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摘 要：土方调配是土方设计施工中的一个常见工作，工程上一般运用"表上作业法"解决土方调配问题，但是存在计算量大、过程复杂、易出错等诸多问题。由于土方调配问题可以归结为一个线性规划问题，因此可以通过LINGO软件来实现。本文比较了"表上作业法"与LINGO软件分别解决土方调配问题，并将两种方法的特点进行对比，凸显出用LINGO解决土方调配问题的简单与实用。从而得出，在挖填方较多的大工程中，运用LINGO解决土方调配问题具有很明显的优势。
关键词：土方调配；线性规划；表上作业法；LINGO；灵敏度分析
1土方调配问题
1.1土方调配
土方调配是指在土木建筑设计和施工中进行场地平整时，经济合理地进行土方运输的作业。是通过合理的确定调配的方向和数量，即土方的运输与土方的回填，在调配的土方量最小或着施工费用最少的前提下，使得挖方量与填方量达到平衡。
即要求对填方区与挖方区的调配方案进行合理安排，使得土方总运输量最小或者土方运输成本最小，从而缩短工期、降低施工总费用。
在实际运用中，建立土方调配的方程时，需满足如下约束条件：
1.2土方调配的原则
1）尽量满足施工场地内挖方量与填方量达到平衡，合理安排调配路线，力求运输距离最短、运输费用最少；2）考虑在运输过程中桥涵位置的影响，同时也应注意施工的可能和方便，尽量减少或者避免上坡运土；3）合理规划土方的使用，挖方与填方同时进行，减少和避免进行重复挖填与运输；4）保护好生态环境，避免造成水土流失，便于以后的施工。
2土方调配问题的建模
2.1编制土方调配表
引用一个土方调配问题建立土方调配表（如表一），xij是待求得的土方调配量，即从第i个挖方区调运到第j个填方区所需要的土方量。右边的数据即价格系数，表示从第 个挖方区调运到第j个填方区的距离或所需费用。
2.2建立数学模型
建立如下目标函数：
需在满足以下约束条件的情况下，使目标函数的取值最小：
通过建立出的数学模型可以看出这是一个线性规划问题，可以通过“表上作业法”来进行求解。当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各元素列成表格，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行调整，直至得到满意的结果。
“表上作业法”经过“最小元素法”确定初始调配方案、“假象系数法”求检验数来判别是否达到最优调配方案等步骤对土方调配问题进行求解，得出结果为x11 =400，x12 =100， x22=500， x31=400， x33=100， x43=400，最优土方调配方案的土方总运输量为Z=400×50+100×70+400×60+100×70+400×40=94000（ m3*m）。
2.3“表上作业法”的评价
“表上作业法”主要分四步：运用西北角法、最小元素法找出初始基本可行解，根求出非基变量的检验数判断是否达到最优解，改进基本可行解，重复上述步骤直至求出最优解。
虽然“表上作业法”在各类计算土方调配问题的方法中较为简便，但是仍存在下述缺陷：
1）计算量大，数据处理任务艰巨。假定共有挖方区 m个，填方区 n个，在求初始基可行解的时候需要进行m+n-1次加减运算；用闭回路法调整，在k次调整的情况下，中间环节需要计算 k×（m×n）次求得最优解时，最优解方案的安排需要经过m+n-1次加减运算得出。全程共需2×（m+n-1）+k×（m×n）次运算，加上各种客观因素的存在，实现起来较为困难；
2）由于计算的步骤特别多，计算量比较大，且全为手工计算，所以容易出错，在解决大型土方调配问题时耗时较长，由于计算量大，检查起来也很不方便。
相比之下，运用LINGO软件编写程序解决此类线性规划问题时则显得容易许多。
3 LINGO在土方调配中的应用
3.1建立LINGO模型
对于土方调配问题，由于能归结为线性规划问题，可以建立相关模型并编写程序，运用LINGO软件进行求解。首先建立一个工地运输问题的模型，相关数据见下表，设xij是出产Ai 运往消耗Bj的数量，其中i=1，2，…，m； j=1，2，…，n。cij 是xij 对应的价格系数。
当出产量等于消耗量时，所建立的模型为：
