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苏联著名心理学家维果茨基依据一系列实验的结果，指出了教学与发展问题具有重要价值的观念——“最近发展区”.这一思想对新课程改革是十分有益的，同时也利于我们的教学目的的达成.维果茨基指出：“学生发展的任何时候，不是仅仅由成熟的部分决定的.至少可以确定学生有两个发展的水平：第一个是现有的发展水平，表现为学生能够独立地、自如地完成教师提出的智力任务；第二个是潜在的发展水平，即学生还不能独立地完成任务，必须在教师的帮助下，在活动中，通过模仿和自己努力才能完成的智力任务.”这两个水平之间的幅度则为“最近发展区”.
在维果茨基看来，“最近发展区”对智力的发展和成功的进程，比现有水平有更直接的意义.他强调：教学不应该指望学生的昨天，而应指望他们的明天.只有走在发展最前端的教学，才是好的教学.因为它能够使学生的潜在发展水平不断地提高.
《普通高中数学课程标准（实验）》中有十个基本理念，其中一条：倡导积极主动、勇于探索的学习方式.学生对数学概念、结论、技能的学习不应只限于记忆、模仿和接受，《标准》还提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.同时，高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考，积极探索的习惯.高中数学课程应力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.让我们深刻地感觉到：理念无不呼应着文章开头所提出的一系列问题.因此，理念的实现离不开“最近发展区”理论的运用，教学中运用“最近发展区”理论才会更好地实现理念.
一、 “最近发展区”理论的教学实践
1. 教师应充分认识“最近发展区”的客观存在，善于精彩之处巧延伸学生的认知发展水平是一个由低级到高级、由简单到复杂的渐进过程，当前的新知识是从前面已有知识为基础发展、完善而来的，这标志着最近发展区的客观存在.“举一反三，触类旁通”说明了最近发展区的运用.
例1已知圆x2+y2=8内有一点P0（－1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
（1） 当α=34π时，求AB的长；
（2） 当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程.
延伸一、问题（2）也可转化为“过点P0的最短弦所在直线的方程”.
延伸二、由P0在圆内，此时过P0的所有弦均与圆相交，由此有这道题：已知直线l：kx―y―3k=0，圆M：x+y―8x―2y+9=0，则直线l与圆M的位置关系是（）
A.相交B.相切
C.相离D.由k值确定
延伸三、已知圆x2+y2=8内有一点P0（-1，2），求所有过点P0的弦的中点的轨迹方程.
可以令过点P0的弦的中点P的坐标为（x，y）（不包括P0），则有OP⊥P0P，所以有（x，y）•（x+1，y－2）=0，即x2+y2+x－2y=0，显然P0（－1，2）也满足此方程.
创新：当然对于本题我还想说的是，在椭圆中也有类似的题目，在解法上有什么异同，请同学们加以关注，加以比较.
2. 课堂教学中，运用“最近发展区”，适时之处巧变题
对于教材例题的讲学，由于有解答过程或思路显得简单，学生总是对例题教学不屑一顾，产生自得、满足之感，其思维往往处于“停止”状态，这时学生的兴奋、学习动机就会降低.如果老师挖掘出“最近发展区”，让其思维远离平衡状态，就可激发学生的探究动机，积极思维数学问题，建构成完善的知识结构.
例2已知曲线y=x3―x，求曲线在（1，0）处的切线方程.
解：由题意，y′=3x2―1，y′|x=1=2
∴ 曲线在（1，0）处的切线方程为y=2x―2.
在解完这道例题后，可试问：
变题：已知曲线y=x3―x，求经过（1，0）的切线方程.这时可解为：设切点为（x0，y0），则由y′=3x2－1，有斜率k=3x20－1，∴ 在（x0,y0）处的切线方程为y－y0=（3x20-1）（x－x0），又∵切点（x0,y0）在曲线上及点P（1，0）在切线上，
∴ y0=x30-x0
0-y0=（3x20-1）（1-x0）
∴ x0=1或x0=―12∴ k=2或-14.
