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摘 要:《多边形的内角和》是苏教版小学数学四年级下册安排的一个“探索规律”专题,旨在探索并发现多边形的内角和与它的边数之间的关系,得出计算多边形内角和的方法,并初步用数学模型“计算多边形内角和的式子”来表示。教学时,通过微调教材,引发学生思维的涟漪;通过表格引路,让规律呼之欲出;通过回顾反思,让经验得以提升。
关键词:“探索规律”专题 多边形的内角和 数学模型
《多边形的内角和》是苏教版小学数学四年级下册安排的一个“探索规律”专题。它是在已经认识了三角形、平行四边形和梯形,知道三角形的内角和是180°等的基础上,通过观察、操作等具体的活动,探索并发现多边形的内角和与它的边数之间的关系,得出计算多边形内角和的方法,并初步用数学模型“计算多边形内角和的式子”来表示。作为“探索规律”,本课中学生数学思考的力度也就体现在这个模型的建构上。
一、微调教材,让思维涟漪不断
对多边形的内角和的探索,教材是从四边形开始的,给出的四边形是一个直角梯形,主张“先量出每个角的度数,再求和”。这是很多学生都会想到的方法。这个梯形有两个角是直角,另外两个角分别是40°和140°,这些角的度数容易量出,一般不会有误差,能够得出内角和是360°。然而,实际教学中我们发现,这样的编排虽容易验证猜想“四边形的内角和是360°”,但不利于后续验证策略的出现——在准确量出了四边形的内角和是360°后,很多学生便觉得万事大吉了。为此,我们对教材做了些许改变,将直角梯形的另两个角40°和140°微调为不是整十度数的角。这样的改变,引发了学生思维的涟漪。
师 猜想一下,(板书:猜想)四边形的内角和可能是多少度?
生 360°。
(板书:360°?)
师 你为什么会猜是360°的呢?
生 因为长方形和正方形的内角和都是360°,所以我猜四边形的内角和可能是360°。
师 同意吗?
生 (齐)同意。
师 这样的猜想看上去是合理的,不过,既然是猜想,那我们接下来要做的事情就是——验证。(板书:验证)老师为每个同学都准备了一个相同的一般四边形,请大家把它拿出来。为了便于研究,我们给四边形的四个角分别标上∠1、∠2、∠3、∠4。
(学生给四边形四个角分别标上序号,如图1。)
师 接下去想办法验证,看看它的内角和是不是360°。
(学生独立操作、验证,教师巡视,然后全班交流。)
师 谁愿意到前面来把自己验证的过程和结果与大家分享一下?
生 我是通过测量和计算,发现这个四边形的内角和是360°。
师 请你具体介绍一下测量和计算的过程。
生 我先量出∠3是42°,∠4是138°,∠1和∠2都是直角,是90°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°+42°+138°=360°,因此,驗证了这个四边形的内角和是360°。
师 还有哪些同学也是运用测量方法的?得到的结果和他一样吗?
生 我量出∠3是43°,∠4是139°,∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°+43°+139°=362°。
生 我跟他们的结果有点不一样,我量出∠3是41°,∠4是138°,∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°+41°+138°=359°。
师 出现了不同的结果,原因可能是什么呢?
生 (小声地)在证明三角形内角和时也出现过,叫“误差”。
生 测量结果出现误差是正常的。不过照这样,这个四边形的内角和到底是不是360°,那还不一定呢?
师 他对量的方法提出了质疑,还有用其他方法验证的吗?
生 我是用先撕再拼的方法,∠3和∠4拼在一起得到一个平角是180°,(展示,如图2)再加上∠1和∠2,得到这个四边形的内角和是360°。
生 先撕再拼这个方法也不能让人放心,因为撕拼的过程中难免有些小的重叠或缝隙,也不能保证结果一定就是360°。
师 真爱思辨,很好!还有更加可靠的方法吗?