与2.2节模型对应的LINGO语句为：
min=50*x11+70*x12+140*x13+70*x21+40*x22+80*x23+60*x31+140*x32+70*x33+100*x41+120*x42+40*x43；x11+x12+x13=500；x21+x22+x23=500；x31+x32+x33=500；x41+x42+x43=400；x11+x21+x31+x41=800；x12+x22+x32+x42=600；x13+x23+x33+x43=500；x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33+x41+x42+x43=1900；
3.2求解结果与灵敏度分析
将此语句写进LINGO软件进行执行，得到结果如下：
由此执行结果可以看出用单纯形方法迭代6次求得问题的解为： =400， =100， =500， =400， =100， =400，最优调配方案的总运输量为94000 。此结果与用土方调配法算出的最优调配方案相同，但省去了很多步骤，求解方法大大简化。
进行灵敏度分析的结果如下：
由灵敏度分析结果可知，当目标函数的价格系数（即 Coefficient列）分别增加Increase列或减少Decrease列的各数值时，最优基保持不变，其中INFINITY 表示正无穷。如本例中， 的价格系数在 范围内变化时，最优基保持不变。
3.3 LINGO求解土方调配问题的优点
利用LINGO编程求解土方调配问题是非常方便的，而且其针对模型的程序语言也非常简洁，编写程序较为灵活，主要优点如下：
1）输入模型简练、直观；2）程序执行效率高，运算速度快，计算能力强，求解的结果比较精确，且不容易出错；3）相对于传统求解线性规划问题的方法以及excel，LINGO技术型更强，能求解的变量更多，也更容易上手；4）当价格系数变化时，只需简单改变对应程序中的数字即可。
参考文献：
[1]张现乐，王月明，欧阳靖雯.土方调配和运输问题的两种实现方法[J].施工技术与测量技术，2012（4）：204-207.
[2]罗宏伟.基于Lingo的站场土石方调配系统模型与应用[J].铁路计算机应用，2011（12）：33-35.
[3]马南湘.数学建模在土木工程土方调配中的应用[J].广西大学学报，2003（28）：17-19.
[4]杨桂元.数学建模[M].上海：上海財经大学出版社，2015
关键词：土方调配；线性规划；表上作业法；LINGO；灵敏度分析
1土方调配问题
1.1土方调配
土方调配是指在土木建筑设计和施工中进行场地平整时，经济合理地进行土方运输的作业。是通过合理的确定调配的方向和数量，即土方的运输与土方的回填，在调配的土方量最小或着施工费用最少的前提下，使得挖方量与填方量达到平衡。
即要求对填方区与挖方区的调配方案进行合理安排，使得土方总运输量最小或者土方运输成本最小，从而缩短工期、降低施工总费用。
在实际运用中，建立土方调配的方程时，需满足如下约束条件：
1.2土方调配的原则
1）尽量满足施工场地内挖方量与填方量达到平衡，合理安排调配路线，力求运输距离最短、运输费用最少；2）考虑在运输过程中桥涵位置的影响，同时也应注意施工的可能和方便，尽量减少或者避免上坡运土；3）合理规划土方的使用，挖方与填方同时进行，减少和避免进行重复挖填与运输；4）保护好生态环境，避免造成水土流失，便于以后的施工。
2土方调配问题的建模
2.1编制土方调配表
引用一个土方调配问题建立土方调配表（如表一），xij是待求得的土方调配量，即从第i个挖方区调运到第j个填方区所需要的土方量。右边的数据即价格系数，表示从第 个挖方区调运到第j个填方区的距离或所需费用。
2.2建立数学模型
建立如下目标函数：
需在满足以下约束条件的情况下，使目标函数的取值最小：
通过建立出的数学模型可以看出这是一个线性规划问题，可以通过“表上作业法”来进行求解。当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各元素列成表格，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行调整，直至得到满意的结果。
