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摘 要：传统数学教学过于重视对逻辑思维的训练，忽略了数学学科发展的根本是数学思想。对学生而言，除了掌握适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本活动经验之外，还应对数学基本思想有所感悟，以便在后续的学习成长中运用数学思想来解决实际问题。以小学数学教材中“长方体和正方体的体积计算”教学导引为切入点，探究如何引导学生在问题研究中感悟数学思想。
关键词：小学数学；问题研究；数学思想
在小学数学低年级阶段，学生主要完成对长方体、正方体、圆柱和球等简单立体图形的正确分类与识别，高年级开始学习常见平面几何图形的特征以及对周长、面积等的计算，从而培养学生解决简单实际问题的能力。结合教材编写和教学目标来看，作为最基本和典型的立体图形，长方体和正方体是学习其他立体几何图形的重要基础，有助于学生形成空间观念并提高想象能力。而在学习长方体与正方体特征以及探索计算方法的过程中，从实际问题的研究出发，引导学生感悟数学思想是这一阶段数学教学的核心。
一、在问题引入环节感悟“再创造”思想
考虑到小学生对新事物的认知建立在已有认知的基础上，习惯于从区别于其他事物的特性出发，通过视觉刺激“看”、触觉刺激“摸”、记忆思维“认”以及理性分析“数”这几个步骤形成对事物的全面认知。因此，在教学时可利用问题引入来激发学生探索新方法的欲望，引导学生充分体验和感悟联系实际是解决问题的有效方法这一思维，进而掌握在已有经验和方法的基础上改进和研究新方法的“再创造”数学思想。举例来说，在教学生计算长方体体积时，教师可用课件展示若干1cm3的正方体积木拼成长方体的过程，引导学生回顾知识：判断物体体积就看其含有多少个单位体积。然后向学生展示一个长方体橡皮泥，提问学生有什么办法能够计算其体积。学生一般会想到将其切成1cm3的正方体并数个数来计算体积，或者将其沉入装有水的烧杯中并根据水上涨的体积来确定该长方体体积。此时教师可结合实际继续提问：想要知道一个长方体粉笔盒或一本书的体积该怎么办？学生由于无法再使用“切”和“浸没”两种方法求长方体体积，因而开始思考如何从计算的角度来解决这一问题。可以看出，教师从学生熟悉的搭积木入手，通过唤起学生的旧知识和生活经验来逐渐引导学生寻求新知识，这种“再创造”的数学思想是学习数学的重要能力。
二、在探究过程中感悟“建模”思想
基于以上引导，教师继续带领学生一起探究长方体体积的计算方法。教师可给出12个1cm3的正方体，要求学生发挥想象以将其拼成不同形状的长方体，并记录下不同长方体中小正方体的个数、层数、排数以及总体积等相关信息，然后引导学生思考：无论怎么摆，长方体总体积都是12cm3，但每一排小正方体个数、排数和层数各不相同，这之间有什么联系？学生通过数每个长方体每排个数、排数和层数，发现影响长方体体积的三个因素：长、宽、高，进而提出三者相乘即为长方体体积这一思路。这一过程在数学上称为“建模过程”，是一种结合信息整体与思维分析的归纳提炼式探究方法。教师对学生的猜想继续进行引导：如何验证所有长方体体积都等于长乘宽乘高呢？学生则用1cm3正方体任意摆出长方体并记录下长、宽、高，然后彼此间合作交流以进行验证。这一过程成为数学模型的推广或者不完全归纳法，是利用任意举例验证来解释数学模型的正确合理性的探究方法。尽管这样得出的数学模型其可靠性还需验证，但对学生而言，这就是一种重要的数学思想，为学生学习新知识或深入研究数学提供了一种全新的思路。
三、在讨论交流中感悟“演绎”思想
