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【摘 要】针对拟力法仅在刚性连接钢框架中应用的现状，根据钢筋混凝土框架以及半刚性连钢框架的受力特点，并基于拟力法的基本假定与思路，得出了钢筋混凝土结构中塑性铰和半刚性连接钢框架中连接的弯矩一相对转角关系，从而推导并获得了拟力法在框架结构静力弹塑性分析中的通用公式。通过与有限元理论计算结果的比较，表明基于拟力法的框架结构静力弹塑性分析方法在应用于各类框架结构时都有着较高的精度，从而为将基于拟力法的动力弹塑性分析包括地震能量分析拓展到钢筋混凝土框架结构以及半刚性连接钢框架结构中奠定了基础。
【关键词】拟力法；框架结构；弹塑性分析；半刚性连接；静力
引言
Kevin K.F.Wong和Rong Yang 于1999年提出了拟力法（ForceA nalogy Method）的基本概念并将其应用于钢框架结构的弹塑性分析当中，其基本假定是：结构在进入弹塑性状态后，塑性变形只发生在构件的某些集中区域（结构的其他部分保持弹性），这些弹塑性区域的性能可以用塑性铰来描述，而结构的塑性位移正是由于这些塑性铰的转动所引起的。拟力法的核心步骤是将塑性铰等效为作用有弯矩的理想铰。本文中对拟力法的求解领域进行了扩展，将其应用于钢筋混凝土框架和半刚性连接钢框架的弹塑性分析当中。
1公式推导
拟力法中对各变量正方向规定如下：力与位移以向右（水平方向）和向下（垂直方向）为正；转角以顺时针方向旋转为正；弯矩以逆时针方向旋转为正。在以下讨论中，刚性连接钢框架和钢筋混凝土框架统称刚接框架，半刚性连接钢框架简称半刚接框架。以一单跨梁为例说明基本方程的推导过程。图1为一单跨超静定梁，跨中在集中力F（t）的作用下发生x（t）大小的位移，梁左端发生屈服形成塑性铰（根据拟力法的基本假定，梁的其他部分保持弹性），对于刚接梁来说，梁左端的相对转动量θ（t）为塑性铰的转动量，对半刚接梁而言，θ（t）等于连接处弹性转角与塑性转角之和，梁端相应的弯矩为M（t），此时梁的状态可以按如图1所示的方式进行等效。
根据叠加原理，图1中的等效状态又可以分解为图2中的转角状态与位移状态的叠加，转角状态下链杆的约束反力为Fθ（t），位移状态下梁的固端弯矩为M{（t），则有
显然，当梁的材料一定时，式（9）中的4个刚度值是定值（与梁端是否屈服无关）。当F已知时，式（9）无法求得x，M和θ三个未知数，因此须补充一个方程：
式（10）为梁左端塑性铰的弯矩与相对转角之间的滞回关系，若取两折线关系，其形式如图3所示。联立式（9），（10），可以已知外力F求出相应的位移x，弯矩M和相对转角B；或已知位移x求出相应外力F以及弯矩M、相对转角B。式（9），（10）就是拟力法的核心表达式，梁的材料以及梁左端的连接状态并不影响表达式的形式。
2在框架结构中的应用
在框架结构的每一个集中力作用处定义一个与集中力方向相同的位移自由度，在框架结构每一个可能出现相对转动以及需要获知弯矩值的位置定义一个相对转角自由度，并有
式中：n为结构的位移自由度数；m为结构的相对转角自由度数。按前述的思路同样可以获得应用于框架结构分析中的基本公式，但公式中的力、位移、弯矩、相对转角以及刚度将不再是数，而是矩阵，但它们的物理意义仍然相同，各刚度矩阵的意义如下（位移状态为各相对转角自由度处不发生相对转动；转角状态为各位移自由度处不发生位移）：
K1为m*m阶矩阵。元素k1ij为框架在转角状态下，第j个相对转角自由度发生单位转动（其余相对转角自由度不发生转动）时，第i个相对转角自由度处的弯矩。
K2为n*m阶矩阵。元素k2ij为框架在转角状态下，第j个相对转角自由度发生单位转动（其余相对转角自由度不发生转动）时，第i个位移自由度处链杆的约束反力。
K3为m*n阶矩阵。元素k3ij为框架在位移状态下，第J个位移自由度处发生单位位移（其余位移自由度不发生位移）时，第i个相对转角自由度处的弯矩。
K为n*n阶矩阵。元素kij为框架在位移状态下，第J个位移自由度发生单位位移（其余位移自由度不发生位移）时，在第i个位移自由度处施加的水平力。
根据功的互等定理可知：
所以上式可写为：
补充m个弯矩一相对转角关系：.