生 我是折的,将四边形沿对角对折,(展示,如图3)分成了两个三角形,这两个三角形的内角和就是四边形的内角和。
师 (将折痕画上虚线)他是“折分”的,这个方法有点儿意思。大家听明白他的意思了吗?但我有一个疑问,这两个三角形的内角和相加为什么就等于四边形的内角和呢?能给大家解释解释吗?
生 ∠1、∠5、∠8是这个三角形的三个内角,∠1+∠5+∠8=180°;∠3、∠6、∠7是第二个三角形的三个内角,∠3+∠6+∠7=180°。这里,∠5+∠6就是四边形的∠2,∠7+∠8就是四边形的∠4,这两个三角形的内角和就是四边形的内角和,所以这个四边形的内角和是360°。
师 非常严密的推理。(掌声)为了让大家看得更清楚一些,老师用课件再来演示一下刚才这个同学的思考过程。(课件演示将四边形分成两个三角形的过程,突出:分成的两个三角形内角的和就是原来四边形的内角和)把求四边形的内角和的问题转化成求两个三角形的内角和的问题来解决,(板书:转化)这种分的方法,既新颖又可靠。把掌声再次送给他!
师 刚才我们把这个四边形分成两个三角形,还有不同的分法吗?
生 我把这个四边形分成了一个长方形和一个三角形。(展示,如图4)长方形的内角和是360°,三角形的内角和是180°,360°+180°-180°=360°。
师 你为什么要减180°呢?
生 因为把这个四边形分成一个长方形和一个三角形,(指着虚线边上的两个直角)多出了这两个直角。
师 如果把长方形的内角和与三角形的内角和加起来,还是不是原来四边形的内角和呢? 生 不是,比原来多出了两个直角。
师 比一比,两种分法,哪种分法好呢?为什么?
生 第一种分法好,它没有多出内角。
师 是啊,“分一分”是个好方法,但怎样分很重要,我们要尽可能使分出来的图形的内角和正好等于原来四边形的内角和,否则,计算时就会多出一些麻烦。现在你能确定这个四边形的内角和是多少度了吗?
生 360°。
师 如果让你继续研究其他四边形的内角和,你会选择哪种方法呢?
……
对教材的些许改变,使得学生测量时有了误差,得出四边形的内角和在360°上下。因为有探索三角形内角和的经验,学生几乎都感悟到这是“误差”使然,但还是有些存疑:“测量结果出现误差是正常的,不过照这样,这个四边形的内角和到底是不是360°,那还不一定呢?”这样的疑问,很自然地引出其他探索策略,并进一步激发起探究的欲望。折分策略的最佳思路是把四边形分成两个三角形,使求四边形的内角和的问题转化成求两个三角形内角和的问题。这是复杂问题向简单问题的转化,是未知问题向已知问题的转化,是解决多边形内角和的一种策略。这种策略,不仅能算出四边形的内角和,还能算出更多边形的内角和。独立想到这个方法的学生不是很多,鉴于这种策略的重要与便捷,教学过程“慢”下来,当学生简要交流方法后,教师及时点赞“这个方法有点儿意思”,接下来话锋一转:“但我有一个疑问,这两个三角形的内角和相加为什么就等于四边形的内角和呢,能给大家解释解释吗?”以此引导学生理解四边形的内角和就是分成的两个三角形的内角和,看到每个三角形都有一个角是四边形的角,还有两个角分别与另一个三角形的两个角拼成四边形的角。这是一个分析、推理、表达、交流的过程。然后,教师通过投影,重演“分一分”的过程,引导学生进一步明晰四边形的内角和与分成的两个三角形的内角和的关系,体会转化策略的精要。
二、表格引路,让规律呼之欲出
师 四边形的内角和我们知道了。接下来,你能试着用“分一分”的方法继续研究五边形、六边形的内角和吗?请将探索的结果填在表格内。
(出示表1,學生各自操作、思考,教师巡视,然后组织交流。)
生 (展示,如图5)把五边形分成3个三角形,每个三角形的内角和是180°,3×180°=540°,所以五边形的内角和是540°。
师 (板书:3,3×180°)3个三角形的内角和正好等于五边形的内角和吗?会不会有多余的角?
