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摘要：在小学数学中，学生在解答“最多”和“至少”这一类题型时往往因为对问题解读不到位，出现解题困难。因此，引导学生去辨析问题中的“最多”和“至少”的意义对解题至关重要。同时，“最多”和“至少”这类题型往往与生活实际相联系，因此在教学过程中，教师以创设情境的方式引导学生理解“最多”和“至少”，能有效地提高学生的思维能力，引导学生解决问题。
关键词：小学数学;“最多”;“至少”;数学教学
解决问题关键是对信息做出解读，这个能力非常重要。本次课程聚焦解决问题领域，研究的课例是《有余数除法解决问题》，例题内容为：22个学生去划船，每条船最多坐4人，他们至少要租多少条船？
教学中学生自主尝试后，就把坐满的5条船当作至少的答案，这是为什么呢？首先学生觉得5比6要少，其次学生觉得第6条船租来就浪费了，应该舍去。
这个例题的信息中的“最多”和“至少”这两个词语，字面解读很简单，但是结合具体情境需要“去尾”还是“进一”的时候学生就出现了困难。对于二年级的学生而言，他们刚接触有余数的除法，本身对余数的理解就有些困难，再加上还要思考如何调整余数，可谓是难上加难。可见，学生的理解不能单单停留在词语的字面理解上，那么教师如何结合情境让学生能更好地理解词语的意思，提升学生的数学思维能力呢？
一、问题的剖析
（一）追根溯源，找出学生的起点
《有余数除法解决问题》需要结合具体的情境，一般题目表征同时呈现“最多”和“至少”，其实“最多”和“至少”这两个词语在数学学习中出现频率还是比较高的。
据笔者统计，“最多”第一次出现在一年级下册（如图1），这里的“最多”通过让学生圈一圈，画一画，辨一辨得到答案。此外，在练习中出现了与“最多”意义相同的词——“限载”（如图2），学生在理解“限载”的时候，一般会有两种想法：一种是只能坐60人，一种是最多坐60人，一年级的学生通过辨析，也理解过最多坐60人的意思。
“至少”最早渗透在同数连减课堂练习中，但没有再直接出现。
如：20只小兔，6只住一个小屋，3间小屋够吗？
再如：妈妈买了18个梨，4个装1袋，需要（ ）个袋子才能全部装完？
学生是利用圈一圈，画一画来解决问题，图（3）是一年级学习同数连减后学生探究作业的部分作品。
综上所述，二年级学生已有一定的学习经验和基础，但是情境分析是难点，之前的学习中，“最多”和“至少”都是单独出现的，问题指向比较清晰。而二年级《有余数除法解决问题》中是同时呈现的，且信息中的“最多”不是一个数，而是一个范围，学生理解起来有困难。另外“至少”学生的理解误区是认为每条坐满的船只才是需要租赁的船只，这是学生对于问题辨析的混淆。
（二）序列分析，体现解读的必要
从上表不难发现，“最多”“至少”贯穿整个小学学习阶段。分布脉络清晰，可以分成三条主线。第一条有余数除法，需要学生对余数根据实际情况做出合理处理;第二条，在学习了几何图形以后，求周长、总棱长、表面积等，但这块内容，“至少”更多是为了说明材料的损耗忽略不计。
如：一个长、宽、高分别为40cm、30cm、20cm的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？
第一条，学生在二年级的时候经常会出现情境分析不明确，导致最终结果判定失误，但随着学生生活经验的不断积累，学生最终能够合理处理;第二条，几何图形的学习没有什么大的问题，这也说明选择合适的情景更有利于学生对这两个词语的理解。
第三条，在处理四年级上册的运筹问题、五年级下册的找次品问题以及六年级下册的鸽巢问题时，解决问题时都要考虑“至少”的问题，需要在多种解决方案中寻找最佳最优的策略。但这块内容也是教师最费心思的。究其原因，就是学生对“至少”“最多”理解不到位。
