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由于学生在初中阶段的接受能力有限，数学方面的知识基础较为薄弱。所以虽然二次函数在初中教材中有较为详细的研究，但是机械化的学习是很难理解这部分知识细节的。进入高中阶段的学习以后，尤其是在高三的复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质，即图象以及奇偶性、单调性、有界性，进行灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
一、深化理解函数
函数的定义在以前的学习中已经了解了，而在高中阶段，学生在完成集合的学习的前提下接触到了映射，继而再次深化理解了函数的概念，也就是利用映射的知识点来解释分析函数。我们可以把二次函数作为特例，这样就可以让学生在所有的知识的基础上，更加深入的了解函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+ bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为：？（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1）
这里不能把？（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设（x+1）=x2-4x+1，求？（x）
这个问题理解为，已知对应法则？下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2-6x+6
（2） 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而？（x）= x2-6x+6
二、二次函数的单调性，最值与图象
在我们学习二次函数的过程中，必须要让我们的学生对于函数y=ax2+bx+c在（-∞，-b2a ]及[-b2a ，+∞）区间上的单调性的结论进行仔细严谨的论述证明，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x-1|-1
（2）y=|x2-1|
（3）= x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设？（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。
求：g（t）并画出 y=g（t）的图象
解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2
当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2
当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1
当t<0时，g（t）=f（t+1）=t2-2
t2-2， （t<0）
g（t）= -2，（0≤t≤1）
t2-2t-1， （t>1）
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ⅴ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0 （Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X （Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0< x2 .
解题思路：
本题要证明的是x （Ⅰ）先证明x 因为00，又a>0，因此f（x） >0，即f（x）-x>0.至此，证得x 根据韦达定理，有 x1x2=ca ∵ 0？（0），所以当x∈（0，x1）时？（x）<？（x1）=x1，
即x<？（x） （Ⅱ） ∵？（x）=ax2+bx+c=a（x+-b2a ）2+（c- ），（a>0）
函数？（x）的图象的对称轴为直线x=- b2a ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b2a ，因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b-1a ，∵x2-1a <0，
∴x0=-b2a =12 （x1+x2-1a ） 二次函数，是所学过的最基础的幂函数，其内容多姿多彩，拓展面也广。我们可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
通过对这些问题的探究，懂得在学习过程中的一些发现为今后的生活实践积累一定的经验。最后对学生多方面地评价，多多鼓励学生，适当对学生加强训练同时发动学生互相检查，共同讨论交流学习先进经验，一同排除前进路上的障碍这样才能促进学生全面和谐发展，让我们感到自己能够在知识的大海上畅游，是学习的主人，是战胜困难的强者。
二次函数的范围广阔，笔者简述至此，望各位研究教学者在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。高中数学课堂教学的“有效性”，就是在有效的教学时间内体现出的教学效果和教学效率。教学要讲求效率，教学方法要讲求效果。面对新课改，教师要尽最大可能采用效果最好、效率最高的教学方法，让课堂的每一分钟都体现出价值！
一、深化理解函数
函数的定义在以前的学习中已经了解了，而在高中阶段，学生在完成集合的学习的前提下接触到了映射，继而再次深化理解了函数的概念，也就是利用映射的知识点来解释分析函数。我们可以把二次函数作为特例，这样就可以让学生在所有的知识的基础上，更加深入的了解函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+ bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为：？（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1）
这里不能把？（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设（x+1）=x2-4x+1，求？（x）
这个问题理解为，已知对应法则？下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2-6x+6
（2） 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而？（x）= x2-6x+6
二、二次函数的单调性，最值与图象
在我们学习二次函数的过程中，必须要让我们的学生对于函数y=ax2+bx+c在（-∞，-b2a ]及[-b2a ，+∞）区间上的单调性的结论进行仔细严谨的论述证明，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x-1|-1
（2）y=|x2-1|
（3）= x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设？（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。
求：g（t）并画出 y=g（t）的图象
解：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2
当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2
当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1
当t<0时，g（t）=f（t+1）=t2-2
t2-2， （t<0）
g（t）= -2，（0≤t≤1）
t2-2t-1， （t>1）
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ⅴ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0
解题思路：
本题要证明的是x
即x<？（x）
函数？（x）的图象的对称轴为直线x=- b2a ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b2a ，因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b-1a ，∵x2-1a <0，
∴x0=-b2a =12 （x1+x2-1a ）
通过对这些问题的探究，懂得在学习过程中的一些发现为今后的生活实践积累一定的经验。最后对学生多方面地评价，多多鼓励学生，适当对学生加强训练同时发动学生互相检查，共同讨论交流学习先进经验，一同排除前进路上的障碍这样才能促进学生全面和谐发展，让我们感到自己能够在知识的大海上畅游，是学习的主人，是战胜困难的强者。
二次函数的范围广阔，笔者简述至此，望各位研究教学者在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。高中数学课堂教学的“有效性”，就是在有效的教学时间内体现出的教学效果和教学效率。教学要讲求效率，教学方法要讲求效果。面对新课改，教师要尽最大可能采用效果最好、效率最高的教学方法，让课堂的每一分钟都体现出价值！