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一次在江苏省泰州市洋思中学学习，听了一节苏科版九年级（上）“直线与圆的位置关系”的课堂教学。上世纪80年代，洋思中学率先进行课改，创造了“先学后教，当堂训练”的课堂教学模式，课堂上通过学生先学、教师后教、当堂训练达成“双基”目标。经过三十多年的实践，洋思的品牌依旧响亮，教学模式不断创新。在新课程标准的理念下，洋思人不断改进课堂模式，立足“三维目标”，以“四基”为抓手，不断把课堂改革推向深入。笔者近距离地观摩了新课标下的“先学后教，当堂训练”的教学全程。对这一模式也有了全新的认识，切实感受到“以问题驱动‘先学’，以交流完善‘后教’”的课堂魅力。现把其课堂教学的片断分享如下，供大家参考。
1.课堂片段呈现
1.1.“先学”指导（PPT展示）
教师依据课程标准、教材要求和学生的认知水平，设计如下的学生“自学”提纲，供学生在课上自学：
（1）本节课目标：探索直线与圆的位置关系;了解直线与圆的3种位置关系;会判断直线与圆的位置关系，体会数形结合的思想。（这是学生的学习目标，不是教学目标）
（2）第70页中巴金先生描写的海上日出的景观，你觉得美吗？其中蕴含着数学知识吗？你能从这一情境中抽象出怎样的数学模型？
（3）在操作与思考这一环节，请你动手操作一遍，并演示给你的同桌看看，说说和（1）中的描述有什么联系和区别，同时相互说说直线与圆的位置发生了什么变化，直线与圆的公共点发生了什么变化。
（4）直线与圆的位置关系可以借鉴点与圆的位置关系的研究方法吗？若可以，你认为应从哪几个方面研究直线与圆的位置关系？
（5）直线与圆有哪3种位置关系？如何用公共点的特征描述3种关系？结合图2-37思考如何用d与r的关系描述直线与圆的位置关系，说出“直线与圆相切?d=r”和“d=r?直线与圆相切”的理由。
（6）直线与圆的位置关系有几种判定方法？判定直线与圆的位置关系可以转化为判定点与圆的位置关系吗？怎么转化？
（7）看例1时思考，题中为什么作CD⊥AB？这一作法具有普遍意义吗？相互说说具体作法。
（8）在例1中，把“r为半径的圆与AB所在的直线有怎样的位置关系”改为“r为半径的圆与线段AB有怎样的位置关系”，你又是如何思考的？
（9）10分钟后我们一起交流你学到的知识、方法以及你自学中不理解的问题。
1.2学生自学
学生对照“先学指导”的8点要求，认真看书，并用铅笔在书上做适当的记号，按照提纲要求逐一理解，其中在自学到（2）时，必须用直尺自己操作一遍，感受直线与圆的位置变化关系。整个自学过程有序而安静，教师在教室的行间巡视，进行督学，时刻关注学生中存在的问题和有问题的学生。
1.3“自学”交流
在学生“自学”10分钟后，教师把学生分成6个小组。采取“请教”“互教”逐一完成交流提纲中的问题。有的小组是一人问另一人答，也有采取一人问众人答。对部分学生不理解的问题，由掌握得好的同学辅导、讲解。对大家都难以理解的由组长汇总，教师把各组汇总的问题和自己在巡视中发现的问题板书在黑板上，共3个问题：（1）对直线与圆的位置关系借助于点与圆的位置关系来研究，学生没有重视（教师在巡视中的发现）;（2）“直线与圆相切?d=r”和“d=r?直线与圆相切”的理由难以说得清楚;（3）学生只关注结论，不关注结论形成的过程，比如“自学”环节中的（1）、（2）学生关注得很少。教师根据学生自学的情况，确定“后教”的内容和方式。
1.4.教师“后教”
师：点与圆有几种位置关系？如何用符号“?”表示d、r的数量关系与位置关系？
生1：3种位置关系，点在圆外?d>r;点在圆上?d=r;点在圆内?d 师：直线与圆的位置和点与圆的位置关系有相似之处吗？
生2：有，我就是根据点和圆的位置关系来学习直线和圆的位置关系的，点和圆的位置关系是点在圆内、圆上、圆外，直线和圆的位置关系是直线和圆相交、相切、相离，体现在d和r的数量关系上就是dr。
师：很好！能根据已有的知识学习新知识是人类探究新问题的基本方法，你能告诉我直线与圆的位置关系中的d和点与圆的位置关系中的d一样吗？