生 3个三角形的内角和正好等于五边形的内角和,没有出现多余的角。
师 除了上面这样的分法,有没有不一样的分法呢?
生 我是这样分的。(展示,如图6)也分成了3个三角形,3个三角形的内角和正好等于五边形的内角和。
师 这些不同分法有什么共同之处?
生 都是从一个点出发,都是把五边形的内角和转化3个我们熟悉的三角形的内角和,都没出现多余的角。
师 六边形的内角和又是怎样求的呢?
生 将六边形分成4个三角形,(展示,如图7)这4个三角形的内角和正好等于六边形的内角和,所以六边形的内角和一定是4×180°=720°。
师 (板书:4,4×180°)想象一下,如果是一个七边形,像刚才这样,一共可以分成多少个三角形?它的内角和是多少度呢?
生 如果是一个七边形,一共可以分成5个三角形,它的内角和是5×180°=900°。
师 (板书:7,5,5×180°)八边形可以分成几个三角形?内角和又是多少度呢?
生 八边形可以分成6个三角形?内角和是6×180°=1 080°。
师 (板书:8,6,6×180°)结果究竟是不是这样?我们一起来看一下。(投影演示将七边形分成5个三角形,八边形分成6个三角形的过程)刚才同学们在回答七边形、八边形的内角和时,都没有动手画一画、分一分,就知道可以分成几个三角形,也知道它们的内角和是几个180°,你们是不是发现了什么规律?
生 多边形的边数越多,分成的三角形的个数越多,内角的度数就越大。
生 我发现五边形的内角和是3个180°,比四边形的内角和多180°;六边形的内角和是4个180°,比五边形的内角和多180°。接下去,七边形比六边形又多180°,八边形比七边形还是多180°。
师 现在你能求出十二边形的内角和吗?
生 10×180°=1800°。
师 这里的“10”表示什么意义?
生 这里的“10”表示10个三角形。
师 如果要求一个二十边形的内角和,你又会怎样去做?
生 18×180°。
生 (情不自禁地)我知道了,求多边形的内角和,用“(边数-2)×180°”。
师 想一想,这里的(边数-2)表示什么意思?为什么减2?
……
运用转化策略,学生虽然能算出多边形的内角和是多少度,但总结求多边形内角和的规律还是有困难的,为此,教材中设计了一个“脚手架”——一张表格,分别把四边形、五边形、六边形、七边形、八边形……的“边数”“分成三角形的个数”“内角和”等数据填进去。表格内的数据有序地排列着,能清楚地看到图形的边数越多,分成的三角形的个数越多,内角的度数就越大,还能看到多边形分成的三角形的个数总比它的边数少2,这时,规律呼之即出,模型建构水到渠成。
三、回顾反思,让经验得以提升
师 刚才,同学们通过自己的努力,探索并发现了多边形内角和的计算方法。回顾探索和发现规律的过程,谁来说说看,我们有哪些收获和体会?
生 我知道了求多边形内角和的计算方法:多边形的内角和=(边数-2)×180°。
师 我们是怎样得到这个计算方法的?
生 运用转化的策略,将多边形的内角和转化成几个三角形的内角和。面对新的、复杂的问题,我们可以把它转化成我们已经学过的简单问题。
师 非常棒!
生 面对复杂的问题,我们可以从简单的问题想起。
生 为了使问题得到有效解决,我们要有序思考。
生 解决问题的策略可能有很多,我们要学会选择可靠的、最优的策略。
生 产生的猜想、发现的规律必须要验证,这样才可信。
生 自己动手探索出规律,比什么都快乐!