“表上作业法”经过“最小元素法”确定初始调配方案、“假象系数法”求检验数来判别是否达到最优调配方案等步骤对土方调配问题进行求解，得出结果为x11 =400，x12 =100， x22=500， x31=400， x33=100， x43=400，最优土方调配方案的土方总运输量为Z=400×50+100×70+400×60+100×70+400×40=94000（ m3*m）。
2.3“表上作业法”的评价
“表上作业法”主要分四步：运用西北角法、最小元素法找出初始基本可行解，根求出非基变量的检验数判断是否达到最优解，改进基本可行解，重复上述步骤直至求出最优解。
虽然“表上作业法”在各类计算土方调配问题的方法中较为简便，但是仍存在下述缺陷：
1）计算量大，数据处理任务艰巨。假定共有挖方区 m个，填方区 n个，在求初始基可行解的时候需要进行m+n-1次加减运算；用闭回路法调整，在k次调整的情况下，中间环节需要计算 k×（m×n）次求得最优解时，最优解方案的安排需要经过m+n-1次加减运算得出。全程共需2×（m+n-1）+k×（m×n）次运算，加上各种客观因素的存在，实现起来较为困难；
2）由于计算的步骤特别多，计算量比较大，且全为手工计算，所以容易出错，在解决大型土方调配问题时耗时较长，由于计算量大，检查起来也很不方便。
相比之下，运用LINGO软件编写程序解决此类线性规划问题时则显得容易许多。
3 LINGO在土方调配中的应用
3.1建立LINGO模型
对于土方调配问题，由于能归结为线性规划问题，可以建立相关模型并编写程序，运用LINGO软件进行求解。首先建立一个工地运输问题的模型，相关数据见下表，设xij是出产Ai 运往消耗Bj的数量，其中i=1，2，…，m； j=1，2，…，n。cij 是xij 对应的价格系数。
当出产量等于消耗量时，所建立的模型为：
与2.2节模型对应的LINGO语句为：
min=50*x11+70*x12+140*x13+70*x21+40*x22+80*x23+60*x31+140*x32+70*x33+100*x41+120*x42+40*x43；x11+x12+x13=500；x21+x22+x23=500；x31+x32+x33=500；x41+x42+x43=400；x11+x21+x31+x41=800；x12+x22+x32+x42=600；x13+x23+x33+x43=500；x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33+x41+x42+x43=1900；
3.2求解结果与灵敏度分析
将此语句写进LINGO软件进行执行，得到结果如下：
由此执行结果可以看出用单纯形方法迭代6次求得问题的解为： =400， =100， =500， =400， =100， =400，最优调配方案的总运输量为94000 。此结果与用土方调配法算出的最优调配方案相同，但省去了很多步骤，求解方法大大简化。
进行灵敏度分析的结果如下：
由灵敏度分析结果可知，当目标函数的价格系数（即 Coefficient列）分别增加Increase列或减少Decrease列的各数值时，最优基保持不变，其中INFINITY 表示正无穷。如本例中， 的价格系数在 范围内变化时，最优基保持不变。
3.3 LINGO求解土方调配问题的优点
利用LINGO编程求解土方调配问题是非常方便的，而且其针对模型的程序语言也非常简洁，编写程序较为灵活，主要优点如下：
1）输入模型简练、直观；2）程序执行效率高，运算速度快，计算能力强，求解的结果比较精确，且不容易出错；3）相对于传统求解线性规划问题的方法以及excel，LINGO技术型更强，能求解的变量更多，也更容易上手；4）当价格系数变化时，只需简单改变对应程序中的数字即可。
参考文献：
[1]张现乐，王月明，欧阳靖雯.土方调配和运输问题的两种实现方法[J].施工技术与测量技术，2012（4）：204-207.
[2]罗宏伟.基于Lingo的站场土石方调配系统模型与应用[J].铁路计算机应用，2011（12）：33-35.
[3]马南湘.数学建模在土木工程土方调配中的应用[J].广西大学学报，2003（28）：17-19.
[4]杨桂元.数学建模[M].上海：上海財经大学出版社，2015