如：五年级下册利用最大公因数、最小公倍数来解决问题。学生很容易抓住关键词“最多…‘至少”来进行解决。但很多学生仅仅着眼于关键词。例如下面這组题目：
1.用48盒核桃和36盒开心果装成礼盒装，且正好装完，如果各礼盒装中的核桃和开心果的盒数分别相同，每盒礼盒装里至少有几盒核桃，几盒开心果？
2.把一张长20厘米，宽12厘米的长方形截成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以截（4 12 15 60）。
对于这两题解答情况我们做了抽样分析，第1题正确率为37.8%，主要原因是很多学生看到“至少”就下意识地求最小公倍数;第2题正确率85.3%，也有部分学生看到“至少”直接求最小公倍数，但也有看到“尽可能大”求最大公因数。这恰恰证明了他们并没有真正理解“至少”在这些题中的含义。
二、解决策略
（一）关注情境创设，放大多元表征
课前针对性地对学生进行前测，“46个同学去春游，每辆车限坐8人，至少需要用几辆车？”目的是想了解学生的图示表征、分析问题和解决问题的能力。 基于教材和前测分析，大多数学生还是能很好地理解，只有部分学生还存在困惑。调查发现这部分学生不明白46人要全部上车，只关注了问题中的“至少”两字，认为剩余的人不上车才能达到车辆最少。这部分学生对于有余数除法算式各部分意义不够理解，所以在设计学习任务的时候创设了有效的情境吸引学生自主参与，也有利于学习过程中的动态生成，在较短时间内解决问题。所以，我们两节课分别设计了以“租船问题”“烘焙房中的数学问题”为情境依托展开任务设计。
“烘焙店里有22个香甜面包，每包最多装4个，至少需要装多少包？”
“22个学生去划船，每条船限乘4人。他们至少要租多少条船？”
对于余数的调整都是放在具体情境中展开的，激起学生探究的欲望，有效引导学生具象表征，包括图示表征、语言表征和算式表征，然后做具体的分析沟通。 （二）厘清任务指向，分散学习难点
让学生解读信息之后，通常教师就让学生尝试解决问题。但是这个问题相对来说比较难以理解，所以教师要帮助学生一起解读，并进一步厘清任务的指向。
首先学生找完信息后，先确认乘船人数，必须“全部上船”;再解读信息“限乘”，学生的回答不外乎两种：只能坐4人或最多坐4人，那么这两种答案有区别吗？要让学生进一步辨析，才能更好地引导学生对“限乘”和“最多”的对接。然后再把“限乘”改为“最多”，最多4人，就是不能超过4人，可以坐4人，也可以坐少于4人。那么要使船最少，又该怎么坐呢？引导学生思考必须“尽量坐满”，抓住这两条，学生在具体图示表征的时候就有了抓手，不会偏离方向。
通过图示表征和算式表征，然后比较辨析理解“ 1”。学生通过数形结合，自主体验：画一画、写一写、算一算、比一比，使不同思维水平的学生以不同的方式寻求答案，然后进行汇集，交流，促使学生更好地理解：只有尽量每条船坐满，才会出现船的数量最少，从而更好地理解了“至少…‘进1”的道理，掌握解决问题的方法。从而让学生经历和体验了数学知识，从生活经验与常识中的提炼和发展。
（三）题组对比强化，丰富情境体验
一个例题被解决了，并不代表学生就学会了，教师要通过丰富的情境模拟，使学生对具体的情境有一定的辨析力。通过题组对比、快速选择等，进一步让学生内化“最多”“至少”，拓展知识，锻炼思维。
1.有17元钱，买3元一本的笔记本，最多可以买几本笔记本？
17÷3=5（本）……2（元）
2.春游搭帐篷，一共有17人，每個帐篷住3人，至少要搭几顶帐篷？
17÷3=5（顶）……2（人）
5 1=6（顶）
总之，学习需要引导学生主动参与学习的全过程，在经历知识的形成过程中感悟，在感悟中思考，在思考中锻炼思维、建构知识。但教师也应该明白很多问题应关注序列、关注细节。让教师和学生一起经历知识获取的过程，与学生共同分享获得知识的快乐。
■参考文献
[1]陈瑛.让学生经历数学知识形成的过程[J].福建基础教育研究，2014（09）.