……
师 是啊,同学们的收获可真多,体会也很深刻,相信大家在以后的学习中,一定能运用这些经验与方法发现更多的规律,获得更多的感悟。
……
从经验到策略,从知识到能力,反思是关键。引导学生自主地回顾与反思,如说一说学习了什么、学到了什么、怎样学的、有什么收获和疑问,可以进一步明晰所发现的规律,不断完善数学认知,提升数学思维水平。
关键词:“探索规律”专题 多边形的内角和 数学模型
《多边形的内角和》是苏教版小学数学四年级下册安排的一个“探索规律”专题。它是在已经认识了三角形、平行四边形和梯形,知道三角形的内角和是180°等的基础上,通过观察、操作等具体的活动,探索并发现多边形的内角和与它的边数之间的关系,得出计算多边形内角和的方法,并初步用数学模型“计算多边形内角和的式子”来表示。作为“探索规律”,本课中学生数学思考的力度也就体现在这个模型的建构上。
一、微调教材,让思维涟漪不断
对多边形的内角和的探索,教材是从四边形开始的,给出的四边形是一个直角梯形,主张“先量出每个角的度数,再求和”。这是很多学生都会想到的方法。这个梯形有两个角是直角,另外两个角分别是40°和140°,这些角的度数容易量出,一般不会有误差,能够得出内角和是360°。然而,实际教学中我们发现,这样的编排虽容易验证猜想“四边形的内角和是360°”,但不利于后续验证策略的出现——在准确量出了四边形的内角和是360°后,很多学生便觉得万事大吉了。为此,我们对教材做了些许改变,将直角梯形的另两个角40°和140°微调为不是整十度数的角。这样的改变,引发了学生思维的涟漪。
师 猜想一下,(板书:猜想)四边形的内角和可能是多少度?
生 360°。
(板书:360°?)
师 你为什么会猜是360°的呢?
生 因为长方形和正方形的内角和都是360°,所以我猜四边形的内角和可能是360°。
师 同意吗?
生 (齐)同意。
师 这样的猜想看上去是合理的,不过,既然是猜想,那我们接下来要做的事情就是——验证。(板书:验证)老师为每个同学都准备了一个相同的一般四边形,请大家把它拿出来。为了便于研究,我们给四边形的四个角分别标上∠1、∠2、∠3、∠4。
(学生给四边形四个角分别标上序号,如图1。)
师 接下去想办法验证,看看它的内角和是不是360°。
(学生独立操作、验证,教师巡视,然后全班交流。)
师 谁愿意到前面来把自己验证的过程和结果与大家分享一下?
生 我是通过测量和计算,发现这个四边形的内角和是360°。
师 请你具体介绍一下测量和计算的过程。
生 我先量出∠3是42°,∠4是138°,∠1和∠2都是直角,是90°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°+42°+138°=360°,因此,驗证了这个四边形的内角和是360°。
师 还有哪些同学也是运用测量方法的?得到的结果和他一样吗?
生 我量出∠3是43°,∠4是139°,∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°+43°+139°=362°。
生 我跟他们的结果有点不一样,我量出∠3是41°,∠4是138°,∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°+41°+138°=359°。
师 出现了不同的结果,原因可能是什么呢?
生 (小声地)在证明三角形内角和时也出现过,叫“误差”。
生 测量结果出现误差是正常的。不过照这样,这个四边形的内角和到底是不是360°,那还不一定呢?
师 他对量的方法提出了质疑,还有用其他方法验证的吗?
生 我是用先撕再拼的方法,∠3和∠4拼在一起得到一个平角是180°,(展示,如图2)再加上∠1和∠2,得到这个四边形的内角和是360°。
生 先撕再拼这个方法也不能让人放心,因为撕拼的过程中难免有些小的重叠或缝隙,也不能保证结果一定就是360°。
师 真爱思辨,很好!还有更加可靠的方法吗?
生 我是折的,将四边形沿对角对折,(展示,如图3)分成了两个三角形,这两个三角形的内角和就是四边形的内角和。
师 (将折痕画上虚线)他是“折分”的,这个方法有点儿意思。大家听明白他的意思了吗?但我有一个疑问,这两个三角形的内角和相加为什么就等于四边形的内角和呢?能给大家解释解释吗?
