【摘要】对称，分为点对称、图象本身对称和图象与图象之间对称。利用这些对称解有关函数题灵巧简捷，使函数问题直观明朗，变抽象为简单。
　　【关键词】对称 图象 函数
　　对称性是函数的重要性质，在解函数题时，把握好这一性质，解题会事半公倍。函数图象的对称有如下几种：
　　1.点的对称
　　设点P（x ，y）是直角坐标系内任意一点，则
　　（1）点P（x ，y）关于x轴的对称点为P₁（x ，-y）；
　　（2）点P（x ，y）关于y轴的对称点为P₂（-x ，y）；
　　（3）点P（x ，y）关于原点的对称点为P₃（-x，-y）；
　　（4）点P（x ，y）关于直线y=x的对称点为P₄（y ，x）。
　　2.函数图象本身具有的对称
　　（1）偶函数y=f（x） 的图象关于y轴对称。满足 恒成立（图1）。
　　（2）奇函数y=f（x） 的图象关于x 轴对称。满足 恒成立（图2）。
　　（3）函数y=f（x） 的图象关于直线 x=a（a ∈R）对称。满足f（a-x）=f（a+x） 恒成立（图3）。
　　3.函数与函数图象之间的对称
　　（1）函数y=f（x）与函数y=-f（x） 的图象关于x轴对称，即以-y代换y；
　　（2）函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图象关于y轴对称，即以-x代换为x；
　　（3）函数y=f（x）与函数y=-f（x）的图象关于原点对称，即以-x、-y分别代换x， y；
　　（4）函数y=f（x）与函数y=-f-1（x）的图象关于直线y=x对称，即x与y互换。
　　例1：将函数y=f（x）的图象向左平移a（a>0）个单位于得到图象C₁，且C₁和C₂的图象关于原点对称，求C₂的解析式。
　　解：∵ 函数y=f（x）的图象向左平移a（a>0）个单位于得到图象C₁
　　∴ C₁的解析式为：y=f（x+a）
　　∵ C₁和C₂的图象关于原点对称
　　∴ C₂的解析式为： -y=f（-x+a）
　　即y=-f（a-x）
　　例2：已知函数y=2x-1与y=g（x）的图象关于y轴对称，求y=g（x）的表达式。
　　解：以-x代换y=-2x-1中的x，得：
　　g（x）=-2x-1
　　例3：函数f（x）在（-∞，+∞）上为奇函数，且当x∈（-∞，0]时，f（x）=x（x-1），
　　求x∈（0，+∞）时，f（x）的表达式。
　　解：∵ 函数f（x）在（-∞，+∞）上为奇函数
　　∴y=f（x） 的图象关于原点对称
　　以-x和-f（x） 分别代换f（x）=x（x-1） 中的x和f（x），得：
　　-f（x）=-x（-x-1）
　　∴当x∈（0，+∞）时，f（x）=-x（x+1）
　　例4：点P（0，1）和Q（2，3）都在函数y=ax+b 的反函数图象上，求a、b的值。
　　解：∵函数y= ax+b图像与它的反函数图象关于直线y=x对称
　　∴P（0，1）和Q（2，3）关于直线y=x对称点为P₁（1，0）和Q₁（3，2）
　　∵P₁和Q必在函数y=ax+b的图象上
　　∴a+b=03a+b=2解之，得a=2b=-2
　　例5：设有三个函数，第一个函数是y=g（x），它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0 对称，求第三个函数的的表达式。
　　解：设P₁（x ，y）是第一个函数y=g（x） 图象上的任意一点，则依题意P₂（y ，x）是第二个函数图象上的点
　　∵ P₂（y ，x）关于直线x+y=0的对称点P₃（-x，-y）在第三个的函数的图象上
　　∴第一个函数的图象与第三个函数的图象关于原点对称
　　∴第三个的函数的表达式为y=-g（-x）
　　例6：已知函數y=f（x），x∈R，满足f（x-2） =f（8-x）且f（0）=1，求f（6）.
　　解：∵f（x-2）=f（8-x）
　　∴函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称
　　∵（0，1）关于直线x=3对称的点坐标为（6，1）
　　∴f（6）=1
　　纵观上述，利用有关函数图象的对称性解某些函数题，更突显解题方法的灵巧简捷。它将函数图象直观简单化、函数问题直观明朗化，以形助数，探索解题思路。当然，解题时还应做到沉着冷静、认真审题；抽象问题具体化、复杂问题简单化；积极思考，确定解题策略并付出诸实施。只有这样 “协同作战”，才能有效地解决题目中的问题。