联立式（15），（16）（2m+n个方程），则可根据外力F求出相对应的位移X，弯矩M和相对转角θ（2m+n个未知数），或根据位移X求出相对应的外力F、弯矩M、相对转角式θ（15），（16）是拟力法应用于框架结构的通用表达式，式（15）中的分块刚度矩阵在分析过程中为常值，与结构是否进人弹塑性状态无关，结构的弹塑性性能完全由式（16）来体现，即结构的弹塑性性能完全由各塑性铰的弹塑性性能来体现。文献[2]中介绍了拟力法在刚性连接钢框架中的应用，以下讨论拟力法在钢筋混凝土框架和半刚性连接钢框架的静力弹塑性分析中的应用。
2.1钢筋混凝土框架.钢筋混凝土框架在进人弹塑性状态后，由于开裂的影响，构件的抗弯刚度会小于弹性抗弯刚度，根据文献[3]中关于曲率计算理想化的描述，在求解式（15）中的3个刚度矩阵时，构件的抗弯刚度可取（图4）
根据文献[3]，得塑性铰的极限转动量为：
式中：lp为塑性铰的等效长度。根据图4，5的对应关系得：
塑性铰等效长度l。的求解方法有很多，具体可见文献[4]。根据式（17），（19），就可以通过构件截面的弯矩一曲率关系获得求解3个刚度矩阵所需的构件抗弯刚度，并确定各塑性铰的弯矩一相对转角关系。
算例1：一单层单跨钢筋混凝土框架，梁柱截面的宽度和高度分别为300，400mm，均采用对称配筋，C35混凝土，在框架顶点作用一集中力，如图6所示。在集中力作用点定义一个水平位移自由度，相对转角自由度数设为4，分别设在梁的两端和柱的根部，梁柱截面弯矩一曲率参数见表1. 表1梁柱截面的弯矩一曲率参数及塑性铰等效长度
根据式（17）计算梁柱的抗弯刚度，并由各刚度矩阵定义得：
根据式（18）计算各相对转角自由度的弯矩一转角关系，卸载刚度取为无穷大。图7为拟力法程序HRFAM计算结果与有限元计算程序IDARC5.5计算结果的对比，两者比较接近，其结果见文献[3]，按式（17）取构件的抗弯刚度会使弹性位移偏大。
2.2半刚性连接钢框架.相对于钢筋混凝土框架，半刚性连接钢框架的求解要简单很多。获得3个刚度矩阵所需的梁柱抗弯刚度直接取其弹性抗弯刚度即可；文献「6]中总结了各种半刚性梁柱连接形式的弯矩一相对转角的滞回关系，计算时可根据情况方便地取用。
算例2：一单层单跨钢框架，高度与跨度均为5m，在框架顶点作用一集中力，形式如图6所示，材料参数见表2，梁与柱采用半刚性连接。
3结语
（1）拟力法与传统的有限元方法相比，在处理弹塑性问题时由于不存在修正单元刚度矩阵和重组结构刚度矩阵的过程，因而计算效率较高，这种优势在动力非线性的分析中会更加突出；同时，由于拟力法在弹塑性分析过程中能求解各塑性铰的弯矩以及相对转动量，因此对分析中的结构是否破坏能进行实时监测，只要制定相应结构破坏准则（塑性铰的极限转动量、可能的破坏机构、层间位移限值）就可获得静力弹塑性分析中结构已经发生破坏的依据。（2）由于拟力法是将结构的塑性变形区域考虑为塑性铰，因而整个结构的滞回耗能将会是各塑性铰的滞回耗能之和，因此，当拟力法与能量分析结合时，便能有效地解决耗能分析难以进人构件层面的问题。（3）对拟力法的应用领域进行了扩展，获得了在钢筋混凝土框架以及半刚性连接钢框架弹塑性分析中应用拟力法的方法。
参考文献：
[1]刘哲锋，沈蒲生.基于拟力法的地震能量分析「C]//周福霖，张燕.防震减灾工程研究与进展.北京：科学出版社，2005：184-190.
