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摘要:反思是自觉地对教学认识活动进行考察、分析、总结、评价、调节的过程,反思是数学思维活动的核心和动力. 本文从反思解题的过程、不同方法、题目的结论以及题目的变形引申等方面入手,探讨在课堂解题中如何提高学生分析、解决问题的能力,从而达到提高学生的思维能力.
关键词:解题反思;思维的严谨性;发散思维;创造性思维;思维的深刻性
《新课标》指出:人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、反思与建构等思维过程,这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学习对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断. 同时提出,评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程,并改进学习方法”. 新的数学教育理念认为:数学是过程,是活动,学数学就是做数学,就是去解决一个问题,获得一种体验. 数学知识的学习和能力的培养很多都是通过解题过程来体现的. 解题过程的反思,实际是解题学习的信息反馈调控阶段,通过反思,有利于学生深层次的建构;通过反思,可以深化对问题的理解,优化思维过程,揭示问题本质,探索一般规律;通过反思,可以沟通知识间的相互联系,从而促进知识的进化和迁移,产生新的发现,通过培养学生的解题反思,对提高学生的思维能力无疑有很大的帮助.
反思解题过程,提高思维严谨性
严谨性是数学学科的基本特点. 它要求对数学的推理论证既要严格,又要周密;对数学结论的叙述既要精练,又要准确. 经常反思解题的过程,对提高思维的严谨性有莫大的作用.
例1设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
解由题可得1≤a-b≤2,(1)2≤a+b≤4,(2)则(1)+(2)得≤a≤3,由(2)得-4≤-a-b≤ -2,(3)
由(1)+(3)得0≤b≤,所以f(-2)=4a-2b∈[3,12].
该题正确的结果是5≤f(-2)≤10,而上面的结果扩大了取值范围,原因何在?我们必须从解题的过程进行反思,实际上,上述过程的第一步变形就已经把a,b的取值范围扩大了. a,b两者有牵制作用,而上面的解法使得a,b没有牵制作用,a,b各自取得了最值. 实际上a取得最大值时,b未必能取得最大值,例如当a=3时,b=1而不是.
由此可见,在教学中,教师应不失时机地抓住学生在解题中,对因思维不严谨,概念理解不深刻,考虑问题不全面而出现的错误,进行启发并引导学生对错误作进一步思考,如从反思中正确鉴别解题结果的真伪,找到产生错误的原因,探寻正确解答的方法等等. 长此以往地做这种训练,不仅有利于学生对基本概念的理解,而且有利于学生思维严谨性的培养. 上面的例题正因为推理的不严谨而导致错误,教师可以让学生分析错误的原因,再以几种方法对该题进行解答,进一步归纳该类题的解题思路,从而加强学生的印象.
反思解题方法,培养发散思维
对于一道数学题,由于解题的着眼点和角度的不同,会有许多不同的解题方法. 教学中,教师若能抓住一切有利时机,经常有意识地启发、引导学生在掌握常规常法的基础上,再反思从多角度、多方位去思考,寻求更好、更简捷的解法,不仅给学生以灵活运用各种知识的机会,而且有利于学生掌握基础知识的纵横联系,有利于学生发散思维的训练和培养.
例2?摇 设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
解法1因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,所以a=,b=.
所以f(-2)=4a-2b=2f(-1)+2f(1)-f(1)+f(-1)=f(1)+3f(-1).
因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,所以f(-2)∈[5,10].
反思在解法1中,我们为了用f(1),f(-1)来表示f(-2),而先用f(1),f(-1)来表示a,b;此做法给我们的反思是能否直接用f(1),f(-1)来表示f(-2)?提出这样的设想,我们有下面的解法.
解法2设f(-2)=mf(-1)+nf(1),用待定系数法求出m,n,从而得到f(-2)的取值范围.
反思解法1、2中涉及的就是两个未知量a,b的取值范围,如果我们知道a,b的取值范围,则f(-2)=4a-2b的取值范围自然可以求出. 而两个未知量的取值范围可以用线性规划的知识来解决,从而有了下面的解法.
解法3由1≤a-b≤2,2≤a+b≤4确定平面区域,然后把f(-2)=4a-2b当成一条直线,求f(-2)的取值范围即是求与平面区域有交点的直线的截距的取值范围.
