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高中立体几何中,依据“三垂线定理”找(作)出二面角的平面角,是求二面角的平面角大小的主要思路,其过程如下:一找(作)线面垂,二找(作)“点线垂”(注1),三找线线垂,可以总结为“三锤(垂)”敲掉
二面角(注2),常见二面角在空间的位置状况有以下几种情况。
注1:①“第一垂”找(作)平面的垂线时主要依靠面面垂直的性质定理,(当然也可以结合其它方法来找平面的垂线,如上面例1中的思路剖析1,由已知条件易得SD⊥平面ABC,参照直线SD,只要寻找过N且与直线SD平行的直线,在平面SDB中,利用三角形中位线定理易得NE∥SDNE⊥平面ABC)。
②作图路线由N→E→F→N,“一垂”时标直角,“二垂”处有平面角,“第二垂”后要画平面图,便于计算,
③若求二面角N-CM-A的大小,则先求二面角N-CM-B的大小,利用两者平面角互补即可解决。
④能熟练掌握“三垂”法求解一半平面与水平面重合的二面角是求解空间位置状况较复杂的二面角的重要基础。
注:[HT]当遇到两个半平面在直观感觉上只显示出一个交点或未显示交线的情况时,我们只要通过扩面法找棱或平行移面法找到棱后就可以借助“三锤”(垂)去敲掉二面角了。
一般情况下,借助三垂线定理即所说的“三垂法”就能直接地或间接地作出、显示出空间各种位置状况下二面角的平面角了。
二面角(注2),常见二面角在空间的位置状况有以下几种情况。
注1:①“第一垂”找(作)平面的垂线时主要依靠面面垂直的性质定理,(当然也可以结合其它方法来找平面的垂线,如上面例1中的思路剖析1,由已知条件易得SD⊥平面ABC,参照直线SD,只要寻找过N且与直线SD平行的直线,在平面SDB中,利用三角形中位线定理易得NE∥SDNE⊥平面ABC)。
②作图路线由N→E→F→N,“一垂”时标直角,“二垂”处有平面角,“第二垂”后要画平面图,便于计算,
③若求二面角N-CM-A的大小,则先求二面角N-CM-B的大小,利用两者平面角互补即可解决。
④能熟练掌握“三垂”法求解一半平面与水平面重合的二面角是求解空间位置状况较复杂的二面角的重要基础。
注:[HT]当遇到两个半平面在直观感觉上只显示出一个交点或未显示交线的情况时,我们只要通过扩面法找棱或平行移面法找到棱后就可以借助“三锤”(垂)去敲掉二面角了。
一般情况下,借助三垂线定理即所说的“三垂法”就能直接地或间接地作出、显示出空间各种位置状况下二面角的平面角了。