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空间向量是数与形的结合体，是立体几何的核心内容，亦是研究立体几何问题的一个“法宝”，它用简明、易懂的代数运算代替抽象、复杂的逻辑论证来研究立体几何问题，从而使立体几何的研究进入了“数字化”时代.平行、垂直、角、距离是立体几何中的“四大”典型问题，也是高考的常考点.在探究过程中，很多同学因难以找出平面角或垂线段而望而生畏,但若能适当运用直线的方向向量与平面的法向量，则无需进行繁、难的几何作图和推理论证，而使抽象变具体、化难为易，从而把考点知识题型化、系统化、能力化.
考点一位置关系判断
例1 （2011全国新课标18题）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.
点评：本题主要考查了空间线线垂直的判定.纵观近2年的高考试题来看，对位置关系的考查主要有线线垂直、线面垂直、面面垂直等.如2010年的课标全国理18题、辽宁19题直接考查了直接考查了线线垂直的证明，天津19题、北京16题考查了线面垂直的证明，安徽18考查了线线平行的证明，北京16题考查了线面平行的证明.2011年北京理16题考查了线面垂直问题，福建理20题考查了面面垂直问题，广东理18题考查了线面垂直问题、湖南理19题考查了面面垂直问题辽宁理18题、陕西理16题考查了面面垂直问题.
本部分知识是高考考查的“热点”，这表明了高考的一种倾向，能有效地考查同学们的综合能力，建议同学们在平时的学习中多思考多总结.
考点二考查有关角问题
例2（2011天津卷17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=22，C1H⊥平面AA1B1B且C1H=5.
（1） 求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（2） 求二面角A-A1C1-B1的正弦值.
解析：以HA、HA1、HC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系H-xyz.则有H(0,0,0)、A(2,0,0)、A1(0,2,0)、B1(-2,0,0)、B(0,-2,0)、C1(0,0,5)、C(2,-2，5).
（1） 易得AC=(-2，-2，5)、AB=（-22，0，0）.
于是cos＜AC，AB＞=AC•AB|AC|•|AB|=43×22=23.
于是异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23.
（2） 易知AA1=(-2,2,0)，AC1=(-2，0，5).
设平面AA1C1的法向量为n=(x,y,1)，则有n1•AA1=0，
n1•AC1=0，即-2x+2y=0，
-2x+5=0，解得x=y，
x=52.
所以n1=52,52,1.
平面A1C1B1的法向量n2=(a,b,1)，A1C1=（0，-2，5），A1B1=（-2，-2，0），
则有n2•A1C1=0，
n2•A1B1=0，即-2b+5=0，
-2a-2b=0，解得b=52，
a+b=0.
所以n2=-52，52，1.
于是cos＜n1，n2＞
=-54+54+154+54+1•54+54+1=1142×142=27.
所以sinθ=1-449=357.
即二面角A-A1C1-B1的正弦值为357.
点评：本题主要考查了线线角、二面角的求解问题.综观近两年的高考试题，我们发现关于角的考查呈现一种递增的趋势.2010年的课标全国理18题、山东18题、辽宁19题直接考查了线面角的求解，广东理18题、天津19题考查了二面角的求解.2011年高考题中,安徽理13题考查了角问题、北京理16题考查了线线角问题、广东理18题考查了二面角的余弦值问题，江西理11题考查了夹角问题，山东理19题考查了二面角问题等.
关于空间角的问题，求解方法灵活，综合了多方面的知识，能够很好的考查同学们的综合能力，建议同学们在学习中尽量进行多种方法的探讨，以培养综合素质及解决问题的能力.
考点三探究有关体积距离问题
例3（2011江西21）
（1） 如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Ai∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2） 给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足Ai∈αi（i=1,2,3,4），求该正四面体A1A2A3A4的体积.
解析：（1） 如图所示，取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，A2A4的中点N，过三点A2，P2，M作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，因为A2P2∥NP3,A3P3∥MP2,所以平面α2∥平面α3，再过点A1，A4分别作平面α1，α4与平面α2平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次相互平行，由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，期中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面.
（2） 当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为z轴建立如图的右手直角坐标系，
则A10，0，63a，A2-a2，63a,0，A3a2，63a，0，A40,-33a，0
令P2，P3为A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有
P30,-239a，69a，N-a4，-312a，0,所以P3N=-a4，5336a，-69a，NA3=3a4，34a，0，A4N=-a4，34a,0
设平面A3P3N的法向量为n=（x,y,z），有n，P3N=0
n，NA3=0，即9x-53y+46z=0
3x+3y=0
所以，n=(1，-3，-6).因为a1，a2，a3，a4相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离
-a4×1+34a×（-3）+0×（-6）1+(-3)2+（-6）2=1，解得a=10
由此可得，边长为10的正四面体A1A2A3A4满足条件.
所以所求正四面体的体积V=13Sh=13×34a2×63a=212a3=535.
