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1 一个教学片段
曾经在一次随堂听课中，听了一位比较年轻的老师在高三复习课中，讲到下面的一道例题。
例题：在等腰三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM的长小AC的长的概率。
老师先让学生做，巡视，然后提问学生的结果。
学生：在AB上截取AD=AC，则点M等可能落在线段AD上，又AB=2AC=2AD，于是AM的长小AC的长的概率P=ADAB=22.
老师：还有其它不同的做法，不同的结果吗？
学生：没有了。
老师：上面的做法错了。
学生：不会吧！
在学生一片惊愕中……
老师：正确的答案应该是——投影显示的答案。
投影显示的答案如下：
解析：如下图所示，依题意，应视作射线CM在∠ACB内是等可能分布的，在AB上截取AD=AC，则∠ACD=67.5°，于是AM的长小AC的长的概率P=67.590=34.
看到上面的解析后，很多学生问：老师为什么不是线段长的比，而是角度比？为什么线段比的错了呢？
老师：这题是与角度有关的，而不是与长度有关的几何概型问题，所以概率应该是角度比。你们第一次遇到这题，觉得比较难也是正常，如果有不理解的同学，希望尽量记住这道题。由于时间关系，我们转入下个问题……
2 问题与原因
2.1 为什么学生的解答与正确的答案不同？
人教版必修3中的3.3节《几何概型》及有关的练习与习题中的几何概型问题，其试验的类型几乎都是“点落在某区域”问题（以下简称为“落点”问题），学生接触多，很熟悉；而试验是“端点固定的射线（或指针）落在某区域”的问题（以下简称为“指针”问题），仅在134页，作为引入几何概型概念和公式的例子中出现一次。本例是“指针问题”，学生不熟悉。由于没有认真审题，对上面的例题没有感觉到跟以往所做的问题有何不同，受定势思维的影响，把“指针”问题误当作“落点”问题来解答，便得到错误的结果。
2.2 老师在这例题的处理上有何欠缺？
老师对这题处理如蜻蜓点水般——刚触及，旋即离开。或因为经验不足，或因为时间方面的原因，老师没有引导学生认真分析问题，没有发现到试验不再是以往熟悉“落点”问题，而是陌生的“指针”问题，自然没有探索“指针”问题的解决方法；“问题是数学的心脏”，没有及时把握教育时机，在学生刚刚产生认知冲突，有疑惑时便转入下个问题；没有基于学生的实际，创设问题情境进行教学活动，所以学生有困惑，觉得难。
3 改进的做法
教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟".另外只有让知识建立在学生已有知识的基础上，学生才能深刻理解知识。
问题是数学的心脏，善于利用学生的困惑，作为教学活动的切入口，能提高学生的兴趣和学习效果。
所以对本文开头的例题教学可按如下的步骤处理：
第一步： 按原来老师的处理方法，让学生自己先做，提问学生，然后呈现正确的答案。以引起学生的困惑，产生认知冲突。
第二步：把握好学生产生困惑的时机，创造条件让学生发现问题，发现各问题之间的差异，以及发现问题的解决方法；根据学生的基础及实际水平，把一个比较难或不熟悉的问题分拆为几个简单或熟悉的问题，以题组的形式呈现给学生。
①在下图中，有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
此问题是人教版必修3中的3.3节《几何概型》中，为引出几何概型的概念和概率公式而设置的例子。学生比较熟悉，很容易得到结果。此几何概型的试验是指针落在某区域的问题。
②在下图中，图（1）、图（2）是水平放置的两个圆盘。随机将一颗豆子扔到圆盘上，假设豆子不落在线上。分别求出图（1）、图（2）豆子落在B区域时的概率各是多少？
③如果把第（2）题的两个圆盘裁切成如下两个图，则图（1）、图（2）中豆子落在B区域时的概率还跟第2题的一样吗？
④如果把第①题的两个圆盘裁切成如下两个不规则的转盘（忽略重心变化的影响，假设指针指向每个位置都是等可能的），分别求出图（1）、图（2）中指针指向B区域时的概率各是多少？ 与第①题比较，你有何发现？
注：这四个问题背景简单，学生容易理解，并且都在能力范围内，能比较快解决。引导学生从熟悉的玩转盘游戏入手，让学生通过这四个问题，发现试验的变化导致处理方法的差别，使学生领会到"落点"问题与"指针"问题的不同，并获得"指针"问题的概率是有关角的角度比这样的认识，为最后正确理解和解决例题搭好桥梁，铺好路。
第三步：引导学生认真分析例题，分析例题中的试验是"过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM"，而不是"在AB上任取点 "。试验的限制条件则是"CM与线段AB交于点M，且AM的长小AC的长"。由于有第二步骤的铺垫，这样学生就非常清楚这是"指针"问题，自然水到渠成得到其概率是有关角的角度比，结果是34。
4 一些想法
正如一位数学家所说：数学教学应是数学活动的过程。因此教师应该立足学生的实际水平，创设情境，在学生的最近发展区进行教学活动。要善于利用学生的困惑，把握好教学活动的切入点，以引起学生高昂的学习情感。在教学活动中坚持学生是主体，要让学生体会到成功。在问题的解决过程中，要注意培养学生发现问题，探索解决问题的能力。
曾经在一次随堂听课中，听了一位比较年轻的老师在高三复习课中，讲到下面的一道例题。
例题：在等腰三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM的长小AC的长的概率。
老师先让学生做，巡视，然后提问学生的结果。
学生：在AB上截取AD=AC，则点M等可能落在线段AD上，又AB=2AC=2AD，于是AM的长小AC的长的概率P=ADAB=22.
