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导言：前面我们学习了四种命题之间的关系，我们知道，将一个命题“若p则q”的条件与结论交换，并同时否定所得到的新命题“若｢q则｢p”就是原命题的逆否命题，根据这一法则，请同学们写出命题：“若a，b全为0，则ab=0”的逆否命题，抽一名中等水平的学生甲在黑板上写出，其余学生在下面练习。
学生甲写出的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0且b≠0”。
教师：请同学们根据自己的思考，试判断学生甲写出的逆否命题是对还是错?
学生乙：甲写出的逆否命题正确!
教师：请你(学生乙)说明你的判断理由。
学生乙：因为一个命题与它的逆否命题同真同假。原命题“若a，b全为0，则ab=0”是一个真命题，它的逆否命题也应该是一个真命题。当ab≠0时，只有a≠0且b≠0才是真命题，因此，甲写出的逆否命题是正确的。
教师：学生乙的分析有一定的道理，对他所作出的判断有没有相反的意见?
学生丙：有!我认为学生甲写出的逆否命题是错误的，其理由是：原命题中条件“a，b全为0”的否定不应该是“a≠0且b≠0”，而应该是“a，b不全为0”，因此，所给命题的逆否命题应该是：“若ab≠0，则a，b不全为0”。
教师：你(学生丙)能不能将理由说得更加具体一些?
学生丙：我还没有深入考虑，只能说到这个层次。
乙丙两位同学的发言都有道理，谁对谁非教师暂时不作裁决，让他们再继续思考。
教师：甲丙两同学给出了两个不同的答案，究竟哪一个答案对呢?还有没有其它的答案呢?
教师趁势提出以下两个问题，让学生练习。
问题1：写出命题“若a≠0，b=0，则ab=0”的逆否命题。
问题2：写出命题“若a=0，b≠0，则ab=0”的逆否命题。
让两个学生(学生丁解答问题1，学生戊解答问题2)在黑板上写出，其余学生在下面练习。
学生丁对问题1写出的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0且b≠0”。
学生戊对问题2写出的逆否命题也是：“若ab≠0，则a≠0且b≠0”。
教师：学生丁、戊写出的结论对吗?
学生己：丁、戊两位同学写出的逆否命题都正确。
教师：请你(学生乙)说说判断理由。
学生己：因为一个命题与它的逆否命题同真同假，问题1、2给出的原命题都是真命题，它们的逆否命题也应该是真命题。当ab≠0时，只有a≠0且b≠0时才是真命题，因此，丁、戊两位同学写出的逆否命题都是正确的。
教师：还有没有相反的判断结论。
学生庚：有!我认为丁、戊两位同学写出的结论都是错的。
教师：为什么?
学生庚：我觉得问题1的条件“a≠0，b=0”的否定应是“a=0或b≠0”；问题2的条件“a=0，b≠0”的否定应是“a≠0或b=0”，因此，问题1的逆否命题应该是“若ab≠0，则a=0或b≠0”；问题2的逆否命题应是：“若ab≠0，则a≠0或b=0”。
教师：你(学生庚)能不能把理由再说得详细一点?
学生庚：还没有思考成熟。
教师：请大家再考虑，到底是学生已的判断正确，还是学生庚的判断正确?