∴ 经过（1，0）的切线方程为y=2x―2或y=-14x+14
评析：在“最近发展区”巧妙变题，使得学生思路自然，易接受，同时也能使学生巧妙辨别，寻找异同，在求异中寻找通解通法.在此题的解答中要注意点P（1，0）并非一定是切点，同时更要注意导数中切线的斜率的定义.
3.关键之处巧设疑，创设“最近发展区”，衔接上、下节教学内容
教师应善于发现教材中的各种联系，让学生由此及彼地学习知识，教学中必须在新课前给予学生时间回忆上一节课学习的内容.一节课结束后要提示下一节课将要学习的内容.提出思考问题，把课内和课外有机结合，并促使学生在课外自主探索，进行合作交流，丰富学生多样的数学学习方式.同时，促进系统知识的理解，缩小基础知识与高级知识的距离，促进更大的正迁移.如：
例3在椭圆的标准方程推导过程中，得到a－cx=a（x-c）2+y2，若变形为(x-c)2+y2a2c-x=ca，此处巧妙设疑，思考这个方程的几何意义，并提出合理猜想，然后因势利导，不知不觉地引入第二定义，让学生很轻松地接受了椭圆的第二定义.
评析：找准“最近发展区”，使得学生学得轻松，教者游刃而有余.
4.合理利用“最近发展区”，回味之时慎思辨
数学知识复习时，合理利用“最近发展区”，可激发学生分散零乱的“点的记忆”变为“线的记忆”，构成网络，使原有的认知结构系统化，促进知识与技能的掌握和应用.例如：
例4在复习了圆的参数方程，研究椭圆的参数方程时，由椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1，联想到cos2θ+sin2θ=1，自然想到，可令xa=cosθ，yb=sinθ，则有椭圆的参数方程为x=acosθ
y=bsinθ，（θ∈（0，2π］，θ为参数），思路自然，但θ是否仍有圆中的参数的几何意义吗？通过阅读例题，学生茅塞顿开.
评析：使用“最近发展区”，过渡自然，但是在求同中更要求异.使学生的认知结构系统化.
二、 应用“最近发展区”教学时的几点注意
1. 依据“最近发展区”的思想，捕捉“最佳期限”.
“最近发展区”是教学发展的“最佳期限”，即“发展教学最佳期限”.即在最佳期限内进行的教学是促进学生发展最佳的教学.教学应根据“最近发展”.“如果只根据学生智力发展的现有水平来确定教学目的、任务和组织教学，就是指望于学生发展的昨天，面向已经完成的发展程”.这样的教学，从发展意义上说是消极的.它不会促使学生发展.教学过程只有建立在那些尚未成熟的心理机能上，才能产生潜在水平和现有水平之间的矛盾，而这种矛盾又可引起学生心理机能间的矛盾，从而推动学生的发展.
2. 依据“最近发展区”教学也应采取适应的手段.
教师借助教学方法、手段，引导学生掌握新知识，形成技能、技巧.要实现这一目的关键在“最近发展”区域，因此，教学方法、手段应考虑“最近发展区”.如：在“解三角形”教学，可先带领学生做教学实验，让学生应用已有的知识，测量校园内国旗旗杆的高，这样吸引学生，让他们感兴趣：旗杆不能爬，怎样测量呢？心里感到纳闷，这时教师可以充分利用学校的资源，带领学生进行实地测量，得到一些数据.怎样处理这些数据，当然学生未学解三角形知识是不懂的.这样必然会引起学生的心理机能的矛盾，再顺水推舟，然后回到课堂.这样比单一的教学方法效果好，从而达到培养他们注意自己不感兴趣的东西的目的.
3. 根据“最近发展区”教学必须遵循因材施教的原则.
从学生整体而言，比如一个班，教学应面向大多数学生，使教学的深度为大多数学生经过努力所能接受.这就得从大多数学生的实际出发，考虑他们整体的现有水平和潜在水平，正确处理教学中的难与易、快与慢、多与少的关系，使教学的内容和进度符合学生整体的“最近发展区”.如遇到较难的章节时，教师可以适当添加一些为大多数学生所能接受的例题，不一定全部按照课本的照搬，防止“本本主义”，以便各有所获.