[2]顾祥林，孙飞飞.混凝土结构的计算机仿真[M].上海：同济大学出版社，2002.
[3]朱伯龙，董振祥.钢筋混凝土非线性分析[M].上海：同济大学出版社，1985
[4]陈绍蕃.钢结构设计原理[M].北京：科学出版社，1998.
[5]龙驭球，包世华.结构力学[M].北京：高等教育出版社，1988
【关键词】拟力法；框架结构；弹塑性分析；半刚性连接；静力
引言
Kevin K.F.Wong和Rong Yang 于1999年提出了拟力法（ForceA nalogy Method）的基本概念并将其应用于钢框架结构的弹塑性分析当中，其基本假定是：结构在进入弹塑性状态后，塑性变形只发生在构件的某些集中区域（结构的其他部分保持弹性），这些弹塑性区域的性能可以用塑性铰来描述，而结构的塑性位移正是由于这些塑性铰的转动所引起的。拟力法的核心步骤是将塑性铰等效为作用有弯矩的理想铰。本文中对拟力法的求解领域进行了扩展，将其应用于钢筋混凝土框架和半刚性连接钢框架的弹塑性分析当中。
1公式推导
拟力法中对各变量正方向规定如下：力与位移以向右（水平方向）和向下（垂直方向）为正；转角以顺时针方向旋转为正；弯矩以逆时针方向旋转为正。在以下讨论中，刚性连接钢框架和钢筋混凝土框架统称刚接框架，半刚性连接钢框架简称半刚接框架。以一单跨梁为例说明基本方程的推导过程。图1为一单跨超静定梁，跨中在集中力F（t）的作用下发生x（t）大小的位移，梁左端发生屈服形成塑性铰（根据拟力法的基本假定，梁的其他部分保持弹性），对于刚接梁来说，梁左端的相对转动量θ（t）为塑性铰的转动量，对半刚接梁而言，θ（t）等于连接处弹性转角与塑性转角之和，梁端相应的弯矩为M（t），此时梁的状态可以按如图1所示的方式进行等效。
根据叠加原理，图1中的等效状态又可以分解为图2中的转角状态与位移状态的叠加，转角状态下链杆的约束反力为Fθ（t），位移状态下梁的固端弯矩为M{（t），则有
显然，当梁的材料一定时，式（9）中的4个刚度值是定值（与梁端是否屈服无关）。当F已知时，式（9）无法求得x，M和θ三个未知数，因此须补充一个方程：
式（10）为梁左端塑性铰的弯矩与相对转角之间的滞回关系，若取两折线关系，其形式如图3所示。联立式（9），（10），可以已知外力F求出相应的位移x，弯矩M和相对转角B；或已知位移x求出相应外力F以及弯矩M、相对转角B。式（9），（10）就是拟力法的核心表达式，梁的材料以及梁左端的连接状态并不影响表达式的形式。
2在框架结构中的应用
在框架结构的每一个集中力作用处定义一个与集中力方向相同的位移自由度，在框架结构每一个可能出现相对转动以及需要获知弯矩值的位置定义一个相对转角自由度，并有
式中：n为结构的位移自由度数；m为结构的相对转角自由度数。按前述的思路同样可以获得应用于框架结构分析中的基本公式，但公式中的力、位移、弯矩、相对转角以及刚度将不再是数，而是矩阵，但它们的物理意义仍然相同，各刚度矩阵的意义如下（位移状态为各相对转角自由度处不发生相对转动；转角状态为各位移自由度处不发生位移）：
K1为m*m阶矩阵。元素k1ij为框架在转角状态下，第j个相对转角自由度发生单位转动（其余相对转角自由度不发生转动）时，第i个相对转角自由度处的弯矩。
K2为n*m阶矩阵。元素k2ij为框架在转角状态下，第j个相对转角自由度发生单位转动（其余相对转角自由度不发生转动）时，第i个位移自由度处链杆的约束反力。
K3为m*n阶矩阵。元素k3ij为框架在位移状态下，第J个位移自由度处发生单位位移（其余位移自由度不发生位移）时，第i个相对转角自由度处的弯矩。
K为n*n阶矩阵。元素kij为框架在位移状态下，第J个位移自由度发生单位位移（其余位移自由度不发生位移）时，在第i个位移自由度处施加的水平力。
根据功的互等定理可知：
所以上式可写为：
补充m个弯矩一相对转角关系：.
