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摘要：本文根据动力学分析、刚体的转动定律、动量守恒定律以及动能守恒定律等物理学知识建立了理想状态下的最佳协作策略模型以及转矩倾斜模型，并结合现实情形对该模型进行了优化，建立了合适的指标衡量实际情况下该策略的实施效果，具有一定的参考价值。
关键词：动力学分析;转动定律;转矩倾斜模型
“同心鼓”是一项团队协作的项目，在同心鼓的边缘均匀固定着多条绳子，要求每个队员通过拉绳使球颠起，并使其有节奏在鼓面上做往返运动。在颠球的过程中，要求队员只能手握绳子的尾部，而不能接触其他位置。要求建立模型求解出项目的最终目标，使连续颠球的次数尽可能多。
1基于动力学分析的最佳协作策略模型
1.1碰撞过程中关系式的建立
碰撞前，在忽略空气阻力作用的影响下，球在重力的作用下做自由落体运动，直到与鼓发生碰撞。鼓在绳子的作用下做加速运动，直到与排球发生碰撞。在此过程中，根据运动学定律，对排球而言，有
对于双面鼓而言，在其上升过程中，θ随其而不断发生改变，从最初时刻的θ0不断减少至发生碰撞结束。
根据牛顿定律，可得到双面鼓的加速度aθ与绳对鼓的作用力F的关系式为
碰装过程中，可知理想状态下的碰撞为完全弹性碰撞，存在动能守恒与动量守恒，基于该定律得到如下关系式。
碰装后，自排球与双面鼓碰撞结束后，在忽略空气阻力的影响下，排球将以重力加速度g做竖直向上的减速运动，双面鼓在人的作用下保持某一状态。因而在此过程中，根据运动学定律，有
1.2综合模型的确立
理想状态下的最佳协作策略从以下两种情形进行考虑最佳协作策略首先需要满足颠球高度大于40cm的条件，其次考虑第一种情形时，队员人数n、绳子长度s、初始位置较绳子水平时下降的高度l不变，确定满足条件绳的最小拉力值;再考虑第二种情形时，保持绳的拉力F、绳子长度s、初始位置较绳子水平时下降的高度l不变，确定满足条件队员人数n的最小值。
2基于矩陣作用的鼓面倾角模型
2.1倾斜角度的确定
（1）力矩的分解与合成
基于上述分析，可知作用在鼓边缘的力可以分解该点的矢径方向与竖直向上的方向，其中分解到矢径方向的力对鼓面的倾斜没有影响，故而只考虑竖直反向上的力产生的力矩。
（2）鼓面倾角公式的推导
根据上文得到的鼓面在x、y轴方向上的倾斜角度PX、PY，建立空间直角坐标系对其进行推导求解，坐标系如图3所示。
3最佳协作策略模型的优化
在问题二中，通过将各个力矩分解到x、y轴，分析每个力矩的作用效果。由于各个力矩在圆周的边缘呈均匀分布状态，根据圆的对称性，可知两个呈对称分布的力所产生的力矩的作用效果两两相互抵消，如图4所示。
观察该图，可以发现M3和M7大小相同，方向相反。对鼓产生的综合效果不会使鼓面发生倾斜。
基于问题一中的最佳协作策略模型，主要从用力方向和力度两个方面进行优化。鼓面保持水平时，则不需要控制每个队员的用力方向和力度都相同，只需满足在圆内呈对称分布的队员的用力时机和力度相同即可。即
其中n为队员的个数，根据圆的对称性可知第i个队员与第个队员成对称分布。
4模型的结果
1）已知变量
由于球偏离竖直方向产生倾斜，且倾斜方向在水平面上的投影为在两位队员之间，且分别与两位队员产生的角度比为1：2，其角度关系如图5
由于人数为10，因此相邻两个力之间的角度为36°，则该两名队员对绳子的拉力存在着某种关系，由三角形的正弦定理有
2）合理猜想
当球的倾斜方向在水平面上的投影指向某两位队员之间时，其原因可能是该队员存在提前发力情况，其余队员产生的力的大小与发力时机可视为相同，适当简化了求解队员的发力时机和力度的过程。
3）发力时机和力度的确定及实施效果的检验
以球的偏离角度B最小、球的反弹高度尽可能略大于0.4m为目标，通过Matlab程序[2]，求解得到所有队员的发力时机及力度，其结果如表6所示
此时球的偏离角B=0.532°，衡量该策略的实施效果的指标B修=93.42%，该指标值与1很相近，表明该策略在一定程度上的可行性较高。
参考文献
[1] 薛艳霞，苏振超.理论力学中等效力系的几个性质.嘉应学院学报[J].2019.37：40-42.
