摘要："三角函数"是一类融各类函数性质于一身的函数载体，其主要性质包括：定义域 、值域 、图像及其变化、奇偶性、单调性、有界性、对称性、周期性、最值。既是函数，势必要受函数"中央精神"的领导，也要照顾到其"地方的特色"，既是和谐的亦是统一的。
　　关键字：三角函数；函数性质；中央精神；地方特色
　　中图分类号：G633.6 文献标识码：E 文章编号：1006-5962（2013）01-0023-01
　　在教学的实际情况中，笔者发现好多学生被三角函数的"地方特色"忽悠了，却忽视了"中央精神"的统领作用，本文就学生在函数的定义域方面范的错误进行了整理，具体如下：
　　例1：（2012年北京卷）已知函数f（x）=（sinx-cosx）·sin2xsinx
　　（1） 求f（x）的定义域和最小正周期；
　　（2） 求f（x）的单调递增区间。
　　解：（1）由：sinx≠0得x≠kπ（k∈Z）
　　故f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}
　　因为
　　f（x）=（sinx-cosx）·sin2xsin2x
　　=2cosx（sinx-cosx）=sin2x-cos2x-1=2sin（2x-π4）
　　所以f（x）的最小正周期为T=π。
　　（2）由y=sinx的单调递增区间为[2kπ-π2，2kπ+π2] （k∈Z）
　　2kπ-π2≤2kπ-π4≤2kπ+π2且x≠kπ
　　得kπ-π8 x kπ+3π8，x≠kπ（k∈Z）
　　所以f（x）的单调递增区间为[kπ-π8，kπ和（kπ，kπ+3kπ8）] ，（k∈Z）
　　学生易错点：丢掉了x≠kπ而将单调递增区间写成了[kπ-π8，kπ+3π8]，（k∈Z）。函数的定义域"事关重大"，关系到函数性质的各个方面，凸显了函数"中央精神"的统领作用，既不容忽视，又要高度重视，否则丢掉的不仅仅是分数，更丢掉了函数思想。
　　例2：求f（x）=sinx+sin|x|的单调递减区间。
　　解：f（x）=0，x≤0
　　2sinx，x>0，
　　函数的递减区间为[π2+2kπ，3π2+2kπ]，（k∈N*）
　　若把k∈N*一不小心误写成k∈N，则定义域发生了质的改变，又酿成了一错。
　　例3：已知f（x）=2a（cos2x2+12sinx）+b且x∈[0，π]
　　（1）当a=1时，求f（x）的单调递增区间，对称轴与对称中心；
　　（2）当a<0时，f（x）的值域是[3，4]，求a，b
　　解：原式=2a（1+cosx2+12sinx）+b=2a（12cosx+12sinx+12） +b
　　=a（cosx+sinx）+a+b=2sin（x+π4）+a+b
　　（1）当a=1时，原式=2sin（x+π4）+1+b
　　由2kπ-π2≤x+π4≤2kπ+π2，得2kπ-3π4≤x≤2kπ+π4，
　　又因为：x∈[0，π]，所以单调区间为x∈[0，π4]；
　　对称轴由x+π4=π2+2kπ，得x=π4+kπ，k∈Z，但又因为定义域为[0，π]，所以对称轴为x=π4；
　　对称中心由x+π4=kπ，得x=kπ-π4，k∈Z，但又因为定义域为[0，π]，所以对称中心为（3π4，1+b）。
　　（2）当x∈[0，π]，x+π4∈[π4，5π4]，2sin（x+π4∈[-1，2]），
　　当又因为a<0，[2asin（x+π4）+a+b]max=a（-1）+a+b=4，即b=4
　　[2asin（x+π4）+a+b]min=2a+a+b=3，得a=1-2
　　面对以上三个例题，学生很容易因为忽视了函数的定义域而求错了函数的单调区间，不仅如此，在求解对称轴与对称中心和函数的最值时也不容忽视。要求教师与学生一起，既要心领神会函数的"中央精神"，又要结合"地方特色"将"中央精神"贯彻落实到实处，并引以为戒。