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摘 要：度量是对度量对象指定一个合适的数，角的度量满足正则性，即存在度量单位并规定度量单位为“1”。因此，《角的度量》的教学，应让学生经历量角器的形成过程，从“器”的朦胧闪现，到“器”的自主选用，到“器”的本质显现，再到“器”的灵活运用，逐步挖掘角的度量的本质。
关键词：量角器 角的度量 本质 视野
古人总是用工具借代测量范围与测量方法，如《汉书·律历志》中提及：“度者，分、寸、尺、丈、引也；量者，龠、合、升、斗、斛也。”这里，“度”指计量长短，“量”指计量容积，“度”与“量”本意的基本构成是并列式的。而“度”也是依照计算一定标准划分的单位，如溫度、湿度、经度、纬度、浓度、角度；“量”则引申为测量，今天所说的角的度量，是按一定的标准对角进行测量。数学工具总是依据数学原理与数学符号发明而成，因此，《角的度量》的教学，应让学生经历量角器的形成过程，逐步挖掘角的度量的本质。
一、“器”的朦胧闪现，预知度量的模象
度量的模象是指对度量大体的形容与描述，具有一定的自发性。从“器”到“量”，需要多次孕伏。
人教版小学数学二年级上册《角的初步认识》一课，教材引导学生通过实践操作感悟角的大小（如图1）。当两角相差比较大时，可以把小角整体放入大角内；当两角用肉眼较难判断时，可以把两角的一条边重合，另一条边若露在外面，那么这个角就大，另一条若被覆于里面，这个角就小。这些感悟需要在课堂中多次咀嚼，才能让学生理解与回味。其实，这种比角大小的方式就是对于度量的一种最初模象，也是引入度量的必要所在。在此基础上，教材引导学生借助直角，采用让一边重合，然后比另一边的方式去认识锐角与钝角（如图2）。在比角的大小的过程中，朦胧闪现工具发明的原理，让学生渐渐感悟到度量就是要将比大小的定性描述上升为“多了多少”的差异量化。
在认识了直角、锐角、钝角的特征的基础上，教材加强了转角、拼角等实践活动（如图3），引导学生进一步认识三角形的角及作用。在这样的“转”“拼”活动中，学生不断丰富着度量的模象，同时也在积累比角的大小的经验。
小学阶段对于角的描述有两种方式：一是静止描述，即从一点引出两条射线所组成的图形；二是运动描述，即角可以看作由一条射线绕着它的端点，旋转到另一个位置所成的图形。静止描述，是先于度量而教；运动描述，则是后于度量而教，是根据角度变化进行角的分类。但它们都是立足于一个“点”和两条“射线”而描述，而“点”“边”重合正是度量所要占领的“高地”。
二、“器”的自主选用，经历度量的挣扎
对模象的感知是研究的前提。教材创设了比较两个大小相差很大的角，通过设问“大多少”引发学生用三角尺上的角来量一量、比一比（如图4）。有了低年级拼角、比角的经验后，学生能够用把小角放入大角或用顶点重合、边重合来比大小，这些都只是定性比较。教材再次回旋提问：“角2比角1大多少？”引出角的度量。这时，不少教师可能会借助电脑把比较角度的大小作为情境引入，笔者认为
这样会有两个不利：一是角度相差太大，学生用肉眼就可以直接判断大小，不利于 “尺”为标准的引出，对于“比多少”内驱力不够。二是尺和量角器沟壑分明，层次过于单一，单线设计不利于捕捉知识起点，限制了学生对多种标准的尝试与对比。
那么，可否让学生自主选用研究方法呢？为此，笔者设法制造了一些“挣扎”，让学生“真正流汗”——
师 同学们，屏幕上有两个角，（出示图5）比比看，哪个角大？
（学生回答略。）
师 很不错，直接目测就能判断。
师 继续比较，（出示图6）这两个角呢？
生 ∠1大。
生 ∠2大。
生 ∠1和∠2一样大。
师 看来大家的意见不太统一，怎么办呢？
生 我们用工具来比比。