老师：还有其它不同的做法，不同的结果吗？
学生：没有了。
老师：上面的做法错了。
学生：不会吧！
在学生一片惊愕中……
老师：正确的答案应该是——投影显示的答案。
投影显示的答案如下：
解析：如下图所示，依题意，应视作射线CM在∠ACB内是等可能分布的，在AB上截取AD=AC，则∠ACD=67.5°，于是AM的长小AC的长的概率P=67.590=34.
看到上面的解析后，很多学生问：老师为什么不是线段长的比，而是角度比？为什么线段比的错了呢？
老师：这题是与角度有关的，而不是与长度有关的几何概型问题，所以概率应该是角度比。你们第一次遇到这题，觉得比较难也是正常，如果有不理解的同学，希望尽量记住这道题。由于时间关系，我们转入下个问题……
2 问题与原因
2.1 为什么学生的解答与正确的答案不同？
人教版必修3中的3.3节《几何概型》及有关的练习与习题中的几何概型问题，其试验的类型几乎都是“点落在某区域”问题（以下简称为“落点”问题），学生接触多，很熟悉；而试验是“端点固定的射线（或指针）落在某区域”的问题（以下简称为“指针”问题），仅在134页，作为引入几何概型概念和公式的例子中出现一次。本例是“指针问题”，学生不熟悉。由于没有认真审题，对上面的例题没有感觉到跟以往所做的问题有何不同，受定势思维的影响，把“指针”问题误当作“落点”问题来解答，便得到错误的结果。
2.2 老师在这例题的处理上有何欠缺？
老师对这题处理如蜻蜓点水般——刚触及，旋即离开。或因为经验不足，或因为时间方面的原因，老师没有引导学生认真分析问题，没有发现到试验不再是以往熟悉“落点”问题，而是陌生的“指针”问题，自然没有探索“指针”问题的解决方法；“问题是数学的心脏”，没有及时把握教育时机，在学生刚刚产生认知冲突，有疑惑时便转入下个问题；没有基于学生的实际，创设问题情境进行教学活动，所以学生有困惑，觉得难。
3 改进的做法
教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟".另外只有让知识建立在学生已有知识的基础上，学生才能深刻理解知识。
问题是数学的心脏，善于利用学生的困惑，作为教学活动的切入口，能提高学生的兴趣和学习效果。
所以对本文开头的例题教学可按如下的步骤处理：
第一步： 按原来老师的处理方法，让学生自己先做，提问学生，然后呈现正确的答案。以引起学生的困惑，产生认知冲突。
第二步：把握好学生产生困惑的时机，创造条件让学生发现问题，发现各问题之间的差异，以及发现问题的解决方法；根据学生的基础及实际水平，把一个比较难或不熟悉的问题分拆为几个简单或熟悉的问题，以题组的形式呈现给学生。
①在下图中，有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏。规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
此问题是人教版必修3中的3.3节《几何概型》中，为引出几何概型的概念和概率公式而设置的例子。学生比较熟悉，很容易得到结果。此几何概型的试验是指针落在某区域的问题。
②在下图中，图（1）、图（2）是水平放置的两个圆盘。随机将一颗豆子扔到圆盘上，假设豆子不落在线上。分别求出图（1）、图（2）豆子落在B区域时的概率各是多少？
③如果把第（2）题的两个圆盘裁切成如下两个图，则图（1）、图（2）中豆子落在B区域时的概率还跟第2题的一样吗？
④如果把第①题的两个圆盘裁切成如下两个不规则的转盘（忽略重心变化的影响，假设指针指向每个位置都是等可能的），分别求出图（1）、图（2）中指针指向B区域时的概率各是多少？ 与第①题比较，你有何发现？
注：这四个问题背景简单，学生容易理解，并且都在能力范围内，能比较快解决。引导学生从熟悉的玩转盘游戏入手，让学生通过这四个问题，发现试验的变化导致处理方法的差别，使学生领会到"落点"问题与"指针"问题的不同，并获得"指针"问题的概率是有关角的角度比这样的认识，为最后正确理解和解决例题搭好桥梁，铺好路。
第三步：引导学生认真分析例题，分析例题中的试验是"过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM"，而不是"在AB上任取点 "。试验的限制条件则是"CM与线段AB交于点M，且AM的长小AC的长"。由于有第二步骤的铺垫，这样学生就非常清楚这是"指针"问题，自然水到渠成得到其概率是有关角的角度比，结果是34。
4 一些想法
正如一位数学家所说：数学教学应是数学活动的过程。因此教师应该立足学生的实际水平，创设情境，在学生的最近发展区进行教学活动。要善于利用学生的困惑，把握好教学活动的切入点，以引起学生高昂的学习情感。在教学活动中坚持学生是主体，要让学生体会到成功。在问题的解决过程中，要注意培养学生发现问题，探索解决问题的能力。