继续上述推论，教师提出：尽管大家举了十几个例子来验证长方体体积等于长、宽、高三者相乘，但显然有些例子是重复的，如何論证你们的推断是严谨无误的呢？学生在思考交流后提出，为了避免重复和遗漏，可以按照一定顺序，比如从小到大来举例验证。基于这一想法，教师给出一个长6cm、宽2cm、高2cm的长方体模型，让学生在保持其长、宽不变的前提下，增加或减少高方向上的层数。学生通过计数观察发现原本总正方体个数为24个的长方体体积为24cm3，在保持长6cm、宽2cm不变的情况下，减少一层高度（高度减少1cm）后的长方体体积为6乘2乘1等于12cm3，增加一层高度（高度增加1cm）后的长方体体积为6乘2乘3等于36cm3，因此摸索出规律：长方体每增加一层（即高增加1cm），体积就增加12cm3，长、宽、高三者之积也增加12cm3，由此可得出“长方体体积=长×宽×高”这一推论基本合理。在这一验证过程中，学生找到了长方体体积的变化规律，通过依次改变层数来进行验证，掌握了最基本的研究数学问题的方法。教师继续进行总结性引导：像这样一直增加层数都可以一一计算验证，但还有必要这样做吗？为什么？经过激烈讨论，学生认为：对于各种情况都可延续这一验证过程并保证其有效性，因此可以说任意长方体体积都等于长、宽、高三者相乘之积。最终，教师总结出“发现—猜想—验证—结果”这一整套探究问题的流程，这便是一种“演绎”的数学思想。在整个交流讨论并共同验证的过程中，学生的思维状态从无序变为有序，将教师给出的数学模型进行变形并提出大胆猜想，继而再度验证以完善先前的认知，最终得出了严密的思维逻辑，掌握了长方体体积的计算方法。
在现代教育愈发重视思维性和成长性的背景下，小学数学教学也不能再局限于数字运算和知识讲解，教师要善于用实际问题去引导教学，有意识地培养学生在问题研究过程中感悟数学思想，从而学会从数学角度去思考和解决实际问题。
参考文献：
[1]屈佳芬.数学思想在小学数学教学中的渗透[J].教育探索，2015（1）.
[2]杨天兰.小学数学“长方体和正方体的体积计算”教学导引下的数学思想感悟[J].新课程（小学），2016（9）.
编辑 谢尾合
关键词：小学数学；问题研究；数学思想
在小学数学低年级阶段，学生主要完成对长方体、正方体、圆柱和球等简单立体图形的正确分类与识别，高年级开始学习常见平面几何图形的特征以及对周长、面积等的计算，从而培养学生解决简单实际问题的能力。结合教材编写和教学目标来看，作为最基本和典型的立体图形，长方体和正方体是学习其他立体几何图形的重要基础，有助于学生形成空间观念并提高想象能力。而在学习长方体与正方体特征以及探索计算方法的过程中，从实际问题的研究出发，引导学生感悟数学思想是这一阶段数学教学的核心。
一、在问题引入环节感悟“再创造”思想
考虑到小学生对新事物的认知建立在已有认知的基础上，习惯于从区别于其他事物的特性出发，通过视觉刺激“看”、触觉刺激“摸”、记忆思维“认”以及理性分析“数”这几个步骤形成对事物的全面认知。因此，在教学时可利用问题引入来激发学生探索新方法的欲望，引导学生充分体验和感悟联系实际是解决问题的有效方法这一思维，进而掌握在已有经验和方法的基础上改进和研究新方法的“再创造”数学思想。举例来说，在教学生计算长方体体积时，教师可用课件展示若干1cm3的正方体积木拼成长方体的过程，引导学生回顾知识：判断物体体积就看其含有多少个单位体积。然后向学生展示一个长方体橡皮泥，提问学生有什么办法能够计算其体积。学生一般会想到将其切成1cm3的正方体并数个数来计算体积，或者将其沉入装有水的烧杯中并根据水上涨的体积来确定该长方体体积。此时教师可结合实际继续提问：想要知道一个长方体粉笔盒或一本书的体积该怎么办？学生由于无法再使用“切”和“浸没”两种方法求长方体体积，因而开始思考如何从计算的角度来解决这一问题。可以看出，教师从学生熟悉的搭积木入手，通过唤起学生的旧知识和生活经验来逐渐引导学生寻求新知识，这种“再创造”的数学思想是学习数学的重要能力。