我们把“最近发展区”这个道理形象地比喻为“让学生跳起来摘果子吃”或叫“跳一跳，摘个桃”.学生站在地上直接摘桃子，能够达到的高度，就是现有水平；学生跳起来摘桃子达到的高度，称之为“准备水平”.“准备水平”与现有水平之间的差，就是“最近发展区”,适时适当地让学生“跳一跳”,对于锻炼他们的文化“体质”,确实是更加有效.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
在维果茨基看来，“最近发展区”对智力的发展和成功的进程，比现有水平有更直接的意义.他强调：教学不应该指望学生的昨天，而应指望他们的明天.只有走在发展最前端的教学，才是好的教学.因为它能够使学生的潜在发展水平不断地提高.
《普通高中数学课程标准（实验）》中有十个基本理念，其中一条：倡导积极主动、勇于探索的学习方式.学生对数学概念、结论、技能的学习不应只限于记忆、模仿和接受，《标准》还提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.这些方式有助于发挥学生学习的主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.同时，高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考，积极探索的习惯.高中数学课程应力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.让我们深刻地感觉到：理念无不呼应着文章开头所提出的一系列问题.因此，理念的实现离不开“最近发展区”理论的运用，教学中运用“最近发展区”理论才会更好地实现理念.
一、 “最近发展区”理论的教学实践
1. 教师应充分认识“最近发展区”的客观存在，善于精彩之处巧延伸学生的认知发展水平是一个由低级到高级、由简单到复杂的渐进过程，当前的新知识是从前面已有知识为基础发展、完善而来的，这标志着最近发展区的客观存在.“举一反三，触类旁通”说明了最近发展区的运用.
例1已知圆x2+y2=8内有一点P0（－1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
（1） 当α=34π时，求AB的长；
（2） 当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程.
延伸一、问题（2）也可转化为“过点P0的最短弦所在直线的方程”.
延伸二、由P0在圆内，此时过P0的所有弦均与圆相交，由此有这道题：已知直线l：kx―y―3k=0，圆M：x+y―8x―2y+9=0，则直线l与圆M的位置关系是（）
A.相交B.相切
C.相离D.由k值确定
延伸三、已知圆x2+y2=8内有一点P0（-1，2），求所有过点P0的弦的中点的轨迹方程.
可以令过点P0的弦的中点P的坐标为（x，y）（不包括P0），则有OP⊥P0P，所以有（x，y）•（x+1，y－2）=0，即x2+y2+x－2y=0，显然P0（－1，2）也满足此方程.
创新：当然对于本题我还想说的是，在椭圆中也有类似的题目，在解法上有什么异同，请同学们加以关注，加以比较.
2. 课堂教学中，运用“最近发展区”，适时之处巧变题
对于教材例题的讲学，由于有解答过程或思路显得简单，学生总是对例题教学不屑一顾，产生自得、满足之感，其思维往往处于“停止”状态，这时学生的兴奋、学习动机就会降低.如果老师挖掘出“最近发展区”，让其思维远离平衡状态，就可激发学生的探究动机，积极思维数学问题，建构成完善的知识结构.
例2已知曲线y=x3―x，求曲线在（1，0）处的切线方程.
解：由题意，y′=3x2―1，y′|x=1=2
∴ 曲线在（1，0）处的切线方程为y=2x―2.
在解完这道例题后，可试问：
变题：已知曲线y=x3―x，求经过（1，0）的切线方程.这时可解为：设切点为（x0，y0），则由y′=3x2－1，有斜率k=3x20－1，∴ 在（x0,y0）处的切线方程为y－y0=（3x20-1）（x－x0），又∵切点（x0,y0）在曲线上及点P（1，0）在切线上，
∴ y0=x30-x0
0-y0=（3x20-1）（1-x0）
∴ x0=1或x0=―12∴ k=2或-14.
∴ 经过（1，0）的切线方程为y=2x―2或y=-14x+14
评析：在“最近发展区”巧妙变题，使得学生思路自然，易接受，同时也能使学生巧妙辨别，寻找异同，在求异中寻找通解通法.在此题的解答中要注意点P（1，0）并非一定是切点，同时更要注意导数中切线的斜率的定义.
