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【摘 要】排列组合作为高中数学的一个独立分支，因其解法独特且灵活多变，越来越广泛的被应用于高考、公务员考试中。在这一部分的教学过程中，教师应帮助学生理清思路，拓宽思维，避免在解题过程中出现“重复”和“遗漏”现象。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见的解题模型是十分必要的。
【关键词】排列 组合 解题策略
解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚这一问题是有序还是无序。其次，准确利用两个基本原理进行“分类或分步”，以下将结合具体的教学经验谈几点认识：
一、做好“两个基本原理”的教学
排列组合问题是建立在“两个基本原理”基础上的，掌握好“分类计数原理”和“分步计数原理”对解决好排列组合问题起着至关重要的作用。授课时，要结合实例让学生弄清本题要做一件什么事；怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，进而确定分多少步及多少类；接下来确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序）；最后根据“加法原理”和“乘法原理”进行求解。
例1：有三个旅行团分别从五个风景点中选择一处浏览，共有多少种不同的选法？
此问题的关键是弄清楚我们要做一件什么事？是让旅行团选风景点？还是给风景点安排旅行团？显然，从题目的要求来看，我们只要给三个旅行团分别安排一个风景点进行参观就可以完成这件事，因此分三步进行：分别给每一个旅行团安排一个风景点，三个步骤全部完成这件事才算完成，按乘法原理有5×5×5=(种)
例2：从北京到上海的航线有4条，从上海到香港的航线有2条，某人要从北京飞往香港，共有多少种不同的走法？
此问题的关键是此人无论走哪一条航线都必须先从北京到上海，再从上海到香港，即分两步进行；第一步：从北京到上海，有四条航线可供选择，即分成了四类，每一类都可以完成“从北京到上海”这一件事，不同的方法总数是4；第二步：从上海到香港，有两条航线可供选择，按照前一步的分析，不同的方法总数是2，最后按照乘法原理有4×2=8（种）。此题是“加法原理”和“乘法原理”的综合性问题。
二、做好“排列组合的区别与联系”的教学
在解决实际问题中要区分排列和组合，首先要弄清是否与顺序有关，排列与顺序有关，而组合与顺序无关。在进一步的教学中又会发现，排列和组合又是密切联系的，排列可以看作是先组合后排序的一种特殊组合形式，由排列数和组合数的公式可以进一步加深理解：。
例3：有3张电影票，5人同时被邀请去看电影，必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的安排方法？
此问题的关键在于“必须有人去，去几个人自行决定”，总共有3张电影票，所以最多可以去3人，最少去1人，因此，本题可以分为三类，即去1人、去2人、去3人，且去几个人与这几个人的顺序无关，因此是组合问题，共有（种）
例4：某信号兵用红、黄、蓝3面旗，从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
分析此问题，要引导学生想象海军信号兵的旗语，举起的旗子个数不同表示不同的信号，举起的旗子上下顺序不同也表示不同的信号，因此，本题是排列问题，信号可以分为三类，即1面旗、2面旗、3面旗，共(种)
三、几种常见的解题方法和策略
1、特殊元素和特殊位置问题
元素分析法和位置分析法是解决有附加条件的排列组合问题最基本的方法，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
例5、用0、1、2、3、4、5这五个数，可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？
此问题有两个特殊要求，一个是奇数，再一个是0不能排在首位也不能排在末尾，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排，完成这件事分成以下三步：
（1）排0的位置：0不能在首位和末尾，只能在中间的3个位置上，有种；
（2）排末尾数：可排在末尾的数有1、3、5三个数，从中选一个排在末尾，有种；
（3）最后把剩下的三个数排在剩余的位置上，有种，
由分步计数原理，共有没有重复数字的五位奇数3×3×6=54个
2、相邻相间问题
排列中经常要求某些元素相邻或者不相邻，要求某几个元素相邻的问题，可以用“捆绑法”来解决，即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列；要求某几个元素不相邻的问题，可以用“插空法”来解决，即先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻的元素插入中间和两端。
例6、6个同学站成一排，若要求甲、乙必须站在一起，丙、丁必须站在一起，则有多少种不同的排法？