点评：本题主要考查了空间几何体的体积问题，这也是高考中比较常见的考查知识点.如2010年的江西20题考查了点面距离的求解，四川18题考查了体积问题的求解.2011年安徽理17题考查了棱锥体积问题、江西理21题考查了四面题的体积问题等.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
考点一位置关系判断
例1 （2011全国新课标18题）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.
点评：本题主要考查了空间线线垂直的判定.纵观近2年的高考试题来看，对位置关系的考查主要有线线垂直、线面垂直、面面垂直等.如2010年的课标全国理18题、辽宁19题直接考查了直接考查了线线垂直的证明，天津19题、北京16题考查了线面垂直的证明，安徽18考查了线线平行的证明，北京16题考查了线面平行的证明.2011年北京理16题考查了线面垂直问题，福建理20题考查了面面垂直问题，广东理18题考查了线面垂直问题、湖南理19题考查了面面垂直问题辽宁理18题、陕西理16题考查了面面垂直问题.
本部分知识是高考考查的“热点”，这表明了高考的一种倾向，能有效地考查同学们的综合能力，建议同学们在平时的学习中多思考多总结.
考点二考查有关角问题
例2（2011天津卷17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=22，C1H⊥平面AA1B1B且C1H=5.
（1） 求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（2） 求二面角A-A1C1-B1的正弦值.
解析：以HA、HA1、HC1为x,y,z轴建立空间直角坐标系H-xyz.则有H(0,0,0)、A(2,0,0)、A1(0,2,0)、B1(-2,0,0)、B(0,-2,0)、C1(0,0,5)、C(2,-2，5).
（1） 易得AC=(-2，-2，5)、AB=（-22，0，0）.
于是cos＜AC，AB＞=AC•AB|AC|•|AB|=43×22=23.
于是异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为23.
（2） 易知AA1=(-2,2,0)，AC1=(-2，0，5).
设平面AA1C1的法向量为n=(x,y,1)，则有n1•AA1=0，
n1•AC1=0，即-2x+2y=0，
-2x+5=0，解得x=y，
x=52.
所以n1=52,52,1.
平面A1C1B1的法向量n2=(a,b,1)，A1C1=（0，-2，5），A1B1=（-2，-2，0），
则有n2•A1C1=0，
n2•A1B1=0，即-2b+5=0，
-2a-2b=0，解得b=52，
a+b=0.
所以n2=-52，52，1.
于是cos＜n1，n2＞
=-54+54+154+54+1•54+54+1=1142×142=27.
所以sinθ=1-449=357.
即二面角A-A1C1-B1的正弦值为357.
点评：本题主要考查了线线角、二面角的求解问题.综观近两年的高考试题，我们发现关于角的考查呈现一种递增的趋势.2010年的课标全国理18题、山东18题、辽宁19题直接考查了线面角的求解，广东理18题、天津19题考查了二面角的求解.2011年高考题中,安徽理13题考查了角问题、北京理16题考查了线线角问题、广东理18题考查了二面角的余弦值问题，江西理11题考查了夹角问题，山东理19题考查了二面角问题等.
关于空间角的问题，求解方法灵活，综合了多方面的知识，能够很好的考查同学们的综合能力，建议同学们在学习中尽量进行多种方法的探讨，以培养综合素质及解决问题的能力.
考点三探究有关体积距离问题
例3（2011江西21）
（1） 如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得Ai∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2） 给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足Ai∈αi（i=1,2,3,4），求该正四面体A1A2A3A4的体积.
解析：（1） 如图所示，取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，A2A4的中点N，过三点A2，P2，M作平面α2，过三点A3，P3，N作平面α3，因为A2P2∥NP3,A3P3∥MP2,所以平面α2∥平面α3，再过点A1，A4分别作平面α1，α4与平面α2平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次相互平行，由线段A1A4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，期中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面.
（2） 当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为z轴建立如图的右手直角坐标系，
则A10，0，63a，A2-a2，63a,0，A3a2，63a，0，A40,-33a，0
令P2，P3为A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有
P30,-239a，69a，N-a4，-312a，0,所以P3N=-a4，5336a，-69a，NA3=3a4，34a，0，A4N=-a4，34a,0
设平面A3P3N的法向量为n=（x,y,z），有n，P3N=0
n，NA3=0，即9x-53y+46z=0
3x+3y=0
所以，n=(1，-3，-6).因为a1，a2，a3，a4相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离
-a4×1+34a×（-3）+0×（-6）1+(-3)2+（-6）2=1，解得a=10
由此可得，边长为10的正四面体A1A2A3A4满足条件.
所以所求正四面体的体积V=13Sh=13×34a2×63a=212a3=535.
点评：本题主要考查了空间几何体的体积问题，这也是高考中比较常见的考查知识点.如2010年的江西20题考查了点面距离的求解，四川18题考查了体积问题的求解.2011年安徽理17题考查了棱锥体积问题、江西理21题考查了四面题的体积问题等.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文