为了提高学生的解题能力,应该倡导和训练学生进行有效的解题反思. 鼓励学生从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结. 教师应引导学生对解决问题的思维过程进行全面考察、分析,将学生的思维一步步引向深入,既激发了学生的学习热情,又调动了学生学习的积极性、主动性. 此过程让学生从旁观者变成了参与者、探究者. 在整个一题多解的反思过程中,教师可以引导学生想想以前有没有做过与原题不同,但解法类似的题目. 如果将题目的特殊条件一般化,能否推得更为普遍的结论,这样所获得的就不只是一道题的解法,而是一组题、一类题的解法. 一题多解,正是发展学生求异思维的途径,可激发学生独立思考问题和发现新方法,发展学生求异思维. 通过这样的训练,可以拓展学生的思路,活跃学生的头脑,培养学生的发散性思维.
反思题目结论,进行解题成果的扩大,提高思维的创造性
创造性思维是指不依常规,寻求变异,想出新方法、建立新理论、从多方面寻求答案的开放式思维方式. 创造性思维是人类的高级心理活动. 创造性思维是出类拔萃的人才所必需具备的基本素质. 心理学认为:创造性思维是指思维不仅能揭示客观事物的本质及内在联系,而且能在此基础上产生新颖的、具有社会价值的前所未有的思维成果.
例3函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(其中a,b∈R)在x=1时有极值10,求a,b的值.
解f ′(x)=3x2+2ax+b,
则f ′(1)=3+2a+b=0,1+a+b+a2=10,
解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.
大多数学生解到这里就结束了. 他们并没有反思题目的结论是怎么得来的. 细想一下:结论的得来是用了函数在x=1处取到极值,所以结论的成立是函数在x=1处取到极值的必要不充分条件. 但该结论能否使得函数在x=1处取到极值,却需要验证. 事实证明:当a=-3,b=3时,f ′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函数f(x)在R上单调递增,所以当a=-3,b=3时,f(x)在x=1取不到极值,结果只有a=4,b=-11.在解完题之后,学生往往忽视对结论的反思,常出现结果不符合实际、数据出错等现象,特别是一些“隐性错误”发生频率更高. 因此教师应当结合学生解题中出现的错误设计教学情境,帮助学生从基本概念、基础知识的角度来反思解题出错的原因,给学生提供一个对基础知识、基本概念重新理解的机会;解完题后,还可以引导学生思考能否从其他角度重新审视题目,条件相似时,会有相同的结果吗?如条件不变时,还能得出其他结果吗?能否从所解题目出发编出一个属于自己的新题?沿着这些思路去反思,有助于培养思维的创造性.
反思题目的变形、引申,培养思维的深刻性
对于一些数学思想方法蕴涵丰富的题目,应从多方面启发、引导学生反思题目的变形引申. 通过对题目的变式教学,让学生的思维始终处于一个积极的状态之中,并克服孤立思考问题的习惯,使学生的思维向广处联想、向纵深发展,达到由此及彼、触类旁通,从而培养学生思维的深刻性的目的. 下面是在高三圆锥曲线第二轮复习中,课堂上摘录的一部分:
例4已知动圆C和定圆C1:x2+(y-4)2=64内切,而和定圆C2:x2+(y+4)2=4外切,求动圆圆心的轨迹方程.
解设动圆圆心为P,半径为r,则PC1=8-r,PC2=2+r,故PC1+PC2=10.
所以,点P的轨迹是以C1,C2为焦点,10为长轴长的椭圆.
a=5,c=4,所以b=3,所以动圆圆心的轨迹方程是+=1.
变式1已知动圆C和定圆C1:x2+(y-4)2=64外切,和定圆C2:x2+(y+4)2=4也外切,求动圆圆心的轨迹方程(类似可得PC1-PC2=6,方程是-=1(y>0)).
变式2若动圆过定点A(0,4)和定圆C2:x2+(y+4)2=4外切,求动圆圆心P的轨迹方程(类似可得PC2-PA=2,方程是y2-=1(y<0)).
变式3若动圆过定点A(0,-4)和定圆C2:x2+(y-4)2=100内切,求动圆圆心P的轨迹方程(轨迹方程为椭圆方程+=1).
变式4求与圆(x-3)2+y2=9外切,且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程(圆心的轨迹是以(3,0)为焦点,开口向右的抛物线).
通过上面例题及例题的变式可以看出虽然都可以用直接法来求轨迹方程,但是如果运用圆锥曲线的概念来解题就要便捷得多. 通过例题与变式的练习,学生对圆锥曲线的概念更清晰. 这样既能培养学生正确理解数学概念,又能灵活根据不同条件来辨别数学概念,形成良好的思维品质. 学生数学思维能力的提高,需要教师在课堂上有意识地及时对有些题目进行“一题多变”,让学生在思维过程中不受固定的范围和方向的限制,充分发挥想象力,突破现有的知识圈,从一点向四面八方展开,由已知探索未知,形成一个坚固的知识网络,这样有利于学生对该部分知识的掌握. 这样经过长期的培养,一方面能增强学生的创新意识和数学思维能力;另一方面有利于学生思维深刻性的培养.