[2] 司守奎，孙兆亮.数学建模与算法运用[M].北京：国防工业出版社，2015.4：430-438.
关键词：动力学分析;转动定律;转矩倾斜模型
“同心鼓”是一项团队协作的项目，在同心鼓的边缘均匀固定着多条绳子，要求每个队员通过拉绳使球颠起，并使其有节奏在鼓面上做往返运动。在颠球的过程中，要求队员只能手握绳子的尾部，而不能接触其他位置。要求建立模型求解出项目的最终目标，使连续颠球的次数尽可能多。
1基于动力学分析的最佳协作策略模型
1.1碰撞过程中关系式的建立
碰撞前，在忽略空气阻力作用的影响下，球在重力的作用下做自由落体运动，直到与鼓发生碰撞。鼓在绳子的作用下做加速运动，直到与排球发生碰撞。在此过程中，根据运动学定律，对排球而言，有
对于双面鼓而言，在其上升过程中，θ随其而不断发生改变，从最初时刻的θ0不断减少至发生碰撞结束。
根据牛顿定律，可得到双面鼓的加速度aθ与绳对鼓的作用力F的关系式为
碰装过程中，可知理想状态下的碰撞为完全弹性碰撞，存在动能守恒与动量守恒，基于该定律得到如下关系式。
碰装后，自排球与双面鼓碰撞结束后，在忽略空气阻力的影响下，排球将以重力加速度g做竖直向上的减速运动，双面鼓在人的作用下保持某一状态。因而在此过程中，根据运动学定律，有
1.2综合模型的确立
理想状态下的最佳协作策略从以下两种情形进行考虑最佳协作策略首先需要满足颠球高度大于40cm的条件，其次考虑第一种情形时，队员人数n、绳子长度s、初始位置较绳子水平时下降的高度l不变，确定满足条件绳的最小拉力值;再考虑第二种情形时，保持绳的拉力F、绳子长度s、初始位置较绳子水平时下降的高度l不变，确定满足条件队员人数n的最小值。
2基于矩陣作用的鼓面倾角模型
2.1倾斜角度的确定
（1）力矩的分解与合成
基于上述分析，可知作用在鼓边缘的力可以分解该点的矢径方向与竖直向上的方向，其中分解到矢径方向的力对鼓面的倾斜没有影响，故而只考虑竖直反向上的力产生的力矩。
（2）鼓面倾角公式的推导
根据上文得到的鼓面在x、y轴方向上的倾斜角度PX、PY，建立空间直角坐标系对其进行推导求解，坐标系如图3所示。
3最佳协作策略模型的优化
在问题二中，通过将各个力矩分解到x、y轴，分析每个力矩的作用效果。由于各个力矩在圆周的边缘呈均匀分布状态，根据圆的对称性，可知两个呈对称分布的力所产生的力矩的作用效果两两相互抵消，如图4所示。
观察该图，可以发现M3和M7大小相同，方向相反。对鼓产生的综合效果不会使鼓面发生倾斜。
基于问题一中的最佳协作策略模型，主要从用力方向和力度两个方面进行优化。鼓面保持水平时，则不需要控制每个队员的用力方向和力度都相同，只需满足在圆内呈对称分布的队员的用力时机和力度相同即可。即
其中n为队员的个数，根据圆的对称性可知第i个队员与第个队员成对称分布。
4模型的结果
1）已知变量
由于球偏离竖直方向产生倾斜，且倾斜方向在水平面上的投影为在两位队员之间，且分别与两位队员产生的角度比为1：2，其角度关系如图5
由于人数为10，因此相邻两个力之间的角度为36°，则该两名队员对绳子的拉力存在着某种关系，由三角形的正弦定理有
2）合理猜想
当球的倾斜方向在水平面上的投影指向某两位队员之间时，其原因可能是该队员存在提前发力情况，其余队员产生的力的大小与发力时机可视为相同，适当简化了求解队员的发力时机和力度的过程。
3）发力时机和力度的确定及实施效果的检验
以球的偏离角度B最小、球的反弹高度尽可能略大于0.4m为目标，通过Matlab程序[2]，求解得到所有队员的发力时机及力度，其结果如表6所示
此时球的偏离角B=0.532°，衡量该策略的实施效果的指标B修=93.42%，该指标值与1很相近，表明该策略在一定程度上的可行性较高。
参考文献
[1] 薛艳霞，苏振超.理论力学中等效力系的几个性质.嘉应学院学报[J].2019.37：40-42.
[2] 司守奎，孙兆亮.数学建模与算法运用[M].北京：国防工业出版社，2015.4：430-438.