分析：此题可先将甲乙捆绑成一个整体，同时将丙丁捆绑看作一个整体，再与剩下的两人进行排列，有种排法，其中甲乙这个整体内部也有种排法，丙丁这个整体内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。
例7、三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不能相邻，共有多少种不同的排法？
分析：可先让三个男生站好，共有种排法，再在这3人之间及其两端的4个“空隙”中插入四个女生，则有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。
3、间接法解决问题
在排列组合的学习过程中，有一些特别的词值得关注，如：“恰好”、“至多”、“至少”、“都不…”、“不都…”等等，这些问题往往从正面考虑比较复杂，而它的反面则比较简捷，因此可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。
例8：从3名男生和4名女生中选出3人，分别担任不同的班干部，若班干部中至少有1名男生，则有多少种不同的排法？
此题的关键在“至少”这个词上，遇到“至少”、“至多”问题，有两种常见的处理方法：
（1）将所有情况列出，最后用加法原理；
（2）从反面考虑，再从整体中淘汰。
解法一：（直接法）“至少有1名男生”即担任班干部的男生可以是1名、可以是2名，也可以是3名，由分类计数原理得，不同的安排方法有：(种)
解法二：（间接法）“至少有1名男生”的反面是“一个男生也没有”，故用总的方法数减去“一个男生也没有”的方
法数即得：(种)
4、先选后排问题
解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想，在选够满足条件的元素后再进行排列，做到不“不遗漏”、“不重复”。
例9：有5个不同的小球，装入4个不同的盒子里，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？
分析：5个球装入4个盒子，每个盒子里必须有球，则必有一个盒子里装入2个小球，因此第一步先从5个小球中选出2个小球组成一组装入同一个盒子，共有种方法；第二步将三个小球和一个“复合小球”共4个球分装到4个盒子中去，共有种方法，最后根据分步计数原理，装球的方法共有种。
以上把常见的几类排列组合问题进行了归纳小结，构造了相应的解决问题的模型，但在具体的解决问题中，还要认真分析题目的特征，灵活选择适当的解题方法，以便更加快速准确地求解。
四、结束语
在排列组合的教学中，要尽量例举生活中的实例，激发学生的学习兴趣，通过共同讨论，引导学生自主的分析问题，总结方法，在反复的训练过程中做到每一题都缜密思考，举一反三，这样再难的问题都可以迎刃而解了。
【关键词】排列 组合 解题策略
解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚这一问题是有序还是无序。其次，准确利用两个基本原理进行“分类或分步”，以下将结合具体的教学经验谈几点认识：
一、做好“两个基本原理”的教学
排列组合问题是建立在“两个基本原理”基础上的，掌握好“分类计数原理”和“分步计数原理”对解决好排列组合问题起着至关重要的作用。授课时，要结合实例让学生弄清本题要做一件什么事；怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，进而确定分多少步及多少类；接下来确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合问题（无序）；最后根据“加法原理”和“乘法原理”进行求解。
例1：有三个旅行团分别从五个风景点中选择一处浏览，共有多少种不同的选法？
此问题的关键是弄清楚我们要做一件什么事？是让旅行团选风景点？还是给风景点安排旅行团？显然，从题目的要求来看，我们只要给三个旅行团分别安排一个风景点进行参观就可以完成这件事，因此分三步进行：分别给每一个旅行团安排一个风景点，三个步骤全部完成这件事才算完成，按乘法原理有5×5×5=(种)
例2：从北京到上海的航线有4条，从上海到香港的航线有2条，某人要从北京飞往香港，共有多少种不同的走法？
此问题的关键是此人无论走哪一条航线都必须先从北京到上海，再从上海到香港，即分两步进行；第一步：从北京到上海，有四条航线可供选择，即分成了四类，每一类都可以完成“从北京到上海”这一件事，不同的方法总数是4；第二步：从上海到香港，有两条航线可供选择，按照前一步的分析，不同的方法总数是2，最后按照乘法原理有4×2=8（种）。此题是“加法原理”和“乘法原理”的综合性问题。
二、做好“排列组合的区别与联系”的教学
在解决实际问题中要区分排列和组合，首先要弄清是否与顺序有关，排列与顺序有关，而组合与顺序无关。在进一步的教学中又会发现，排列和组合又是密切联系的，排列可以看作是先组合后排序的一种特殊组合形式，由排列数和组合数的公式可以进一步加深理解：。