师 真好！老师给你们几种工具。（课件一件一件出示图7中的工具）活动角、三角尺，这是——（生答：量角器）原来大家都认识。
师 这些工具就在发给你们的学具袋里，请你选择其中的一种，比一比哪个角大，大多少？
把活动角、三角尺、量角器同时呈现，因为没有任何暗示，学生就会“挣扎”：选哪种好呢？他们会根据自身的水平自主选择合适的工具。更重要的是，面对老师提供的用量角器量角的机会，他们又会“挣扎”：量角器没学过，怎么使用呢？要不试试看？活动角与三角尺都是原有知识，也会用“点重合”与“边重合”去比较，学生可能会借助这种感觉，去找量角器上的“点”和“边”试着量角。所以，在学生选择一种工具量角后，笔者引导学生再试试第二种工具，初步感知工具之间的互通性。
（交流方案一：用活动角比。）
生 我先把活动角放到∠1上，使它和∠1一样大，然后把它和∠2的顶点与一条边重合，发现∠2的另一条边在活动角的外面（如图8），所以∠2比∠1大。
师 你是先把点与点重合，边与边重合，发现∠2的另一条边在外面，（在这条边上描红线）所以你的结论是∠2比∠1大。用二年级学过的比角的方法，（边说边比画）只能知道∠2比∠1大这么多。
（交流方案二：用三角尺的60°角比。）
生 我先把大锐角放在∠1这里，发现∠1和大锐角一样大（如图9）。再把大锐角放在∠2这里，发现∠2比大锐角大（如图10）。所以∠2比∠1大。
师 大家看，他借助了三角尺的大锐角，把它作为标准去比。比的时候也做到了顶点与顶点重合，一条边与一条边重合。再看另一条边，（描红线）谁的在外面？也说明∠2大。能知道大多少吗？只能知道大了这么多。这也是我们以前学过的方法！
（交流方案三：用三角尺的30°角比。）
生 我用三角尺上的小锐角去比，发现∠1有两个小锐角那么大（如图11），而∠2比两个小锐角还要大（如图12），所以∠2比∠1大。 师 一起看，他是以三角尺上的小锐角为标准拼了两次。第一次顶点和谁重合？边又和谁重合？（描红线）∠2的这条边又露出来了，所以∠2比∠1大。发现大了多少——（边说边比画）大这么多。
（交流方案四：用量角器比。）
师 再来看这位同学怎么比的？（学生介绍∠1的量法，如图13）谁听明白了？他先怎么做？
生 先把量角器中心的这个点与角的顶点重合。
师 他再怎么做？
生 再把量角器的这条边与角的一条边重合。
师 最后又怎么做？
生 读出度数。
师 他是怎么读出度数的？
生 从0开始读或从右边开始读。
师 原来是从与边重合的0开始读起的。谁再来说一说？
师 这位同学量的时候，先把点与点重合，再把边与边重合，最后从与边重合的0读起，得到了60°。∠2谁来量一量？
（学生量∠2，如图14。）
师 他也做到点重合、边重合。最后读出来是多少？为什么不是110°呢？看来读数前要分清楚与哪条边重合就从哪一边的0读起。
师 这几位同学借助量角器也判断出了∠2大，并且还知道大了——10°。
上述四种方案都是学生的原始理解，尽管认知层次不同，但教师的引导紧紧抓住“顶点与谁重合”“一条边与谁重合”而展开。用活动角与三角尺去比较最为简易，而三角尺的两种方案中，用60°角去比的难度与活动角相似，用30°角去比是单位累加的初次体验，这与量角器中度数的累加方式完全一致，只是量化标准不同。最后，笔者通过课件动态再次显示这四种方案，让学生四人小组讨论：“仔细观察，这些方法有什么共同的特点？”引导学生认识到：量角器量角与原有方法一样，也应做到“点重合、边重合”。如此一来，学生就要在量角器上找“点”在哪里，“边”哪里。受量角器信息过多的干扰，学生找“边”容易，找“点”难，而且会误认为圆弧与零刻度线的交点就是中心点，教师应引导他们在争辩中达成统一。
三、“器”的本质显现，刻划度量的统一
学生体会到量角器不仅能比出角的大小，还能读出度数，也初步意识到与哪条边重合就从哪边的0读起的读数难点——这正是在寻找量角器发明的数学本质。