此时，学生各执一词，有的说学生乙的判断对，有的说学生庚的判断对，还有的说学生乙和学生庚的判断都对，因为他们说得都有道理。这时，该由老师作裁决了。
裁决1：我们知道，原命题和它的逆否命题是互为逆否的关系，当我们把逆否命题作为原命题时，它的逆否命题就是原命题，学生甲、丁、戊对三个不同的命题
“若a=0且b=0，则ab=0” (1)
“若a≠0且b=0，则ab=0” (2)
“若a=0且b≠0，则ab=0” (3)
写出的逆否命题都是同一个命题：“若ab≠0，则a≠0且b≠0” (4)
我们把命题(4)作为原命题，则它的逆否命题就应该是(1)(2)(3)，这样就出现了一个命题存在三个逆否命题，究竟取哪一个?三个都对吗?三个都对显然不可能，因为“a≠0且b≠0”的否定是唯一的，它的否定应该是“a=0或b=0”，而不应该是“a=0且b=0；a≠0且b=0；a=0且b≠0”，因此，甲、乙、丙三个同学写出的逆否命题都是错误的。
裁决2：一个命题的逆否命题的条件应该是原命题结论的否定，逆否命题结论应是原命题条件的否定，对于原命题：“若a，b全为0，则ab=0”，其结论“ab=0”的否定应是“ab≠0”，这一点无可厚非。关键是条件“a，b全为0”的否定应该是什么?下面我们对此进行全面的分析：“a，b全为0”即是“a=0且b=0”，其否定应该是“a，b不全为0”，所以，学生丙的答案是正确的，同理可以分析学生庚的判断是正确的，请同学们课后去分析。
裁决3：学生丙写出的逆否命题“若ab≠0，则a，b不全为0”是一个真命题，a，b不全为0就是a，b中至少有一个不等于0，也就是a≠0或b≠0，它包含三种情况：①a≠0，b=0；②a=0，b≠0；③a≠0，b≠0。由ab≠0可推出“a≠0且b≠0”为真；由“a≠0且b≠0”为真可推出“a≠0或b≠0”为真，因此，命题“若ab≠0，则a，b不全为0”是一个真命题，这说明学生丙的答案没有违背一个命题与它的逆否命题同真同假这一规律。
裁决4：写一个命题“若p则q”的逆否命题“若｢q则｢p”。我们不能够根据写出的命题与原命题同真同假作为逆否命题的判断依据，一个命题与原命题同真同假只是一个命题是原命题的逆否命题的一个必要条件，而不是充要条件，判断逆否命题的标准应该是从定义出发，逆否命题的条件应是原命题的结论的否定，逆否命题的结论应该是原命题的条件的否定。这才是判断的依据。例如：命题“若ab≠0，则a≠0且b≠0”与原命题“若a，b全为0，则ab=0”同为真命题，但是，它并不是原命题的逆否命题，因为“a≠0且b≠0”不是原命题条件“a，b全为0”的否定。写一个命题“若p则q”的逆否命题“若｢q则｢p”。其关键在于正确地写出非p和非q，对于含有量词的全称命题和存在性命题，它们的否定要仔细推敲。
一般地，关于存在性命题q：存在x∈A，使q(x)成立，它的否命题是｢q：对任意x∈A，都使q(x)不成立。
关于全称命题p：对任意x∈A，都有p(x)成立，它的否命题是｢p：对任意x∈A，都使p(x)不成立。
通过学生的辨析和教师给出的四个裁决，学生不仅明白了命题“若a，b全为0，则ab=0”的逆否命题正误的判定方法和理由，而且对一般的全称命题和存在性命题的逆否命题该这样写也有了一定程度的认识。
学生甲写出的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0且b≠0”。
教师：请同学们根据自己的思考，试判断学生甲写出的逆否命题是对还是错?
学生乙：甲写出的逆否命题正确!
教师：请你(学生乙)说明你的判断理由。
学生乙：因为一个命题与它的逆否命题同真同假。原命题“若a，b全为0，则ab=0”是一个真命题，它的逆否命题也应该是一个真命题。当ab≠0时，只有a≠0且b≠0才是真命题，因此，甲写出的逆否命题是正确的。
教师：学生乙的分析有一定的道理，对他所作出的判断有没有相反的意见?
学生丙：有!我认为学生甲写出的逆否命题是错误的，其理由是：原命题中条件“a，b全为0”的否定不应该是“a≠0且b≠0”，而应该是“a，b不全为0”，因此，所给命题的逆否命题应该是：“若ab≠0，则a，b不全为0”。
教师：你(学生丙)能不能将理由说得更加具体一些?
学生丙：我还没有深入考虑，只能说到这个层次。
乙丙两位同学的发言都有道理，谁对谁非教师暂时不作裁决，让他们再继续思考。
教师：甲丙两同学给出了两个不同的答案，究竟哪一个答案对呢?还有没有其它的答案呢?
教师趁势提出以下两个问题，让学生练习。
问题1：写出命题“若a≠0，b=0，则ab=0”的逆否命题。
问题2：写出命题“若a=0，b≠0，则ab=0”的逆否命题。
让两个学生(学生丁解答问题1，学生戊解答问题2)在黑板上写出，其余学生在下面练习。
学生丁对问题1写出的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0且b≠0”。
学生戊对问题2写出的逆否命题也是：“若ab≠0，则a≠0且b≠0”。
教师：学生丁、戊写出的结论对吗?
学生己：丁、戊两位同学写出的逆否命题都正确。
教师：请你(学生乙)说说判断理由。
学生己：因为一个命题与它的逆否命题同真同假，问题1、2给出的原命题都是真命题，它们的逆否命题也应该是真命题。当ab≠0时，只有a≠0且b≠0时才是真命题，因此，丁、戊两位同学写出的逆否命题都是正确的。
教师：还有没有相反的判断结论。
学生庚：有!我认为丁、戊两位同学写出的结论都是错的。
教师：为什么?