生2：不一样，前者是圆心到直线的距离，是垂线段的长，后者是圆心到点的距离。
师：教材怎么想到用d与r的关系来反映直线与圆的位置关系的？
生3：这是借鉴点与圆的位置关系来研究的。
师：你说得很对！方法有时候比知识更重要，八年级我们学习分式时，就是借鉴分数的研究方法来学习分式的，这里，虽然d的含义不同，但后者借助于前者的研究方法，这样的思路很重要，再比如我们学习函数，一般都是从情境中抽象出解析式，然后画出图像，再根据图像研究函数的性质，这样的方法是通法，掌握了通法我们就找到了解决同一类问题的抓手，所以，我们在学习知识的同时，要加强对数学方法和思想的归纳总结，不断提高解决问题的能力。
师：谁来说说“直线与圆相切?d=r”的理由？
生4：根据定义，当直线与圆相切时，直线与圆有唯一的公共点，把这一点和圆心连接起来，如果该连线和切线不垂直，根据圆的轴对称性可知，切线和圆如有两个交点，这和条件是矛盾的，所以连线一定和切线垂直，也就是d=r。
师：你分析得很深刻，说明你认真思考了这个问题，这种钻研精神值得大家学习，你运用的是反证法的思想。如何运用反证法，下节课我们会详细介绍，有兴趣的同学课后可以通过网络先自学反证法。下面请谁说说“d=r?直线与圆相切”的理由？
生5：我是这样理解的，直线与圆相交（有两个公共点，0≤dr），在从相离到相交的过程中，必然会出现直线和圆只有唯一公共点的情况，也就是直线和圆相切。（注：生4和生5的回答是在教师的引导下，全班多次讨论而得出的结论，这两个问题有相当的难度）
师：分析得真好！这是一个夹逼的过程。我们继续思考能不能把判定直线与圆的位置关系转化为判定点与圆的位置关系呢？
生6：可以，我观察到，在图2-37中，我们只要看点D与圆的位置关系即可，若点D在圆内，则直线与圆相交;点D在圆上，则直线与圆相切;点D在圆外，则直线与圆相离。
师：其实就是判断垂足与圆的位置关系，这是数学的转化思想，我们一般把未知的知识转化为已经学习过的知识和经验来解决，从而产生化归的思想。现在，我们一起来总结，判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？
生7：可以用直线与圆公共点的个数来判断。
生8：可以用d与r的数量关系来判断。
生9：可以过圆心作直线的垂线段，根据垂足（点）与圆的位置关系来判断。
（因篇幅限制，省略例题）
1.5当堂训练
必做题第73页题1;选做题第73页题2;思考题（略）。
2.几点感悟
2.1以问题驱动“先学”，以对话交流思考
学生如何“先学”？是简单看书，记住结论就行吗？能当堂完成所有的题目就是“先学”效果好吗？显然不是，“先学”是在教师的引导下，学生动手操作、独立思考、自主探究、合作交流的过程。本节课教师依据课程标准、教材要求和学生的认知水平，设计了9条学生“自学”提纲，从方向、方法两个方面进行引导。所谓方向，就是本节课的学习目标（不是课堂教学目标），主要指学生应该掌握的知识、形成的技能、培养的能力等，所谓方法，就是学生自学过程中应该看哪些内容、思考哪些问题、参与哪些活动、完成哪些习题等，这样设计的目的是让学生的自学有方向、有方法，减少自学的盲目性，真正做到让学生自主而不自由，放手而不放任。
设计者以问题驱动“先学”，9个问题环环相扣，涵盖了本节课知识、技能、思想方法、思维训练等方面的要求，通过引导学生看书、操作、思考、计算、验证，让学生经历知识的形成过程，这一过程是生动活泼的、主动的且富有个性，学生不仅获取了知识，还学会了数学思考，学会了解决问题，获得数学学习的体验。自学之后的“对话交流”环节设计非常科学，一方面通过生生交流，达到“请教”和“互教”的目的，提高了学习的效率，让整个班级都沉浸在学习的氛围中，另一方面通过生生交流、师生交流，教师能及时了解学情，准确捕捉“后教”的素材，学生会的就不讲，真正做到“以学定教”，对于个别人、个别问题，可以请同学相互教，对于共性的问题，面向全班教。
2.2“后教”完善知识链，让思维变得深刻