（一）“器”“质”合体
量角器遵循“两重合”的知识连接方式，无非又给了度量对象一个合适的数，学生意识到用以前的标准只能说明“多了一些”，而今读数的标准如何而来？也就是如何让“器”“质”合体？
借助笔者制作的微视频，学生观察到：如图15，将一个圆平均分成360份，每1份所对的角的大小就是1°。这就是度量的正则性，即指存在度量单位并规定度量单位为“1”，度量角大小的单位仍是角，1°角即为度量单位。接下来，和三角尺拼角的意识一样，累加成2°、5°、10°……累加的目的，不仅仅是认识更多度数，而是引发讨论：不管几度的角，它们都有什么共同的特点？学生需要想到：这些角的顶点都重合在一个点上，而这个点也会演变为量角器的中心点，也就是角的顶点，这为角的顶点与中心点重合找到依据。
360°的量角器整体上阐明了“数”的来历，要转换成180°的量角器（如图16），可借助微课，引导学生在找到中心点的基础上，重点研究内外圈的刻度。量角器上有两圈数字，每圈都是180°，两圈正好是360°（由此感知现行量角器使用的便捷）；内圈的0所在的线叫内圈0刻度线，从它开始的刻度叫作内圈刻度；外圈的0 所在的线叫外圈0刻度线，从它开始的刻度叫作外圈刻度。这为选择哪组数据读数扫清了障碍。
（二）“器”“量”合一
量角器的学习不能只停留于名称认识与单纯技能训练，只有明晰工具的数学本质，工具的使用才会富有生命。引导学生体会量角器量角过程与发明原理的一致性，就可以把“器”“量”贯通——
师 我们已经认识量角器，如果我们要再来量量∠1，先怎么做？
生 量角器的中心点与角的顶点重合。
师 真好，先要点重合。再怎么做？
生 内圈0刻度线与角的一条边重合，就是“边重合”。
师 最后怎么读数？
生 因为一条边与内圈0刻度线重合，那么就要从内圈0刻度线读起，角的另一条边所对的刻度，就是角的度数。
师 点重合，边重合，读刻度。
师 按这样的方法，你会量∠2吗？谁来说。
当学生能初步用量角器量角后，教师适时进行比较与总结：度量∠1、∠2有什么相同的地方？学生再次梳理方法：先把量角器的中心点与角的顶点重合，再把0刻度线与角的一条重合，最后看角的另一条边所对的刻度，就是这个角的度数。
教师逐条出示量角方法，再次体会量角的每一步都与量角器的发明高度合一。
四、“器”的灵活运用，扩展度量的视野
尽管心中已明确“点重合、边重合、读刻度”的三步，但对于水平放置并且朝右张开的角量角最为擅长，对于张开朝左的角或任意放置的角，读数与量角器的摆放都会有困难。事实上，对于量角器的灵活运用，也是对其本质的再次认识。
学会用量角器量不同的角，也是本课的重点。具体做法是：让学生在练习中边量边说，在变化中增强灵活运用的经验。比如图17所示的练习，第二题朝左开口，第三题的任意放置，只有明确“点重合、边重合、读刻度”三步，才能“以不变应万变”；第二题还由于一条边比较短，需要穿过刻度才能使度量更精确。教师可采用“回旋”的提问方式，帮助学生突破读数的难点。
当然，还可以让学生“玩一玩”“猜一猜”的小游戏，巩固读数方法：先出示图18，让学生猜盖着的角的度数；然后出示其中一种答案（如图19），没猜对的学生纷纷要求再猜。还可以让学生去测量生活中各种角并延伸到优角的度数，并追问：量角器上的角度不够用了，
怎么办？通过讨论，让学生明白先量出小角的度数，再用360°去减。如此，学生会感受到，虽然量角器上的最大刻度是180°，但是也能帮助我们度量比180°更大的角，再次知曉量角器只要做成半圆的原因。
从整个知识体系来讲，角的度量与线、面、体的度量如出一辙，通常都以0为起点，通过度量单位的累加读出“数”。角的度量满足正则性，但如以面积为例，则满足有限可加性，即作为度量单位的小正方形密铺的结果即为图形的面积；如以体积为例，则满足运动不变性，即只要个数不变，体积单位的移动不会引起体积的变化，图形形状的变化也不会引起体积的变化。可见，学生只有真正挖掘到度量的本质，才会实现视野的扩展。