关键词:解题反思;思维的严谨性;发散思维;创造性思维;思维的深刻性
《新课标》指出:人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、反思与建构等思维过程,这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学习对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断. 同时提出,评价应关注学生“能否不断反思自己的数学学习过程,并改进学习方法”. 新的数学教育理念认为:数学是过程,是活动,学数学就是做数学,就是去解决一个问题,获得一种体验. 数学知识的学习和能力的培养很多都是通过解题过程来体现的. 解题过程的反思,实际是解题学习的信息反馈调控阶段,通过反思,有利于学生深层次的建构;通过反思,可以深化对问题的理解,优化思维过程,揭示问题本质,探索一般规律;通过反思,可以沟通知识间的相互联系,从而促进知识的进化和迁移,产生新的发现,通过培养学生的解题反思,对提高学生的思维能力无疑有很大的帮助.
反思解题过程,提高思维严谨性
严谨性是数学学科的基本特点. 它要求对数学的推理论证既要严格,又要周密;对数学结论的叙述既要精练,又要准确. 经常反思解题的过程,对提高思维的严谨性有莫大的作用.
例1设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
解由题可得1≤a-b≤2,(1)2≤a+b≤4,(2)则(1)+(2)得≤a≤3,由(2)得-4≤-a-b≤ -2,(3)
由(1)+(3)得0≤b≤,所以f(-2)=4a-2b∈[3,12].
该题正确的结果是5≤f(-2)≤10,而上面的结果扩大了取值范围,原因何在?我们必须从解题的过程进行反思,实际上,上述过程的第一步变形就已经把a,b的取值范围扩大了. a,b两者有牵制作用,而上面的解法使得a,b没有牵制作用,a,b各自取得了最值. 实际上a取得最大值时,b未必能取得最大值,例如当a=3时,b=1而不是.
由此可见,在教学中,教师应不失时机地抓住学生在解题中,对因思维不严谨,概念理解不深刻,考虑问题不全面而出现的错误,进行启发并引导学生对错误作进一步思考,如从反思中正确鉴别解题结果的真伪,找到产生错误的原因,探寻正确解答的方法等等. 长此以往地做这种训练,不仅有利于学生对基本概念的理解,而且有利于学生思维严谨性的培养. 上面的例题正因为推理的不严谨而导致错误,教师可以让学生分析错误的原因,再以几种方法对该题进行解答,进一步归纳该类题的解题思路,从而加强学生的印象.
反思解题方法,培养发散思维
对于一道数学题,由于解题的着眼点和角度的不同,会有许多不同的解题方法. 教学中,教师若能抓住一切有利时机,经常有意识地启发、引导学生在掌握常规常法的基础上,再反思从多角度、多方位去思考,寻求更好、更简捷的解法,不仅给学生以灵活运用各种知识的机会,而且有利于学生掌握基础知识的纵横联系,有利于学生发散思维的训练和培养.
例2?摇 设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
解法1因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,所以a=,b=.
所以f(-2)=4a-2b=2f(-1)+2f(1)-f(1)+f(-1)=f(1)+3f(-1).
因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,所以f(-2)∈[5,10].
反思在解法1中,我们为了用f(1),f(-1)来表示f(-2),而先用f(1),f(-1)来表示a,b;此做法给我们的反思是能否直接用f(1),f(-1)来表示f(-2)?提出这样的设想,我们有下面的解法.
解法2设f(-2)=mf(-1)+nf(1),用待定系数法求出m,n,从而得到f(-2)的取值范围.
反思解法1、2中涉及的就是两个未知量a,b的取值范围,如果我们知道a,b的取值范围,则f(-2)=4a-2b的取值范围自然可以求出. 而两个未知量的取值范围可以用线性规划的知识来解决,从而有了下面的解法.
解法3由1≤a-b≤2,2≤a+b≤4确定平面区域,然后把f(-2)=4a-2b当成一条直线,求f(-2)的取值范围即是求与平面区域有交点的直线的截距的取值范围.
为了提高学生的解题能力,应该倡导和训练学生进行有效的解题反思. 鼓励学生从解题方法、解题规律、解题策略等方面进行多角度、多侧面的总结. 教师应引导学生对解决问题的思维过程进行全面考察、分析,将学生的思维一步步引向深入,既激发了学生的学习热情,又调动了学生学习的积极性、主动性. 此过程让学生从旁观者变成了参与者、探究者. 在整个一题多解的反思过程中,教师可以引导学生想想以前有没有做过与原题不同,但解法类似的题目. 如果将题目的特殊条件一般化,能否推得更为普遍的结论,这样所获得的就不只是一道题的解法,而是一组题、一类题的解法. 一题多解,正是发展学生求异思维的途径,可激发学生独立思考问题和发现新方法,发展学生求异思维. 通过这样的训练,可以拓展学生的思路,活跃学生的头脑,培养学生的发散性思维.
