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[摘要]分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论思想的数学命题在高考试题中占有重要地位，本文就此进行了一些探讨。
[关键词]分类讨论思想；高考；例题；数学；教学
所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它揭示着数学事物之间的内在规律。学会分类，有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。在高考复习中，我做了这样一些尝试。
一、正确认识分类讨论思想在高考复习中基本思想
1、分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
2、明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：
⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；
⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；
⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。
3、运用分类讨论的思想解题的基本步骤：
⑴确定讨论对象和确定研究的区域；
⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论。
二、典例剖析
在考高复习中，我利用以下几个例题来阐述如何利用分类讨论思想的。
【例1】将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A. 159 B. 1512 C. 1515 D. 1518
解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为63种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或-1的等差数列有2×4=8个，公差为2或-2的等差数列有2×2=4个，所以满足条件中的概率为 6+8+4563=1512。
答案：B
点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数.
【例2】设函数f（x）=ln（x+a）+x2.
（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于Ine52.分析：函数的极值、单调性是函数的重要性质.极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题.解：（1）f′（x）=15x+a+2x，依题意有f′（-1）=0，故a=352。
从而f′（x）=2X2+3X+15x+352=（2x+1）（x+1）5x+352。
f（x）的定义域为（-352，+∞）。
当-3520；
当-1 当x>-152时，f′（x>0）。
从而，f（x）分别在区间（-352，-1），（-152，+∞）单调递增，在区间（-1，-152）单调递减。
（2）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′（x）=2x2+2ax+15x+a。
方程2x2+2ax+1=0的判别式△=4a2-8。
（i）若△<0，即-20，故f（x）无极值。
（ⅱ）若△=0，则a=2或a=-2。
若a=2，x∈（-2，+∞），f′（x）=（2x+1）25x+2x。
当x=-252时，f′（x）=0，
当x∈（-2， -252）U（-252，+∞）时，f′（x）>0，所以f（x）无极值。
若a=-2，x∈（2，+∞），f′（x）=（2x-1）25x-2>0，
f（x）也无极值。
（ⅲ）若△>2，即a>2或a<-2，则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根x1=-a-a2-252，x2=-a+a2-252。
当a<-2时，x1<-a，x2<-a，从而f′（x）在f（x）的定义域内没有零点，故f（x）无极值。
当a>2时，x1>-a，x2>-a，f′（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知f（x）在x=x1，x=x2取得极值。
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为（2，+∞）。f（x）的极值之和为：f（x1） +f（x2）=In（x1+a）+x12+In（x2+a）+x22=In152+a2-1>1-In2=Ine52。 点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号.一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程f′（x）=0在f（x）的定义域内有解；二是在方程f′（x）=0的根的两边导数f′（x）的符号要相反.因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。
【例3】设函数y=f（x）的图象是曲线C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。将曲线C2向右平移1个单位得到曲线C3，已知曲线C3是函数y=log2x的图象。
（1）求函数f（x）的解析式；（2）设an=nf（x）（n∈N）求数列{an}的前n项和Sn，并求最小的正实数t，使Sn 解：（1）由题意知，曲线C3向左平移1个单位得到曲线C2，∴曲线C2是函数y=log2（x+1）的图象。
曲线C2与曲线C1关于直线 对称，∴曲线C2是函数y=log2（x+1）的反函数的图象。
y=log2（x+1）的反函数为y=2x-1.∴f（x）=2x-1。
（2）由题设：an=n×2x-n， n∈N
Sn=（1×21-1）+（2×22-2）+（3×22-3）+……+（n×2n-n）
=（1×21+2×22+3×22+……+n×2n）-（1+2+3+……+n）
=（1×21+2×22+3×22+……+n×2n）-n（n+1）52①
Sn=（1×21+2×22+3×23+……+n×2n）-n（n+1）52②
2Sn=（1×22+2×23+3×24+……+n×2n+1）-〗n（n+1）
由②—①得， sn=-（21+22+23+……+2n）+n×2n+1-152n（n+1）
=-2-2n+151-2+n×2n+1-n（n+1）52=（n-1）×2n+1-n2+n-452.
当t=2，Sn-2an=[（n-1）2n+1-n2+n-452]-2（n×2n-n）
=-[2n+1+（n+1）（n-4）52]
S1-2a1=-1<0，S2-2a2=-5<0，S3-2a3=-14<0。
当n≥4时Sn-2an=-[2n+1+（n+1）（n-4）52]<0.
∴当t=2时，对一切n∈N，Sn<2an恒成立. 当0 =[（2-t）n-2]×2n-n2+n52+tn+2>[（2-t）n-2]×2n-n2+n52
记M=352-t，则当n大于比M大的正整数时，
Sn-tan>2n-n（n+1）52=[1+n+n（n-1）52+…]-n2+n52>0.