关键词：量角器 角的度量 本质 视野
古人总是用工具借代测量范围与测量方法，如《汉书·律历志》中提及：“度者，分、寸、尺、丈、引也；量者，龠、合、升、斗、斛也。”这里，“度”指计量长短，“量”指计量容积，“度”与“量”本意的基本构成是并列式的。而“度”也是依照计算一定标准划分的单位，如溫度、湿度、经度、纬度、浓度、角度；“量”则引申为测量，今天所说的角的度量，是按一定的标准对角进行测量。数学工具总是依据数学原理与数学符号发明而成，因此，《角的度量》的教学，应让学生经历量角器的形成过程，逐步挖掘角的度量的本质。
一、“器”的朦胧闪现，预知度量的模象
度量的模象是指对度量大体的形容与描述，具有一定的自发性。从“器”到“量”，需要多次孕伏。
人教版小学数学二年级上册《角的初步认识》一课，教材引导学生通过实践操作感悟角的大小（如图1）。当两角相差比较大时，可以把小角整体放入大角内；当两角用肉眼较难判断时，可以把两角的一条边重合，另一条边若露在外面，那么这个角就大，另一条若被覆于里面，这个角就小。这些感悟需要在课堂中多次咀嚼，才能让学生理解与回味。其实，这种比角大小的方式就是对于度量的一种最初模象，也是引入度量的必要所在。在此基础上，教材引导学生借助直角，采用让一边重合，然后比另一边的方式去认识锐角与钝角（如图2）。在比角的大小的过程中，朦胧闪现工具发明的原理，让学生渐渐感悟到度量就是要将比大小的定性描述上升为“多了多少”的差异量化。
在认识了直角、锐角、钝角的特征的基础上，教材加强了转角、拼角等实践活动（如图3），引导学生进一步认识三角形的角及作用。在这样的“转”“拼”活动中，学生不断丰富着度量的模象，同时也在积累比角的大小的经验。
小学阶段对于角的描述有两种方式：一是静止描述，即从一点引出两条射线所组成的图形；二是运动描述，即角可以看作由一条射线绕着它的端点，旋转到另一个位置所成的图形。静止描述，是先于度量而教；运动描述，则是后于度量而教，是根据角度变化进行角的分类。但它们都是立足于一个“点”和两条“射线”而描述，而“点”“边”重合正是度量所要占领的“高地”。
二、“器”的自主选用，经历度量的挣扎
对模象的感知是研究的前提。教材创设了比较两个大小相差很大的角，通过设问“大多少”引发学生用三角尺上的角来量一量、比一比（如图4）。有了低年级拼角、比角的经验后，学生能够用把小角放入大角或用顶点重合、边重合来比大小，这些都只是定性比较。教材再次回旋提问：“角2比角1大多少？”引出角的度量。这时，不少教师可能会借助电脑把比较角度的大小作为情境引入，笔者认为
这样会有两个不利：一是角度相差太大，学生用肉眼就可以直接判断大小，不利于 “尺”为标准的引出，对于“比多少”内驱力不够。二是尺和量角器沟壑分明，层次过于单一，单线设计不利于捕捉知识起点，限制了学生对多种标准的尝试与对比。
那么，可否让学生自主选用研究方法呢？为此，笔者设法制造了一些“挣扎”，让学生“真正流汗”——
师 同学们，屏幕上有两个角，（出示图5）比比看，哪个角大？
（学生回答略。）
师 很不错，直接目测就能判断。
师 继续比较，（出示图6）这两个角呢？
生 ∠1大。
生 ∠2大。
生 ∠1和∠2一样大。
师 看来大家的意见不太统一，怎么办呢？
生 我们用工具来比比。
师 真好！老师给你们几种工具。（课件一件一件出示图7中的工具）活动角、三角尺，这是——（生答：量角器）原来大家都认识。
师 这些工具就在发给你们的学具袋里，请你选择其中的一种，比一比哪个角大，大多少？