二、在探究过程中感悟“建模”思想
基于以上引导，教师继续带领学生一起探究长方体体积的计算方法。教师可给出12个1cm3的正方体，要求学生发挥想象以将其拼成不同形状的长方体，并记录下不同长方体中小正方体的个数、层数、排数以及总体积等相关信息，然后引导学生思考：无论怎么摆，长方体总体积都是12cm3，但每一排小正方体个数、排数和层数各不相同，这之间有什么联系？学生通过数每个长方体每排个数、排数和层数，发现影响长方体体积的三个因素：长、宽、高，进而提出三者相乘即为长方体体积这一思路。这一过程在数学上称为“建模过程”，是一种结合信息整体与思维分析的归纳提炼式探究方法。教师对学生的猜想继续进行引导：如何验证所有长方体体积都等于长乘宽乘高呢？学生则用1cm3正方体任意摆出长方体并记录下长、宽、高，然后彼此间合作交流以进行验证。这一过程成为数学模型的推广或者不完全归纳法，是利用任意举例验证来解释数学模型的正确合理性的探究方法。尽管这样得出的数学模型其可靠性还需验证，但对学生而言，这就是一种重要的数学思想，为学生学习新知识或深入研究数学提供了一种全新的思路。
三、在讨论交流中感悟“演绎”思想
继续上述推论，教师提出：尽管大家举了十几个例子来验证长方体体积等于长、宽、高三者相乘，但显然有些例子是重复的，如何論证你们的推断是严谨无误的呢？学生在思考交流后提出，为了避免重复和遗漏，可以按照一定顺序，比如从小到大来举例验证。基于这一想法，教师给出一个长6cm、宽2cm、高2cm的长方体模型，让学生在保持其长、宽不变的前提下，增加或减少高方向上的层数。学生通过计数观察发现原本总正方体个数为24个的长方体体积为24cm3，在保持长6cm、宽2cm不变的情况下，减少一层高度（高度减少1cm）后的长方体体积为6乘2乘1等于12cm3，增加一层高度（高度增加1cm）后的长方体体积为6乘2乘3等于36cm3，因此摸索出规律：长方体每增加一层（即高增加1cm），体积就增加12cm3，长、宽、高三者之积也增加12cm3，由此可得出“长方体体积=长×宽×高”这一推论基本合理。在这一验证过程中，学生找到了长方体体积的变化规律，通过依次改变层数来进行验证，掌握了最基本的研究数学问题的方法。教师继续进行总结性引导：像这样一直增加层数都可以一一计算验证，但还有必要这样做吗？为什么？经过激烈讨论，学生认为：对于各种情况都可延续这一验证过程并保证其有效性，因此可以说任意长方体体积都等于长、宽、高三者相乘之积。最终，教师总结出“发现—猜想—验证—结果”这一整套探究问题的流程，这便是一种“演绎”的数学思想。在整个交流讨论并共同验证的过程中，学生的思维状态从无序变为有序，将教师给出的数学模型进行变形并提出大胆猜想，继而再度验证以完善先前的认知，最终得出了严密的思维逻辑，掌握了长方体体积的计算方法。
在现代教育愈发重视思维性和成长性的背景下，小学数学教学也不能再局限于数字运算和知识讲解，教师要善于用实际问题去引导教学，有意识地培养学生在问题研究过程中感悟数学思想，从而学会从数学角度去思考和解决实际问题。
参考文献：
[1]屈佳芬.数学思想在小学数学教学中的渗透[J].教育探索，2015（1）.
[2]杨天兰.小学数学“长方体和正方体的体积计算”教学导引下的数学思想感悟[J].新课程（小学），2016（9）.
编辑 谢尾合