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分类讨论是人们常用的重要思想方法,无论是在生产活动、科学实验中,还是在日常的生活中,都常常需要用到它.
这里我们重点研究初中数学中的分类讨论思想.
一、分类讨论思想的意义
在解决数学问题时,有时由于被研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,就需对不同属性的对象进行分类研究;或由于在研究问题过程中出现了不同情况,就需对不同情况进行分类研究.
通过分类讨论,常能化繁为简,更清楚地暴露事物的本质,并增加条件,使问题易于解决.
二、分类的四大原则
分类讨论必须遵循原则进行,在初中阶段,我们经常用到以下四大原则:
1.同一性原则
分类应按同一标准进行,即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据.
例如,有些学生把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形.这个分类就不正确了,因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准.
2.互斥性原则
分类后的每个子项应当互不相容,即做到各子项相互排斥,也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项,又属于另一个子项.
例如,某班有9名同学参加了球类和田径两项比赛,其中有6人参加球类比赛,5人参加了田径比赛.如把这9人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类,这就犯了子项相容的逻辑错误,因为必有2人既参加了球类比赛,又参加了田径比赛.
3.相称性原则
分类应当相称,即划分后子项外延的总和(并集),应当与母项的外延相等.
例如,某人把有理数分为正有理数和负有理数两类,这个分类是不相称的,因为子项的外延总和小于母项的外延.事实上有理数中还包括非正又非负的有理数——零.
4.层次性原则
分类有一次分类和多次分类之分.一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后所得的子项作为母项,再进行分类,直至满足需要为止.
有些对象的分类情况比较复杂,这时常采用“二分法”来分类,就是按对象有无某性质来进行分类.按“二分法”分类,就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念,一直分到不必再分为止.
三、分类讨论的步骤
用分类讨论思想解决问题的一般步骤是:
1.先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围;
2.正确选择分类的标准,进行合理分类;
3.逐类讨论解决;
4.归纳并作出结论.
四、需要分类讨论的几种常见
情况
掌握用分类讨论思想解题的关键是搞清楚哪些情况下会引起分类讨论.下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳.
1.根据数学概念的定义分类
有些数学概念是分类定义的(如实数的绝对值),所以应用这些概念解题时,就需进行分类讨论.有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制.
2.根据数学运算法的适用范围分类
有些数学运算的实施需要一定的条件(如零不能作除数,不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑正负等),若在运算中要突破该运算的限制条件,就要进行分类讨论.
3.根据图形的位置变化或形状的变化分类
有些几何问题,因图形的位置不能确定或形状不能确定,就必须分类讨论.
例如,已知半径为a的两圆外切,半径为2a且和这两圆都相切的圆共有几个.此题很容易漏解,原因是缺乏分类思想,因此在解题时要考虑各种可能的情况.和这两个圆同时相切的圆可分为以下三类:同时外切(有两个);同时内切(有1个);一个内切,一个外切(有两个).故共有5个满足条件的圆.
4.根据字母的变化分类
某些含有字母的问题,由于字母取值的不同会导致所得结果不同,或者由于对不同的字母值要运用不同的推演方法,就需要根据字母的不同取值进行分类讨论.
5.根据条件的开放分类
有些题目中的条件开放,致使求解结果不唯一,若对这类问题考虑不全面,就会发生漏解现象.
总之,我们归纳的这几种分类根据不是彼此独立的,有时这几种分类根据常常要交叉使用,尤其对一些较复杂的讨论题更是如此.数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想,加强数学分类讨论思想的训练,有利于提高学生对学习数学的兴趣,培养学生思维的条理性、缜密性、科学性,这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响.
这里我们重点研究初中数学中的分类讨论思想.
一、分类讨论思想的意义
在解决数学问题时,有时由于被研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,就需对不同属性的对象进行分类研究;或由于在研究问题过程中出现了不同情况,就需对不同情况进行分类研究.
通过分类讨论,常能化繁为简,更清楚地暴露事物的本质,并增加条件,使问题易于解决.
二、分类的四大原则
分类讨论必须遵循原则进行,在初中阶段,我们经常用到以下四大原则:
1.同一性原则
分类应按同一标准进行,即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据.
例如,有些学生把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形.这个分类就不正确了,因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准.
2.互斥性原则
分类后的每个子项应当互不相容,即做到各子项相互排斥,也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项,又属于另一个子项.
例如,某班有9名同学参加了球类和田径两项比赛,其中有6人参加球类比赛,5人参加了田径比赛.如把这9人分成参加球类比赛和参加田径比赛两类,这就犯了子项相容的逻辑错误,因为必有2人既参加了球类比赛,又参加了田径比赛.
3.相称性原则
分类应当相称,即划分后子项外延的总和(并集),应当与母项的外延相等.
例如,某人把有理数分为正有理数和负有理数两类,这个分类是不相称的,因为子项的外延总和小于母项的外延.事实上有理数中还包括非正又非负的有理数——零.
4.层次性原则
分类有一次分类和多次分类之分.一次分类是对被讨论对象只分类一次;多次分类是把分类后所得的子项作为母项,再进行分类,直至满足需要为止.
有些对象的分类情况比较复杂,这时常采用“二分法”来分类,就是按对象有无某性质来进行分类.按“二分法”分类,就是把讨论对象的外延一直分为两个互相矛盾的概念,一直分到不必再分为止.
三、分类讨论的步骤
用分类讨论思想解决问题的一般步骤是:
1.先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围;
2.正确选择分类的标准,进行合理分类;
3.逐类讨论解决;
4.归纳并作出结论.
四、需要分类讨论的几种常见
情况
掌握用分类讨论思想解题的关键是搞清楚哪些情况下会引起分类讨论.下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳.
1.根据数学概念的定义分类
有些数学概念是分类定义的(如实数的绝对值),所以应用这些概念解题时,就需进行分类讨论.有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制.
2.根据数学运算法的适用范围分类
有些数学运算的实施需要一定的条件(如零不能作除数,不等式两边同乘以或除以某数时必须考虑正负等),若在运算中要突破该运算的限制条件,就要进行分类讨论.
3.根据图形的位置变化或形状的变化分类
有些几何问题,因图形的位置不能确定或形状不能确定,就必须分类讨论.
例如,已知半径为a的两圆外切,半径为2a且和这两圆都相切的圆共有几个.此题很容易漏解,原因是缺乏分类思想,因此在解题时要考虑各种可能的情况.和这两个圆同时相切的圆可分为以下三类:同时外切(有两个);同时内切(有1个);一个内切,一个外切(有两个).故共有5个满足条件的圆.
4.根据字母的变化分类
某些含有字母的问题,由于字母取值的不同会导致所得结果不同,或者由于对不同的字母值要运用不同的推演方法,就需要根据字母的不同取值进行分类讨论.
5.根据条件的开放分类
有些题目中的条件开放,致使求解结果不唯一,若对这类问题考虑不全面,就会发生漏解现象.
总之,我们归纳的这几种分类根据不是彼此独立的,有时这几种分类根据常常要交叉使用,尤其对一些较复杂的讨论题更是如此.数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想,加强数学分类讨论思想的训练,有利于提高学生对学习数学的兴趣,培养学生思维的条理性、缜密性、科学性,这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响.