课件未必适合我们学生的学情，未必是最全面、最优秀的课件.我们可以借鉴别人的资源，但杜绝照搬照抄.教学是一门艺术，教师需要具有独特新颖的教学方法和理念.比如本节课，首先，教师可以引入两三个不同的生活情境，一方面可以激发学生学习的兴趣;另一方面可以从这些情境中得出问题的共性，为我们后续知识的学习加深印象.其次，教师可以让学生举出一些类似的实例，因为他们熟悉的才是最好的.
2.缺乏利用网络信息的习惯，没有对数学问题进行全方位、多角度思考.本节课开头教师花了一些时间在讲余弦定理的证明，我们不能小看这个证明，更不能忽视证明过程.2011年陕西省高考数学出了一道大题：叙述并证明余弦定理，由此可知教材上定理的证明过程也非常重要.这一定理证明主要是培养学生一种重要的数学思想——转化与化归思想，而我的这节课并没有很好培养学生的这种思想.原因在于备课时教师只看了课本和《五年高考三年模拟》，在讲到余弦定理证明时只用了3种方法——向量法、几何法和解析法，而实际上这个定理的证明在网络上已有十余种方法，其中包括用正弦定理去证. 3.新课程教育原则淡薄，课堂没有真正发挥教师的主导性和学生的主体性，出现填鸭式教学.首先，一些教师有种错误想法，总认为高中数学知识多，而课时量又很少，不得不提快进度，以教师讲授为主，学生参与为辅.在本节课教学过程中这一点就能被看得一清二楚，这种教育模式不适合新课改教育理念，没有把课堂真正还给学生，不能让学生思维得到创新，不能让学生体会到课堂的乐趣，不能展现学生应有的才智.其次，本节课教学内容偏多.
4.高估学生的运算能力，更加高估自己的教学效果.要想做出变式训练（2），学生需要具有较强的根式运算能力，对于高一学生来说，他们各方面的能力还是有限.对于复杂的运算他们还是一头雾水，由此导致本节课利用三边求角教学失效.另外，课后作业布置环节也有很大问题，教师不假思索地认为自己讲过的每个内容学生都能接受且效果很好，其实不然.教师不应该在第一课时后就让学生做这样难度的作业，他们可能会失去学习数学的信心，可谓弄巧成拙.
四、改进建议
1.以教材和考纲为主，以教参和课件为辅，精心备课，让课堂开遍艺术之花.首先，今后教师在准备每一节课时应先拿教材和考纲，独立构思出自己的教学设计，脱离教参，这样方能使课堂具有艺术感和创新感.教师如有需要，可以在教学设计完成以后借鉴别人好的课件或教参，这样就能使自己的课堂更加完整，使自己的教学目标更加明确，重难点把握得更加到位.其次，教师在教学前应更多地考虑让数学与实际生活联系起来，要真正让学生体会到数学的实用价值和无穷魅力，这样的课堂注定其乐融融.
2.充分利用好信息时代下的各种教育资源，提高自己的专业素养.根据数学学科固有的特点，教师应该提倡一题多解的方法，不要让学生总是束缚在自己的教条主义下，更不要让自己在课堂上表现得很无知.所以在今后数学教学中，教师应该多角度、全方位地考虑问题，如果自己没有更多想法，就要充分利用好网络教育资源，不要轻易地下用其余方法行不通的结论，就像这节课一样，用正弦定理同样可以解决，只不过推导过程有些地方难以想到罢了.如果教师在备课时能够将网上10余种证明方法都了如指掌的话，那么我相信这节课就会很成功，更加能培养学生转化与化归思想，整个课堂气氛就会高涨，学生也会更加信任老师.
3.转变课堂教育模式，充分发挥学生的主体性和教师的主导性，课堂容量要分侧重点.新课程的理念要求教师更新观念，更新知识，转变角色，改变课程过于注重知识传授的倾向，让学生学会学习，学会合作，倡导学生主动参与，在教学中尊重学生，凸显学生的主体地位.今后教师应该在数学课堂上设计更多的活动环节，也可以让学生设计自己感兴趣的活动，真正让每一个学生参与其中，乐在其中.此外，教师还需要压缩课堂知识容量，加大思维容量.素质教育背景下需要培养的是创新型人才，而创新主要指的是思维创新，数学课堂正好可以培养学生创新思维.我们还要积极地支持和鼓励学生说说自己的不同想法和做法.
4.教学过程应循序渐进，做到由浅入深、由易到难、由简到繁.一节课有没有效果，成不成功很大程度上取决于教学过程是否遵循教育的循序渐进原则，今后在上课之前，教师应该把资料上所有题目自己先做一遍，做到心中知悉本节内容常考题型，这样可以对我们的教学有很大促进作用，可以使我们懂得这节课应该上到什么深度，另外对我们在课堂上选择例题和练习题也大有裨益.题目由易到难，由简到繁，可以让学生既有基础知识的收获，又有挑战自我的决心.
5.注重课后作业布置，做到层次分明、具有梯度、具有代表性，能较好地凸显本节课的重难点.每一节完整的教学过程总离不开课后作业布置这个环节，而每一节成功的示范课总离不开作业的有效设计.我认为作业的有效设计不能采用旧有模式，不能依照参考资料，这样题目会重复、单一、不具有典型性、更没有层次性.教师在备课时应充分考虑班级所有学习程度不同的学生，为不同类型学生有针对性地布置作业，也可以将一个题目进行由易到难的若干改编，让学习程度由弱到强的学生进行相应练习.教师在布置作业时应该主要侧重基础题，能力题和创新題可以适当加点，不宜过多.
【参考文献】
[1]刘玫.高中数学思想方法的教学案例研究[J].中学数学，2014（08）：55-59.
[2]张喜翔.数学思想方法的渗透[J].课程教育研究，2016（13）：144.