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称“标准”）指出：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。怎么“后教”？存在两种误区，一种观点认为，学生已经先学了，再教就是浪费时间，所以，把“后教”直接就变成了习题训练;另一种观点认为，学生“先学”不到位，总是不放心，于是重新教一遍，这样先学就变成了多余的环节，这两种观点其实都是把“先学”和“后教”置于同一层面，事实上，“先学”和“后教”应该各有分工，“先学”是基础和过程，“后教”是提升与拓展，“后教”重在弥补“先学”中学生的知识缺陷、完善知识结构和提升思维能力。后教着力解决以下问题：一是解决学生自学中存在的问题，补全知识缺陷，把学生零散的知识串联成线，使知识系统化;二是引导学生关注在自学中容易忽视的细节和思想方法，比如本节课的说出“直线与圆相切d=r”和“d=r直线与圆相切”的理由;三是要引导学生不断思考，思考教材不便表达的东西，思考教材背后的东西，教师通过“后教”要引导学生思维向深度和广度拓展，通过挖掘教材背后深层次的东西，使学生养成用数学思考问题的习惯，培养思维能力。
教师根据学生自学中存在的问题、学生忽视的问题、教材中表达不到位的问题组织教学，就能使“后教”有选择、有重点地进行。事实上师生梳理的问题也确实是本节课的重、难点以及学生学习中容易忽视的方法和思想，教师适时进行教学，恰是教在重点、难点处，教在方法提升处，教在思维延伸处。
3值得思考的地方
“先学后教，当堂训练”先让学生自学，教师在学生自学的基础上有针对性地“后教”，当堂进行科学训练，所有这一切都在课堂内完成，确实减轻了学生过重的课业负担，但一个不容忽视的问题呈现在我们面前。在教师的“自学提纲”指导下，学生按照教师提供的思路，依据教材的线索看书、思考，这里的“思考”只能视为“理解课本”，也就是对教材呈现的知识进行理解，是一个弄懂知识、解释知识的过程，而这一过程缺失了“猜想、归纳”的思维活动，少了合情推理的身影，长此以往，对学生的创新能力的培养是不利的。《标准》指出：推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。一个完美的数学课堂，学生应该始终处于思考、探究、猜想和发现的状态。教师通过创设合适的情境，让学生经历从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程，在这一过程中通过类比、归纳等合情推理（猜想）探索思路、发现结论，从而培养学生的创新意识。创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。从这个角度讲，这确是本节课还存在不容忽视的不足！
1.课堂片段呈现
1.1.“先学”指导（PPT展示）
教师依据课程标准、教材要求和学生的认知水平，设计如下的学生“自学”提纲，供学生在课上自学：
（1）本节课目标：探索直线与圆的位置关系;了解直线与圆的3种位置关系;会判断直线与圆的位置关系，体会数形结合的思想。（这是学生的学习目标，不是教学目标）
（2）第70页中巴金先生描写的海上日出的景观，你觉得美吗？其中蕴含着数学知识吗？你能从这一情境中抽象出怎样的数学模型？
（3）在操作与思考这一环节，请你动手操作一遍，并演示给你的同桌看看，说说和（1）中的描述有什么联系和区别，同时相互说说直线与圆的位置发生了什么变化，直线与圆的公共点发生了什么变化。
（4）直线与圆的位置关系可以借鉴点与圆的位置关系的研究方法吗？若可以，你认为应从哪几个方面研究直线与圆的位置关系？
（5）直线与圆有哪3种位置关系？如何用公共点的特征描述3种关系？结合图2-37思考如何用d与r的关系描述直线与圆的位置关系，说出“直线与圆相切?d=r”和“d=r?直线与圆相切”的理由。
（6）直线与圆的位置关系有几种判定方法？判定直线与圆的位置关系可以转化为判定点与圆的位置关系吗？怎么转化？
（7）看例1时思考，题中为什么作CD⊥AB？这一作法具有普遍意义吗？相互说说具体作法。
（8）在例1中，把“r为半径的圆与AB所在的直线有怎样的位置关系”改为“r为半径的圆与线段AB有怎样的位置关系”，你又是如何思考的？
