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在中学物理问题中我们经常会碰到一些小量的处理问题,这类问题如果直接计算是无法解答的,因此在处理这类问题时常采用近似方法进行计算。在经常用到的处理方法中有以下两种:
一、利用sinθ≈tanθ≈θ(θ很小)
在θ很小时(小于5°),数学中有下列近似关系式sinθ≈tanθ≈θ(其中θ应以弧度为单位)。在中学物理问题中特别是近似计算中就要用这些关系式使复杂问题简单化。
例1:已知单摆摆长为,当地重力加速度为g,试证明在摆角θ很小的情况下(θ≤5°),单摆的运动为简谐运动。
证明:如图所示为单摆摆动过程中的任一位置B,设其摆角为θ,摆球受重力G=mg和绳子的拉力T两个力的作用,则使摆球回到平衡位置的力即回复力为F=-G1=-mgsinθ。
因为摆角很小(小于5°),故有sinθ≈θ=,即F=-·x,其中x为摆球偏离平衡位置的位移,负号表示回复力的方向与位移方向相反。令k=,则F=-kx,即单摆的运动为简谐运动。
例2:某水池实际深度为h,垂直于水面往下看,视深度是多少(设水的折射率为n)?
解:设S为水池底部的点光源,在S发出的光线中选取一条垂直于水面MN的光线,由O点射出;另一条以与SO成极小角度从S射向水面的A点,如图所示,因入射角很小,故折射角也极小 (之所以如此假设,是因为由发光点发出的光能进入眼睛的发散光束极小)。那么进入眼中的两条折射光线的反向延长线交于S′点,该点即为我们看到的水池底部点光源的像点。S′点到水面的距离h′即为视深,由图可以看出,视深小于实际深度。
设入射角为i,折射角为r,由几何关系可知:
tani=·tanr=
因为i、r很小,所以sini≈tani,sinr≈tanr
由折射率定律得:n=
即,视深为实际深度的。
二、利用(<<1)
在数学中有关系式:
=1+nx+·x2+…+nxn-1+xn
其中当x很小时就可以忽略高阶小量得到≈1+nx。当指数为负值时有这样的形式:(<<1)。而物理问题在处理时也经常会碰到这样的小量问题,采取这种近似的方法会使问题变得容易求解。
例3:(2007年高考,江苏)如图所示,带电量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑的绝缘细杆上,相距为d。若杆上套一带电小球C,带电体A、B和C均可视为点电荷。
(1)求小环C的平衡位置。
(2)若小环C带电量为q,将小环拉离平衡位置一小位移x(|x|<<d)后静止释放,试判断小环C能否回到平衡位置。(回答“能”或“不能”即可)
(3)若小球C带电量为-q,将小环拉离平衡位置一小位移x(|x|<<d)后静止释放,试证明小环C将做简谐运动。(提示:当<<1时,则)
(1)、(2)解答(略)
(3)解:环C带电量为-q,其平衡位置不变,由(1)可得C的平衡位置在B的右侧离B为d的地方,拉离平衡位置一小位移x后,C所受的合力为:
F=-(取向右为正方向)
===·x
其中k为常量,g、d为定值,故为定值,令K=,负号表示x方向与F方向相反。
所以F=-Kx
即小环C将做简谐运动。
在物理学中,还存在很多这样的问题,只要我们善于运用数学的相关知识,就会使问题大大地得以简化,但又不得影响结果的正确性,要有助于学生更深入地理解和掌握物理知识。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、利用sinθ≈tanθ≈θ(θ很小)
在θ很小时(小于5°),数学中有下列近似关系式sinθ≈tanθ≈θ(其中θ应以弧度为单位)。在中学物理问题中特别是近似计算中就要用这些关系式使复杂问题简单化。
例1:已知单摆摆长为,当地重力加速度为g,试证明在摆角θ很小的情况下(θ≤5°),单摆的运动为简谐运动。
证明:如图所示为单摆摆动过程中的任一位置B,设其摆角为θ,摆球受重力G=mg和绳子的拉力T两个力的作用,则使摆球回到平衡位置的力即回复力为F=-G1=-mgsinθ。
因为摆角很小(小于5°),故有sinθ≈θ=,即F=-·x,其中x为摆球偏离平衡位置的位移,负号表示回复力的方向与位移方向相反。令k=,则F=-kx,即单摆的运动为简谐运动。
例2:某水池实际深度为h,垂直于水面往下看,视深度是多少(设水的折射率为n)?
解:设S为水池底部的点光源,在S发出的光线中选取一条垂直于水面MN的光线,由O点射出;另一条以与SO成极小角度从S射向水面的A点,如图所示,因入射角很小,故折射角也极小 (之所以如此假设,是因为由发光点发出的光能进入眼睛的发散光束极小)。那么进入眼中的两条折射光线的反向延长线交于S′点,该点即为我们看到的水池底部点光源的像点。S′点到水面的距离h′即为视深,由图可以看出,视深小于实际深度。
设入射角为i,折射角为r,由几何关系可知:
tani=·tanr=
因为i、r很小,所以sini≈tani,sinr≈tanr
由折射率定律得:n=
即,视深为实际深度的。
二、利用(<<1)
在数学中有关系式:
=1+nx+·x2+…+nxn-1+xn
其中当x很小时就可以忽略高阶小量得到≈1+nx。当指数为负值时有这样的形式:(<<1)。而物理问题在处理时也经常会碰到这样的小量问题,采取这种近似的方法会使问题变得容易求解。
例3:(2007年高考,江苏)如图所示,带电量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑的绝缘细杆上,相距为d。若杆上套一带电小球C,带电体A、B和C均可视为点电荷。
(1)求小环C的平衡位置。
(2)若小环C带电量为q,将小环拉离平衡位置一小位移x(|x|<<d)后静止释放,试判断小环C能否回到平衡位置。(回答“能”或“不能”即可)
(3)若小球C带电量为-q,将小环拉离平衡位置一小位移x(|x|<<d)后静止释放,试证明小环C将做简谐运动。(提示:当<<1时,则)
(1)、(2)解答(略)
(3)解:环C带电量为-q,其平衡位置不变,由(1)可得C的平衡位置在B的右侧离B为d的地方,拉离平衡位置一小位移x后,C所受的合力为:
F=-(取向右为正方向)
===·x
其中k为常量,g、d为定值,故为定值,令K=,负号表示x方向与F方向相反。
所以F=-Kx
即小环C将做简谐运动。
在物理学中,还存在很多这样的问题,只要我们善于运用数学的相关知识,就会使问题大大地得以简化,但又不得影响结果的正确性,要有助于学生更深入地理解和掌握物理知识。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”