把活动角、三角尺、量角器同时呈现，因为没有任何暗示，学生就会“挣扎”：选哪种好呢？他们会根据自身的水平自主选择合适的工具。更重要的是，面对老师提供的用量角器量角的机会，他们又会“挣扎”：量角器没学过，怎么使用呢？要不试试看？活动角与三角尺都是原有知识，也会用“点重合”与“边重合”去比较，学生可能会借助这种感觉，去找量角器上的“点”和“边”试着量角。所以，在学生选择一种工具量角后，笔者引导学生再试试第二种工具，初步感知工具之间的互通性。
（交流方案一：用活动角比。）
生 我先把活动角放到∠1上，使它和∠1一样大，然后把它和∠2的顶点与一条边重合，发现∠2的另一条边在活动角的外面（如图8），所以∠2比∠1大。
师 你是先把点与点重合，边与边重合，发现∠2的另一条边在外面，（在这条边上描红线）所以你的结论是∠2比∠1大。用二年级学过的比角的方法，（边说边比画）只能知道∠2比∠1大这么多。
（交流方案二：用三角尺的60°角比。）
生 我先把大锐角放在∠1这里，发现∠1和大锐角一样大（如图9）。再把大锐角放在∠2这里，发现∠2比大锐角大（如图10）。所以∠2比∠1大。
师 大家看，他借助了三角尺的大锐角，把它作为标准去比。比的时候也做到了顶点与顶点重合，一条边与一条边重合。再看另一条边，（描红线）谁的在外面？也说明∠2大。能知道大多少吗？只能知道大了这么多。这也是我们以前学过的方法！
（交流方案三：用三角尺的30°角比。）
生 我用三角尺上的小锐角去比，发现∠1有两个小锐角那么大（如图11），而∠2比两个小锐角还要大（如图12），所以∠2比∠1大。 师 一起看，他是以三角尺上的小锐角为标准拼了两次。第一次顶点和谁重合？边又和谁重合？（描红线）∠2的这条边又露出来了，所以∠2比∠1大。发现大了多少——（边说边比画）大这么多。
（交流方案四：用量角器比。）
师 再来看这位同学怎么比的？（学生介绍∠1的量法，如图13）谁听明白了？他先怎么做？
生 先把量角器中心的这个点与角的顶点重合。
师 他再怎么做？
生 再把量角器的这条边与角的一条边重合。
师 最后又怎么做？
生 读出度数。
师 他是怎么读出度数的？
生 从0开始读或从右边开始读。
师 原来是从与边重合的0开始读起的。谁再来说一说？
师 这位同学量的时候，先把点与点重合，再把边与边重合，最后从与边重合的0读起，得到了60°。∠2谁来量一量？
（学生量∠2，如图14。）
师 他也做到点重合、边重合。最后读出来是多少？为什么不是110°呢？看来读数前要分清楚与哪条边重合就从哪一边的0读起。
师 这几位同学借助量角器也判断出了∠2大，并且还知道大了——10°。
上述四种方案都是学生的原始理解，尽管认知层次不同，但教师的引导紧紧抓住“顶点与谁重合”“一条边与谁重合”而展开。用活动角与三角尺去比较最为简易，而三角尺的两种方案中，用60°角去比的难度与活动角相似，用30°角去比是单位累加的初次体验，这与量角器中度数的累加方式完全一致，只是量化标准不同。最后，笔者通过课件动态再次显示这四种方案，让学生四人小组讨论：“仔细观察，这些方法有什么共同的特点？”引导学生认识到：量角器量角与原有方法一样，也应做到“点重合、边重合”。如此一来，学生就要在量角器上找“点”在哪里，“边”哪里。受量角器信息过多的干扰，学生找“边”容易，找“点”难，而且会误认为圆弧与零刻度线的交点就是中心点，教师应引导他们在争辩中达成统一。
三、“器”的本质显现，刻划度量的统一
学生体会到量角器不仅能比出角的大小，还能读出度数，也初步意识到与哪条边重合就从哪边的0读起的读数难点——这正是在寻找量角器发明的数学本质。
（一）“器”“质”合体
量角器遵循“两重合”的知识连接方式，无非又给了度量对象一个合适的数，学生意识到用以前的标准只能说明“多了一些”，而今读数的标准如何而来？也就是如何让“器”“质”合体？