反思题目结论,进行解题成果的扩大,提高思维的创造性
创造性思维是指不依常规,寻求变异,想出新方法、建立新理论、从多方面寻求答案的开放式思维方式. 创造性思维是人类的高级心理活动. 创造性思维是出类拔萃的人才所必需具备的基本素质. 心理学认为:创造性思维是指思维不仅能揭示客观事物的本质及内在联系,而且能在此基础上产生新颖的、具有社会价值的前所未有的思维成果.
例3函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(其中a,b∈R)在x=1时有极值10,求a,b的值.
解f ′(x)=3x2+2ax+b,
则f ′(1)=3+2a+b=0,1+a+b+a2=10,
解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.
大多数学生解到这里就结束了. 他们并没有反思题目的结论是怎么得来的. 细想一下:结论的得来是用了函数在x=1处取到极值,所以结论的成立是函数在x=1处取到极值的必要不充分条件. 但该结论能否使得函数在x=1处取到极值,却需要验证. 事实证明:当a=-3,b=3时,f ′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函数f(x)在R上单调递增,所以当a=-3,b=3时,f(x)在x=1取不到极值,结果只有a=4,b=-11.在解完题之后,学生往往忽视对结论的反思,常出现结果不符合实际、数据出错等现象,特别是一些“隐性错误”发生频率更高. 因此教师应当结合学生解题中出现的错误设计教学情境,帮助学生从基本概念、基础知识的角度来反思解题出错的原因,给学生提供一个对基础知识、基本概念重新理解的机会;解完题后,还可以引导学生思考能否从其他角度重新审视题目,条件相似时,会有相同的结果吗?如条件不变时,还能得出其他结果吗?能否从所解题目出发编出一个属于自己的新题?沿着这些思路去反思,有助于培养思维的创造性.
反思题目的变形、引申,培养思维的深刻性
对于一些数学思想方法蕴涵丰富的题目,应从多方面启发、引导学生反思题目的变形引申. 通过对题目的变式教学,让学生的思维始终处于一个积极的状态之中,并克服孤立思考问题的习惯,使学生的思维向广处联想、向纵深发展,达到由此及彼、触类旁通,从而培养学生思维的深刻性的目的. 下面是在高三圆锥曲线第二轮复习中,课堂上摘录的一部分:
例4已知动圆C和定圆C1:x2+(y-4)2=64内切,而和定圆C2:x2+(y+4)2=4外切,求动圆圆心的轨迹方程.
解设动圆圆心为P,半径为r,则PC1=8-r,PC2=2+r,故PC1+PC2=10.
所以,点P的轨迹是以C1,C2为焦点,10为长轴长的椭圆.
a=5,c=4,所以b=3,所以动圆圆心的轨迹方程是+=1.
变式1已知动圆C和定圆C1:x2+(y-4)2=64外切,和定圆C2:x2+(y+4)2=4也外切,求动圆圆心的轨迹方程(类似可得PC1-PC2=6,方程是-=1(y>0)).
变式2若动圆过定点A(0,4)和定圆C2:x2+(y+4)2=4外切,求动圆圆心P的轨迹方程(类似可得PC2-PA=2,方程是y2-=1(y<0)).
变式3若动圆过定点A(0,-4)和定圆C2:x2+(y-4)2=100内切,求动圆圆心P的轨迹方程(轨迹方程为椭圆方程+=1).
变式4求与圆(x-3)2+y2=9外切,且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程(圆心的轨迹是以(3,0)为焦点,开口向右的抛物线).
通过上面例题及例题的变式可以看出虽然都可以用直接法来求轨迹方程,但是如果运用圆锥曲线的概念来解题就要便捷得多. 通过例题与变式的练习,学生对圆锥曲线的概念更清晰. 这样既能培养学生正确理解数学概念,又能灵活根据不同条件来辨别数学概念,形成良好的思维品质. 学生数学思维能力的提高,需要教师在课堂上有意识地及时对有些题目进行“一题多变”,让学生在思维过程中不受固定的范围和方向的限制,充分发挥想象力,突破现有的知识圈,从一点向四面八方展开,由已知探索未知,形成一个坚固的知识网络,这样有利于学生对该部分知识的掌握. 这样经过长期的培养,一方面能增强学生的创新意识和数学思维能力;另一方面有利于学生思维深刻性的培养.