3.关键之处巧设疑，创设“最近发展区”，衔接上、下节教学内容
教师应善于发现教材中的各种联系，让学生由此及彼地学习知识，教学中必须在新课前给予学生时间回忆上一节课学习的内容.一节课结束后要提示下一节课将要学习的内容.提出思考问题，把课内和课外有机结合，并促使学生在课外自主探索，进行合作交流，丰富学生多样的数学学习方式.同时，促进系统知识的理解，缩小基础知识与高级知识的距离，促进更大的正迁移.如：
例3在椭圆的标准方程推导过程中，得到a－cx=a（x-c）2+y2，若变形为(x-c)2+y2a2c-x=ca，此处巧妙设疑，思考这个方程的几何意义，并提出合理猜想，然后因势利导，不知不觉地引入第二定义，让学生很轻松地接受了椭圆的第二定义.
评析：找准“最近发展区”，使得学生学得轻松，教者游刃而有余.
4.合理利用“最近发展区”，回味之时慎思辨
数学知识复习时，合理利用“最近发展区”，可激发学生分散零乱的“点的记忆”变为“线的记忆”，构成网络，使原有的认知结构系统化，促进知识与技能的掌握和应用.例如：
例4在复习了圆的参数方程，研究椭圆的参数方程时，由椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1，联想到cos2θ+sin2θ=1，自然想到，可令xa=cosθ，yb=sinθ，则有椭圆的参数方程为x=acosθ
y=bsinθ，（θ∈（0，2π］，θ为参数），思路自然，但θ是否仍有圆中的参数的几何意义吗？通过阅读例题，学生茅塞顿开.
评析：使用“最近发展区”，过渡自然，但是在求同中更要求异.使学生的认知结构系统化.
二、 应用“最近发展区”教学时的几点注意
1. 依据“最近发展区”的思想，捕捉“最佳期限”.
“最近发展区”是教学发展的“最佳期限”，即“发展教学最佳期限”.即在最佳期限内进行的教学是促进学生发展最佳的教学.教学应根据“最近发展”.“如果只根据学生智力发展的现有水平来确定教学目的、任务和组织教学，就是指望于学生发展的昨天，面向已经完成的发展程”.这样的教学，从发展意义上说是消极的.它不会促使学生发展.教学过程只有建立在那些尚未成熟的心理机能上，才能产生潜在水平和现有水平之间的矛盾，而这种矛盾又可引起学生心理机能间的矛盾，从而推动学生的发展.
2. 依据“最近发展区”教学也应采取适应的手段.
教师借助教学方法、手段，引导学生掌握新知识，形成技能、技巧.要实现这一目的关键在“最近发展”区域，因此，教学方法、手段应考虑“最近发展区”.如：在“解三角形”教学，可先带领学生做教学实验，让学生应用已有的知识，测量校园内国旗旗杆的高，这样吸引学生，让他们感兴趣：旗杆不能爬，怎样测量呢？心里感到纳闷，这时教师可以充分利用学校的资源，带领学生进行实地测量，得到一些数据.怎样处理这些数据，当然学生未学解三角形知识是不懂的.这样必然会引起学生的心理机能的矛盾，再顺水推舟，然后回到课堂.这样比单一的教学方法效果好，从而达到培养他们注意自己不感兴趣的东西的目的.
3. 根据“最近发展区”教学必须遵循因材施教的原则.
从学生整体而言，比如一个班，教学应面向大多数学生，使教学的深度为大多数学生经过努力所能接受.这就得从大多数学生的实际出发，考虑他们整体的现有水平和潜在水平，正确处理教学中的难与易、快与慢、多与少的关系，使教学的内容和进度符合学生整体的“最近发展区”.如遇到较难的章节时，教师可以适当添加一些为大多数学生所能接受的例题，不一定全部按照课本的照搬，防止“本本主义”，以便各有所获.
我们把“最近发展区”这个道理形象地比喻为“让学生跳起来摘果子吃”或叫“跳一跳，摘个桃”.学生站在地上直接摘桃子，能够达到的高度，就是现有水平；学生跳起来摘桃子达到的高度，称之为“准备水平”.“准备水平”与现有水平之间的差，就是“最近发展区”,适时适当地让学生“跳一跳”,对于锻炼他们的文化“体质”,确实是更加有效.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文