借助笔者制作的微视频，学生观察到：如图15，将一个圆平均分成360份，每1份所对的角的大小就是1°。这就是度量的正则性，即指存在度量单位并规定度量单位为“1”，度量角大小的单位仍是角，1°角即为度量单位。接下来，和三角尺拼角的意识一样，累加成2°、5°、10°……累加的目的，不仅仅是认识更多度数，而是引发讨论：不管几度的角，它们都有什么共同的特点？学生需要想到：这些角的顶点都重合在一个点上，而这个点也会演变为量角器的中心点，也就是角的顶点，这为角的顶点与中心点重合找到依据。
360°的量角器整体上阐明了“数”的来历，要转换成180°的量角器（如图16），可借助微课，引导学生在找到中心点的基础上，重点研究内外圈的刻度。量角器上有两圈数字，每圈都是180°，两圈正好是360°（由此感知现行量角器使用的便捷）；内圈的0所在的线叫内圈0刻度线，从它开始的刻度叫作内圈刻度；外圈的0 所在的线叫外圈0刻度线，从它开始的刻度叫作外圈刻度。这为选择哪组数据读数扫清了障碍。
（二）“器”“量”合一
量角器的学习不能只停留于名称认识与单纯技能训练，只有明晰工具的数学本质，工具的使用才会富有生命。引导学生体会量角器量角过程与发明原理的一致性，就可以把“器”“量”贯通——
师 我们已经认识量角器，如果我们要再来量量∠1，先怎么做？
生 量角器的中心点与角的顶点重合。
师 真好，先要点重合。再怎么做？
生 内圈0刻度线与角的一条边重合，就是“边重合”。
师 最后怎么读数？
生 因为一条边与内圈0刻度线重合，那么就要从内圈0刻度线读起，角的另一条边所对的刻度，就是角的度数。
师 点重合，边重合，读刻度。
师 按这样的方法，你会量∠2吗？谁来说。
当学生能初步用量角器量角后，教师适时进行比较与总结：度量∠1、∠2有什么相同的地方？学生再次梳理方法：先把量角器的中心点与角的顶点重合，再把0刻度线与角的一条重合，最后看角的另一条边所对的刻度，就是这个角的度数。
教师逐条出示量角方法，再次体会量角的每一步都与量角器的发明高度合一。
四、“器”的灵活运用，扩展度量的视野
尽管心中已明确“点重合、边重合、读刻度”的三步，但对于水平放置并且朝右张开的角量角最为擅长，对于张开朝左的角或任意放置的角，读数与量角器的摆放都会有困难。事实上，对于量角器的灵活运用，也是对其本质的再次认识。
学会用量角器量不同的角，也是本课的重点。具体做法是：让学生在练习中边量边说，在变化中增强灵活运用的经验。比如图17所示的练习，第二题朝左开口，第三题的任意放置，只有明确“点重合、边重合、读刻度”三步，才能“以不变应万变”；第二题还由于一条边比较短，需要穿过刻度才能使度量更精确。教师可采用“回旋”的提问方式，帮助学生突破读数的难点。
当然，还可以让学生“玩一玩”“猜一猜”的小游戏，巩固读数方法：先出示图18，让学生猜盖着的角的度数；然后出示其中一种答案（如图19），没猜对的学生纷纷要求再猜。还可以让学生去测量生活中各种角并延伸到优角的度数，并追问：量角器上的角度不够用了，
怎么办？通过讨论，让学生明白先量出小角的度数，再用360°去减。如此，学生会感受到，虽然量角器上的最大刻度是180°，但是也能帮助我们度量比180°更大的角，再次知曉量角器只要做成半圆的原因。
从整个知识体系来讲，角的度量与线、面、体的度量如出一辙，通常都以0为起点，通过度量单位的累加读出“数”。角的度量满足正则性，但如以面积为例，则满足有限可加性，即作为度量单位的小正方形密铺的结果即为图形的面积；如以体积为例，则满足运动不变性，即只要个数不变，体积单位的移动不会引起体积的变化，图形形状的变化也不会引起体积的变化。可见，学生只有真正挖掘到度量的本质，才会实现视野的扩展。