例3：有3张电影票，5人同时被邀请去看电影，必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的安排方法？
此问题的关键在于“必须有人去，去几个人自行决定”，总共有3张电影票，所以最多可以去3人，最少去1人，因此，本题可以分为三类，即去1人、去2人、去3人，且去几个人与这几个人的顺序无关，因此是组合问题，共有（种）
例4：某信号兵用红、黄、蓝3面旗，从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
分析此问题，要引导学生想象海军信号兵的旗语，举起的旗子个数不同表示不同的信号，举起的旗子上下顺序不同也表示不同的信号，因此，本题是排列问题，信号可以分为三类，即1面旗、2面旗、3面旗，共(种)
三、几种常见的解题方法和策略
1、特殊元素和特殊位置问题
元素分析法和位置分析法是解决有附加条件的排列组合问题最基本的方法，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。
例5、用0、1、2、3、4、5这五个数，可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？
此问题有两个特殊要求，一个是奇数，再一个是0不能排在首位也不能排在末尾，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排，完成这件事分成以下三步：
（1）排0的位置：0不能在首位和末尾，只能在中间的3个位置上，有种；
（2）排末尾数：可排在末尾的数有1、3、5三个数，从中选一个排在末尾，有种；
（3）最后把剩下的三个数排在剩余的位置上，有种，
由分步计数原理，共有没有重复数字的五位奇数3×3×6=54个
2、相邻相间问题
排列中经常要求某些元素相邻或者不相邻，要求某几个元素相邻的问题，可以用“捆绑法”来解决，即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列；要求某几个元素不相邻的问题，可以用“插空法”来解决，即先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻的元素插入中间和两端。
例6、6个同学站成一排，若要求甲、乙必须站在一起，丙、丁必须站在一起，则有多少种不同的排法？
分析：此题可先将甲乙捆绑成一个整体，同时将丙丁捆绑看作一个整体，再与剩下的两人进行排列，有种排法，其中甲乙这个整体内部也有种排法，丙丁这个整体内部也有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。
例7、三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不能相邻，共有多少种不同的排法？
分析：可先让三个男生站好，共有种排法，再在这3人之间及其两端的4个“空隙”中插入四个女生，则有种排法，根据乘法原理，共有种不同的排法。
3、间接法解决问题
在排列组合的学习过程中，有一些特别的词值得关注，如：“恰好”、“至多”、“至少”、“都不…”、“不都…”等等，这些问题往往从正面考虑比较复杂，而它的反面则比较简捷，因此可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。
例8：从3名男生和4名女生中选出3人，分别担任不同的班干部，若班干部中至少有1名男生，则有多少种不同的排法？
此题的关键在“至少”这个词上，遇到“至少”、“至多”问题，有两种常见的处理方法：
（1）将所有情况列出，最后用加法原理；
（2）从反面考虑，再从整体中淘汰。
解法一：（直接法）“至少有1名男生”即担任班干部的男生可以是1名、可以是2名，也可以是3名，由分类计数原理得，不同的安排方法有：(种)
解法二：（间接法）“至少有1名男生”的反面是“一个男生也没有”，故用总的方法数减去“一个男生也没有”的方
法数即得：(种)
4、先选后排问题
解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想，在选够满足条件的元素后再进行排列，做到不“不遗漏”、“不重复”。
例9：有5个不同的小球，装入4个不同的盒子里，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？
分析：5个球装入4个盒子，每个盒子里必须有球，则必有一个盒子里装入2个小球，因此第一步先从5个小球中选出2个小球组成一组装入同一个盒子，共有种方法；第二步将三个小球和一个“复合小球”共4个球分装到4个盒子中去，共有种方法，最后根据分步计数原理，装球的方法共有种。
以上把常见的几类排列组合问题进行了归纳小结，构造了相应的解决问题的模型，但在具体的解决问题中，还要认真分析题目的特征，灵活选择适当的解题方法，以便更加快速准确地求解。
四、结束语
在排列组合的教学中，要尽量例举生活中的实例，激发学生的学习兴趣，通过共同讨论，引导学生自主的分析问题，总结方法，在反复的训练过程中做到每一题都缜密思考，举一反三，这样再难的问题都可以迎刃而解了。