学生庚：我觉得问题1的条件“a≠0，b=0”的否定应是“a=0或b≠0”；问题2的条件“a=0，b≠0”的否定应是“a≠0或b=0”，因此，问题1的逆否命题应该是“若ab≠0，则a=0或b≠0”；问题2的逆否命题应是：“若ab≠0，则a≠0或b=0”。
教师：你(学生庚)能不能把理由再说得详细一点?
学生庚：还没有思考成熟。
教师：请大家再考虑，到底是学生已的判断正确，还是学生庚的判断正确?
此时，学生各执一词，有的说学生乙的判断对，有的说学生庚的判断对，还有的说学生乙和学生庚的判断都对，因为他们说得都有道理。这时，该由老师作裁决了。
裁决1：我们知道，原命题和它的逆否命题是互为逆否的关系，当我们把逆否命题作为原命题时，它的逆否命题就是原命题，学生甲、丁、戊对三个不同的命题
“若a=0且b=0，则ab=0” (1)
“若a≠0且b=0，则ab=0” (2)
“若a=0且b≠0，则ab=0” (3)
写出的逆否命题都是同一个命题：“若ab≠0，则a≠0且b≠0” (4)
我们把命题(4)作为原命题，则它的逆否命题就应该是(1)(2)(3)，这样就出现了一个命题存在三个逆否命题，究竟取哪一个?三个都对吗?三个都对显然不可能，因为“a≠0且b≠0”的否定是唯一的，它的否定应该是“a=0或b=0”，而不应该是“a=0且b=0；a≠0且b=0；a=0且b≠0”，因此，甲、乙、丙三个同学写出的逆否命题都是错误的。
裁决2：一个命题的逆否命题的条件应该是原命题结论的否定，逆否命题结论应是原命题条件的否定，对于原命题：“若a，b全为0，则ab=0”，其结论“ab=0”的否定应是“ab≠0”，这一点无可厚非。关键是条件“a，b全为0”的否定应该是什么?下面我们对此进行全面的分析：“a，b全为0”即是“a=0且b=0”，其否定应该是“a，b不全为0”，所以，学生丙的答案是正确的，同理可以分析学生庚的判断是正确的，请同学们课后去分析。
裁决3：学生丙写出的逆否命题“若ab≠0，则a，b不全为0”是一个真命题，a，b不全为0就是a，b中至少有一个不等于0，也就是a≠0或b≠0，它包含三种情况：①a≠0，b=0；②a=0，b≠0；③a≠0，b≠0。由ab≠0可推出“a≠0且b≠0”为真；由“a≠0且b≠0”为真可推出“a≠0或b≠0”为真，因此，命题“若ab≠0，则a，b不全为0”是一个真命题，这说明学生丙的答案没有违背一个命题与它的逆否命题同真同假这一规律。
裁决4：写一个命题“若p则q”的逆否命题“若｢q则｢p”。我们不能够根据写出的命题与原命题同真同假作为逆否命题的判断依据，一个命题与原命题同真同假只是一个命题是原命题的逆否命题的一个必要条件，而不是充要条件，判断逆否命题的标准应该是从定义出发，逆否命题的条件应是原命题的结论的否定，逆否命题的结论应该是原命题的条件的否定。这才是判断的依据。例如：命题“若ab≠0，则a≠0且b≠0”与原命题“若a，b全为0，则ab=0”同为真命题，但是，它并不是原命题的逆否命题，因为“a≠0且b≠0”不是原命题条件“a，b全为0”的否定。写一个命题“若p则q”的逆否命题“若｢q则｢p”。其关键在于正确地写出非p和非q，对于含有量词的全称命题和存在性命题，它们的否定要仔细推敲。
一般地，关于存在性命题q：存在x∈A，使q(x)成立，它的否命题是｢q：对任意x∈A，都使q(x)不成立。
关于全称命题p：对任意x∈A，都有p(x)成立，它的否命题是｢p：对任意x∈A，都使p(x)不成立。
通过学生的辨析和教师给出的四个裁决，学生不仅明白了命题“若a，b全为0，则ab=0”的逆否命题正误的判定方法和理由，而且对一般的全称命题和存在性命题的逆否命题该这样写也有了一定程度的认识。