生 ∠1、∠5、∠8是这个三角形的三个内角,∠1+∠5+∠8=180°;∠3、∠6、∠7是第二个三角形的三个内角,∠3+∠6+∠7=180°。这里,∠5+∠6就是四边形的∠2,∠7+∠8就是四边形的∠4,这两个三角形的内角和就是四边形的内角和,所以这个四边形的内角和是360°。
师 非常严密的推理。(掌声)为了让大家看得更清楚一些,老师用课件再来演示一下刚才这个同学的思考过程。(课件演示将四边形分成两个三角形的过程,突出:分成的两个三角形内角的和就是原来四边形的内角和)把求四边形的内角和的问题转化成求两个三角形的内角和的问题来解决,(板书:转化)这种分的方法,既新颖又可靠。把掌声再次送给他!
师 刚才我们把这个四边形分成两个三角形,还有不同的分法吗?
生 我把这个四边形分成了一个长方形和一个三角形。(展示,如图4)长方形的内角和是360°,三角形的内角和是180°,360°+180°-180°=360°。
师 你为什么要减180°呢?
生 因为把这个四边形分成一个长方形和一个三角形,(指着虚线边上的两个直角)多出了这两个直角。
师 如果把长方形的内角和与三角形的内角和加起来,还是不是原来四边形的内角和呢? 生 不是,比原来多出了两个直角。
师 比一比,两种分法,哪种分法好呢?为什么?
生 第一种分法好,它没有多出内角。
师 是啊,“分一分”是个好方法,但怎样分很重要,我们要尽可能使分出来的图形的内角和正好等于原来四边形的内角和,否则,计算时就会多出一些麻烦。现在你能确定这个四边形的内角和是多少度了吗?
生 360°。
师 如果让你继续研究其他四边形的内角和,你会选择哪种方法呢?
……
对教材的些许改变,使得学生测量时有了误差,得出四边形的内角和在360°上下。因为有探索三角形内角和的经验,学生几乎都感悟到这是“误差”使然,但还是有些存疑:“测量结果出现误差是正常的,不过照这样,这个四边形的内角和到底是不是360°,那还不一定呢?”这样的疑问,很自然地引出其他探索策略,并进一步激发起探究的欲望。折分策略的最佳思路是把四边形分成两个三角形,使求四边形的内角和的问题转化成求两个三角形内角和的问题。这是复杂问题向简单问题的转化,是未知问题向已知问题的转化,是解决多边形内角和的一种策略。这种策略,不仅能算出四边形的内角和,还能算出更多边形的内角和。独立想到这个方法的学生不是很多,鉴于这种策略的重要与便捷,教学过程“慢”下来,当学生简要交流方法后,教师及时点赞“这个方法有点儿意思”,接下来话锋一转:“但我有一个疑问,这两个三角形的内角和相加为什么就等于四边形的内角和呢,能给大家解释解释吗?”以此引导学生理解四边形的内角和就是分成的两个三角形的内角和,看到每个三角形都有一个角是四边形的角,还有两个角分别与另一个三角形的两个角拼成四边形的角。这是一个分析、推理、表达、交流的过程。然后,教师通过投影,重演“分一分”的过程,引导学生进一步明晰四边形的内角和与分成的两个三角形的内角和的关系,体会转化策略的精要。
二、表格引路,让规律呼之欲出
师 四边形的内角和我们知道了。接下来,你能试着用“分一分”的方法继续研究五边形、六边形的内角和吗?请将探索的结果填在表格内。
(出示表1,學生各自操作、思考,教师巡视,然后组织交流。)
生 (展示,如图5)把五边形分成3个三角形,每个三角形的内角和是180°,3×180°=540°,所以五边形的内角和是540°。
师 (板书:3,3×180°)3个三角形的内角和正好等于五边形的内角和吗?会不会有多余的角?