也就证明当t∈（0，2）时，存在正整数n，使得Sn>ta。
也就是说当t∈（0，2）时，Sn≤tan不可能对一切n∈N都成立。
∴t的最小值为2。
从以上的例题中可以看出，分类讨论思想，本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略。
分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。
[关键词]分类讨论思想；高考；例题；数学；教学
所谓分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思，数学中的分类过程就是对事物共性的抽象过程，解题时要使学生体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程如何认识事物的属性，如何区分不同事物的不同属性，通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想，它体现了化整为零，化零为整与归类整理的思想，它揭示着数学事物之间的内在规律。学会分类，有助于学生总结归纳所学的知识，使所学的知识条理化，提高思维的概括性，从而提高分析问题和解决问题的能力。在高考复习中，我做了这样一些尝试。
一、正确认识分类讨论思想在高考复习中基本思想
1、分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。
2、明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：
⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；
⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；
⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；
⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；
⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；
⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。
3、运用分类讨论的思想解题的基本步骤：
⑴确定讨论对象和确定研究的区域；
⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论。
二、典例剖析
在考高复习中，我利用以下几个例题来阐述如何利用分类讨论思想的。
【例1】将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A. 159 B. 1512 C. 1515 D. 1518
解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为63种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或-1的等差数列有2×4=8个，公差为2或-2的等差数列有2×2=4个，所以满足条件中的概率为 6+8+4563=1512。
答案：B
点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数.
【例2】设函数f（x）=ln（x+a）+x2.
（1）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于Ine52.分析：函数的极值、单调性是函数的重要性质.极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题.解：（1）f′（x）=15x+a+2x，依题意有f′（-1）=0，故a=352。
从而f′（x）=2X2+3X+15x+352=（2x+1）（x+1）5x+352。
f（x）的定义域为（-352，+∞）。
当-352
当-1
从而，f（x）分别在区间（-352，-1），（-152，+∞）单调递增，在区间（-1，-152）单调递减。
（2）f（x）的定义域为（-a，+∞），f′（x）=2x2+2ax+15x+a。
方程2x2+2ax+1=0的判别式△=4a2-8。
（i）若△<0，即-2
（ⅱ）若△=0，则a=2或a=-2。
若a=2，x∈（-2，+∞），f′（x）=（2x+1）25x+2x。
当x=-252时，f′（x）=0，
当x∈（-2， -252）U（-252，+∞）时，f′（x）>0，所以f（x）无极值。
若a=-2，x∈（2，+∞），f′（x）=（2x-1）25x-2>0，
f（x）也无极值。
（ⅲ）若△>2，即a>2或a<-2，则2x2+2ax+1=0有两个不同的实根x1=-a-a2-252，x2=-a+a2-252。
当a<-2时，x1<-a，x2<-a，从而f′（x）在f（x）的定义域内没有零点，故f（x）无极值。
当a>2时，x1>-a，x2>-a，f′（x）在f（x）的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知f（x）在x=x1，x=x2取得极值。
综上，f（x）存在极值时，a的取值范围为（2，+∞）。f（x）的极值之和为：f（x1） +f（x2）=In（x1+a）+x12+In（x2+a）+x22=In152+a2-1>1-In2=Ine52。 点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号.一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程f′（x）=0在f（x）的定义域内有解；二是在方程f′（x）=0的根的两边导数f′（x）的符号要相反.因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论。
【例3】设函数y=f（x）的图象是曲线C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。将曲线C2向右平移1个单位得到曲线C3，已知曲线C3是函数y=log2x的图象。
（1）求函数f（x）的解析式；（2）设an=nf（x）（n∈N）求数列{an}的前n项和Sn，并求最小的正实数t，使Sn
曲线C2与曲线C1关于直线 对称，∴曲线C2是函数y=log2（x+1）的反函数的图象。
y=log2（x+1）的反函数为y=2x-1.∴f（x）=2x-1。
（2）由题设：an=n×2x-n， n∈N
Sn=（1×21-1）+（2×22-2）+（3×22-3）+……+（n×2n-n）
=（1×21+2×22+3×22+……+n×2n）-（1+2+3+……+n）
=（1×21+2×22+3×22+……+n×2n）-n（n+1）52①
Sn=（1×21+2×22+3×23+……+n×2n）-n（n+1）52②
2Sn=（1×22+2×23+3×24+……+n×2n+1）-〗n（n+1）
由②—①得， sn=-（21+22+23+……+2n）+n×2n+1-152n（n+1）
=-2-2n+151-2+n×2n+1-n（n+1）52=（n-1）×2n+1-n2+n-452.
当t=2，Sn-2an=[（n-1）2n+1-n2+n-452]-2（n×2n-n）
=-[2n+1+（n+1）（n-4）52]
S1-2a1=-1<0，S2-2a2=-5<0，S3-2a3=-14<0。
当n≥4时Sn-2an=-[2n+1+（n+1）（n-4）52]<0.
∴当t=2时，对一切n∈N，Sn<2an恒成立. 当0
记M=352-t，则当n大于比M大的正整数时，
Sn-tan>2n-n（n+1）52=[1+n+n（n-1）52+…]-n2+n52>0.
也就证明当t∈（0，2）时，存在正整数n，使得Sn>ta。
也就是说当t∈（0，2）时，Sn≤tan不可能对一切n∈N都成立。
∴t的最小值为2。
从以上的例题中可以看出，分类讨论思想，本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略。
分类讨论思想的关键是分清引起分类的原因，明确分类讨论的事物和标准，按可能出现的所有情况做出准确分类，再分门别类加以求解，最后将各类结论综合归纳，得出正确答案。数学中的分类思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类思想的训练，有利于提高学生对学习数学兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。