联立式（15），（16）（2m+n个方程），则可根据外力F求出相对应的位移X，弯矩M和相对转角θ（2m+n个未知数），或根据位移X求出相对应的外力F、弯矩M、相对转角式θ（15），（16）是拟力法应用于框架结构的通用表达式，式（15）中的分块刚度矩阵在分析过程中为常值，与结构是否进人弹塑性状态无关，结构的弹塑性性能完全由式（16）来体现，即结构的弹塑性性能完全由各塑性铰的弹塑性性能来体现。文献[2]中介绍了拟力法在刚性连接钢框架中的应用，以下讨论拟力法在钢筋混凝土框架和半刚性连接钢框架的静力弹塑性分析中的应用。
2.1钢筋混凝土框架.钢筋混凝土框架在进人弹塑性状态后，由于开裂的影响，构件的抗弯刚度会小于弹性抗弯刚度，根据文献[3]中关于曲率计算理想化的描述，在求解式（15）中的3个刚度矩阵时，构件的抗弯刚度可取（图4）
根据文献[3]，得塑性铰的极限转动量为：
式中：lp为塑性铰的等效长度。根据图4，5的对应关系得：
塑性铰等效长度l。的求解方法有很多，具体可见文献[4]。根据式（17），（19），就可以通过构件截面的弯矩一曲率关系获得求解3个刚度矩阵所需的构件抗弯刚度，并确定各塑性铰的弯矩一相对转角关系。
算例1：一单层单跨钢筋混凝土框架，梁柱截面的宽度和高度分别为300，400mm，均采用对称配筋，C35混凝土，在框架顶点作用一集中力，如图6所示。在集中力作用点定义一个水平位移自由度，相对转角自由度数设为4，分别设在梁的两端和柱的根部，梁柱截面弯矩一曲率参数见表1. 表1梁柱截面的弯矩一曲率参数及塑性铰等效长度
根据式（17）计算梁柱的抗弯刚度，并由各刚度矩阵定义得：
根据式（18）计算各相对转角自由度的弯矩一转角关系，卸载刚度取为无穷大。图7为拟力法程序HRFAM计算结果与有限元计算程序IDARC5.5计算结果的对比，两者比较接近，其结果见文献[3]，按式（17）取构件的抗弯刚度会使弹性位移偏大。
2.2半刚性连接钢框架.相对于钢筋混凝土框架，半刚性连接钢框架的求解要简单很多。获得3个刚度矩阵所需的梁柱抗弯刚度直接取其弹性抗弯刚度即可；文献「6]中总结了各种半刚性梁柱连接形式的弯矩一相对转角的滞回关系，计算时可根据情况方便地取用。
算例2：一单层单跨钢框架，高度与跨度均为5m，在框架顶点作用一集中力，形式如图6所示，材料参数见表2，梁与柱采用半刚性连接。
3结语
（1）拟力法与传统的有限元方法相比，在处理弹塑性问题时由于不存在修正单元刚度矩阵和重组结构刚度矩阵的过程，因而计算效率较高，这种优势在动力非线性的分析中会更加突出；同时，由于拟力法在弹塑性分析过程中能求解各塑性铰的弯矩以及相对转动量，因此对分析中的结构是否破坏能进行实时监测，只要制定相应结构破坏准则（塑性铰的极限转动量、可能的破坏机构、层间位移限值）就可获得静力弹塑性分析中结构已经发生破坏的依据。（2）由于拟力法是将结构的塑性变形区域考虑为塑性铰，因而整个结构的滞回耗能将会是各塑性铰的滞回耗能之和，因此，当拟力法与能量分析结合时，便能有效地解决耗能分析难以进人构件层面的问题。（3）对拟力法的应用领域进行了扩展，获得了在钢筋混凝土框架以及半刚性连接钢框架弹塑性分析中应用拟力法的方法。
参考文献：
[1]刘哲锋，沈蒲生.基于拟力法的地震能量分析「C]//周福霖，张燕.防震减灾工程研究与进展.北京：科学出版社，2005：184-190.
[2]顾祥林，孙飞飞.混凝土结构的计算机仿真[M].上海：同济大学出版社，2002.
[3]朱伯龙，董振祥.钢筋混凝土非线性分析[M].上海：同济大学出版社，1985
[4]陈绍蕃.钢结构设计原理[M].北京：科学出版社，1998.
[5]龙驭球，包世华.结构力学[M].北京：高等教育出版社，1988