生 3个三角形的内角和正好等于五边形的内角和,没有出现多余的角。
师 除了上面这样的分法,有没有不一样的分法呢?
生 我是这样分的。(展示,如图6)也分成了3个三角形,3个三角形的内角和正好等于五边形的内角和。
师 这些不同分法有什么共同之处?
生 都是从一个点出发,都是把五边形的内角和转化3个我们熟悉的三角形的内角和,都没出现多余的角。
师 六边形的内角和又是怎样求的呢?
生 将六边形分成4个三角形,(展示,如图7)这4个三角形的内角和正好等于六边形的内角和,所以六边形的内角和一定是4×180°=720°。
师 (板书:4,4×180°)想象一下,如果是一个七边形,像刚才这样,一共可以分成多少个三角形?它的内角和是多少度呢?
生 如果是一个七边形,一共可以分成5个三角形,它的内角和是5×180°=900°。
师 (板书:7,5,5×180°)八边形可以分成几个三角形?内角和又是多少度呢?
生 八边形可以分成6个三角形?内角和是6×180°=1 080°。
师 (板书:8,6,6×180°)结果究竟是不是这样?我们一起来看一下。(投影演示将七边形分成5个三角形,八边形分成6个三角形的过程)刚才同学们在回答七边形、八边形的内角和时,都没有动手画一画、分一分,就知道可以分成几个三角形,也知道它们的内角和是几个180°,你们是不是发现了什么规律?
生 多边形的边数越多,分成的三角形的个数越多,内角的度数就越大。
生 我发现五边形的内角和是3个180°,比四边形的内角和多180°;六边形的内角和是4个180°,比五边形的内角和多180°。接下去,七边形比六边形又多180°,八边形比七边形还是多180°。
师 现在你能求出十二边形的内角和吗?
生 10×180°=1800°。
师 这里的“10”表示什么意义?
生 这里的“10”表示10个三角形。
师 如果要求一个二十边形的内角和,你又会怎样去做?
生 18×180°。
生 (情不自禁地)我知道了,求多边形的内角和,用“(边数-2)×180°”。
师 想一想,这里的(边数-2)表示什么意思?为什么减2?
……
运用转化策略,学生虽然能算出多边形的内角和是多少度,但总结求多边形内角和的规律还是有困难的,为此,教材中设计了一个“脚手架”——一张表格,分别把四边形、五边形、六边形、七边形、八边形……的“边数”“分成三角形的个数”“内角和”等数据填进去。表格内的数据有序地排列着,能清楚地看到图形的边数越多,分成的三角形的个数越多,内角的度数就越大,还能看到多边形分成的三角形的个数总比它的边数少2,这时,规律呼之即出,模型建构水到渠成。
三、回顾反思,让经验得以提升
师 刚才,同学们通过自己的努力,探索并发现了多边形内角和的计算方法。回顾探索和发现规律的过程,谁来说说看,我们有哪些收获和体会?
生 我知道了求多边形内角和的计算方法:多边形的内角和=(边数-2)×180°。
师 我们是怎样得到这个计算方法的?
生 运用转化的策略,将多边形的内角和转化成几个三角形的内角和。面对新的、复杂的问题,我们可以把它转化成我们已经学过的简单问题。
师 非常棒!
生 面对复杂的问题,我们可以从简单的问题想起。
生 为了使问题得到有效解决,我们要有序思考。
生 解决问题的策略可能有很多,我们要学会选择可靠的、最优的策略。
生 产生的猜想、发现的规律必须要验证,这样才可信。
生 自己动手探索出规律,比什么都快乐!
……
师 是啊,同学们的收获可真多,体会也很深刻,相信大家在以后的学习中,一定能运用这些经验与方法发现更多的规律,获得更多的感悟。
……
从经验到策略,从知识到能力,反思是关键。引导学生自主地回顾与反思,如说一说学习了什么、学到了什么、怎样学的、有什么收获和疑问,可以进一步明晰所发现的规律,不断完善数学认知,提升数学思维水平。