[2]邵陈标.经历“数学化”凸显“有效性”——“有余数除法”教学案例分析[J].辽宁教育，2007（11）.
关键词：小学数学;“最多”;“至少”;数学教学
解决问题关键是对信息做出解读，这个能力非常重要。本次课程聚焦解决问题领域，研究的课例是《有余数除法解决问题》，例题内容为：22个学生去划船，每条船最多坐4人，他们至少要租多少条船？
教学中学生自主尝试后，就把坐满的5条船当作至少的答案，这是为什么呢？首先学生觉得5比6要少，其次学生觉得第6条船租来就浪费了，应该舍去。
这个例题的信息中的“最多”和“至少”这两个词语，字面解读很简单，但是结合具体情境需要“去尾”还是“进一”的时候学生就出现了困难。对于二年级的学生而言，他们刚接触有余数的除法，本身对余数的理解就有些困难，再加上还要思考如何调整余数，可谓是难上加难。可见，学生的理解不能单单停留在词语的字面理解上，那么教师如何结合情境让学生能更好地理解词语的意思，提升学生的数学思维能力呢？
一、问题的剖析
（一）追根溯源，找出学生的起点
《有余数除法解决问题》需要结合具体的情境，一般题目表征同时呈现“最多”和“至少”，其实“最多”和“至少”这两个词语在数学学习中出现频率还是比较高的。
据笔者统计，“最多”第一次出现在一年级下册（如图1），这里的“最多”通过让学生圈一圈，画一画，辨一辨得到答案。此外，在练习中出现了与“最多”意义相同的词——“限载”（如图2），学生在理解“限载”的时候，一般会有两种想法：一种是只能坐60人，一种是最多坐60人，一年级的学生通过辨析，也理解过最多坐60人的意思。
“至少”最早渗透在同数连减课堂练习中，但没有再直接出现。
如：20只小兔，6只住一个小屋，3间小屋够吗？
再如：妈妈买了18个梨，4个装1袋，需要（ ）个袋子才能全部装完？
学生是利用圈一圈，画一画来解决问题，图（3）是一年级学习同数连减后学生探究作业的部分作品。
综上所述，二年级学生已有一定的学习经验和基础，但是情境分析是难点，之前的学习中，“最多”和“至少”都是单独出现的，问题指向比较清晰。而二年级《有余数除法解决问题》中是同时呈现的，且信息中的“最多”不是一个数，而是一个范围，学生理解起来有困难。另外“至少”学生的理解误区是认为每条坐满的船只才是需要租赁的船只，这是学生对于问题辨析的混淆。
（二）序列分析，体现解读的必要
从上表不难发现，“最多”“至少”贯穿整个小学学习阶段。分布脉络清晰，可以分成三条主线。第一条有余数除法，需要学生对余数根据实际情况做出合理处理;第二条，在学习了几何图形以后，求周长、总棱长、表面积等，但这块内容，“至少”更多是为了说明材料的损耗忽略不计。
如：一个长、宽、高分别为40cm、30cm、20cm的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？
第一条，学生在二年级的时候经常会出现情境分析不明确，导致最终结果判定失误，但随着学生生活经验的不断积累，学生最终能够合理处理;第二条，几何图形的学习没有什么大的问题，这也说明选择合适的情景更有利于学生对这两个词语的理解。
第三条，在处理四年级上册的运筹问题、五年级下册的找次品问题以及六年级下册的鸽巢问题时，解决问题时都要考虑“至少”的问题，需要在多种解决方案中寻找最佳最优的策略。但这块内容也是教师最费心思的。究其原因，就是学生对“至少”“最多”理解不到位。
如：五年级下册利用最大公因数、最小公倍数来解决问题。学生很容易抓住关键词“最多…‘至少”来进行解决。但很多学生仅仅着眼于关键词。例如下面這组题目：
1.用48盒核桃和36盒开心果装成礼盒装，且正好装完，如果各礼盒装中的核桃和开心果的盒数分别相同，每盒礼盒装里至少有几盒核桃，几盒开心果？
2.把一张长20厘米，宽12厘米的长方形截成同样大小，面积尽可能大的正方形，纸没有剩余，至少可以截（4 12 15 60）。
对于这两题解答情况我们做了抽样分析，第1题正确率为37.8%，主要原因是很多学生看到“至少”就下意识地求最小公倍数;第2题正确率85.3%，也有部分学生看到“至少”直接求最小公倍数，但也有看到“尽可能大”求最大公因数。这恰恰证明了他们并没有真正理解“至少”在这些题中的含义。
二、解决策略
（一）关注情境创设，放大多元表征
课前针对性地对学生进行前测，“46个同学去春游，每辆车限坐8人，至少需要用几辆车？”目的是想了解学生的图示表征、分析问题和解决问题的能力。 基于教材和前测分析，大多数学生还是能很好地理解，只有部分学生还存在困惑。调查发现这部分学生不明白46人要全部上车，只关注了问题中的“至少”两字，认为剩余的人不上车才能达到车辆最少。这部分学生对于有余数除法算式各部分意义不够理解，所以在设计学习任务的时候创设了有效的情境吸引学生自主参与，也有利于学习过程中的动态生成，在较短时间内解决问题。所以，我们两节课分别设计了以“租船问题”“烘焙房中的数学问题”为情境依托展开任务设计。
“烘焙店里有22个香甜面包，每包最多装4个，至少需要装多少包？”
“22个学生去划船，每条船限乘4人。他们至少要租多少条船？”
对于余数的调整都是放在具体情境中展开的，激起学生探究的欲望，有效引导学生具象表征，包括图示表征、语言表征和算式表征，然后做具体的分析沟通。 （二）厘清任务指向，分散学习难点
让学生解读信息之后，通常教师就让学生尝试解决问题。但是这个问题相对来说比较难以理解，所以教师要帮助学生一起解读，并进一步厘清任务的指向。
首先学生找完信息后，先确认乘船人数，必须“全部上船”;再解读信息“限乘”，学生的回答不外乎两种：只能坐4人或最多坐4人，那么这两种答案有区别吗？要让学生进一步辨析，才能更好地引导学生对“限乘”和“最多”的对接。然后再把“限乘”改为“最多”，最多4人，就是不能超过4人，可以坐4人，也可以坐少于4人。那么要使船最少，又该怎么坐呢？引导学生思考必须“尽量坐满”，抓住这两条，学生在具体图示表征的时候就有了抓手，不会偏离方向。
通过图示表征和算式表征，然后比较辨析理解“ 1”。学生通过数形结合，自主体验：画一画、写一写、算一算、比一比，使不同思维水平的学生以不同的方式寻求答案，然后进行汇集，交流，促使学生更好地理解：只有尽量每条船坐满，才会出现船的数量最少，从而更好地理解了“至少…‘进1”的道理，掌握解决问题的方法。从而让学生经历和体验了数学知识，从生活经验与常识中的提炼和发展。
（三）题组对比强化，丰富情境体验
一个例题被解决了，并不代表学生就学会了，教师要通过丰富的情境模拟，使学生对具体的情境有一定的辨析力。通过题组对比、快速选择等，进一步让学生内化“最多”“至少”，拓展知识，锻炼思维。
1.有17元钱，买3元一本的笔记本，最多可以买几本笔记本？
17÷3=5（本）……2（元）
2.春游搭帐篷，一共有17人，每個帐篷住3人，至少要搭几顶帐篷？
17÷3=5（顶）……2（人）
5 1=6（顶）
总之，学习需要引导学生主动参与学习的全过程，在经历知识的形成过程中感悟，在感悟中思考，在思考中锻炼思维、建构知识。但教师也应该明白很多问题应关注序列、关注细节。让教师和学生一起经历知识获取的过程，与学生共同分享获得知识的快乐。
■参考文献
[1]陈瑛.让学生经历数学知识形成的过程[J].福建基础教育研究，2014（09）.
[2]邵陈标.经历“数学化”凸显“有效性”——“有余数除法”教学案例分析[J].辽宁教育，2007（11）.