（9）10分钟后我们一起交流你学到的知识、方法以及你自学中不理解的问题。
1.2学生自学
学生对照“先学指导”的8点要求，认真看书，并用铅笔在书上做适当的记号，按照提纲要求逐一理解，其中在自学到（2）时，必须用直尺自己操作一遍，感受直线与圆的位置变化关系。整个自学过程有序而安静，教师在教室的行间巡视，进行督学，时刻关注学生中存在的问题和有问题的学生。
1.3“自学”交流
在学生“自学”10分钟后，教师把学生分成6个小组。采取“请教”“互教”逐一完成交流提纲中的问题。有的小组是一人问另一人答，也有采取一人问众人答。对部分学生不理解的问题，由掌握得好的同学辅导、讲解。对大家都难以理解的由组长汇总，教师把各组汇总的问题和自己在巡视中发现的问题板书在黑板上，共3个问题：（1）对直线与圆的位置关系借助于点与圆的位置关系来研究，学生没有重视（教师在巡视中的发现）;（2）“直线与圆相切?d=r”和“d=r?直线与圆相切”的理由难以说得清楚;（3）学生只关注结论，不关注结论形成的过程，比如“自学”环节中的（1）、（2）学生关注得很少。教师根据学生自学的情况，确定“后教”的内容和方式。
1.4.教师“后教”
师：点与圆有几种位置关系？如何用符号“?”表示d、r的数量关系与位置关系？
生1：3种位置关系，点在圆外?d>r;点在圆上?d=r;点在圆内?d
生2：有，我就是根据点和圆的位置关系来学习直线和圆的位置关系的，点和圆的位置关系是点在圆内、圆上、圆外，直线和圆的位置关系是直线和圆相交、相切、相离，体现在d和r的数量关系上就是d
师：很好！能根据已有的知识学习新知识是人类探究新问题的基本方法，你能告诉我直线与圆的位置关系中的d和点与圆的位置关系中的d一样吗？
生2：不一样，前者是圆心到直线的距离，是垂线段的长，后者是圆心到点的距离。
师：教材怎么想到用d与r的关系来反映直线与圆的位置关系的？
生3：这是借鉴点与圆的位置关系来研究的。
师：你说得很对！方法有时候比知识更重要，八年级我们学习分式时，就是借鉴分数的研究方法来学习分式的，这里，虽然d的含义不同，但后者借助于前者的研究方法，这样的思路很重要，再比如我们学习函数，一般都是从情境中抽象出解析式，然后画出图像，再根据图像研究函数的性质，这样的方法是通法，掌握了通法我们就找到了解决同一类问题的抓手，所以，我们在学习知识的同时，要加强对数学方法和思想的归纳总结，不断提高解决问题的能力。
师：谁来说说“直线与圆相切?d=r”的理由？
生4：根据定义，当直线与圆相切时，直线与圆有唯一的公共点，把这一点和圆心连接起来，如果该连线和切线不垂直，根据圆的轴对称性可知，切线和圆如有两个交点，这和条件是矛盾的，所以连线一定和切线垂直，也就是d=r。
师：你分析得很深刻，说明你认真思考了这个问题，这种钻研精神值得大家学习，你运用的是反证法的思想。如何运用反证法，下节课我们会详细介绍，有兴趣的同学课后可以通过网络先自学反证法。下面请谁说说“d=r?直线与圆相切”的理由？
生5：我是这样理解的，直线与圆相交（有两个公共点，0≤d
生6：可以，我观察到，在图2-37中，我们只要看点D与圆的位置关系即可，若点D在圆内，则直线与圆相交;点D在圆上，则直线与圆相切;点D在圆外，则直线与圆相离。
师：其实就是判断垂足与圆的位置关系，这是数学的转化思想，我们一般把未知的知识转化为已经学习过的知识和经验来解决，从而产生化归的思想。现在，我们一起来总结，判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？
生7：可以用直线与圆公共点的个数来判断。
生8：可以用d与r的数量关系来判断。
生9：可以过圆心作直线的垂线段，根据垂足（点）与圆的位置关系来判断。
（因篇幅限制，省略例题）
1.5当堂训练
必做题第73页题1;选做题第73页题2;思考题（略）。
2.几点感悟
2.1以问题驱动“先学”，以对话交流思考
学生如何“先学”？是简单看书，记住结论就行吗？能当堂完成所有的题目就是“先学”效果好吗？显然不是，“先学”是在教师的引导下，学生动手操作、独立思考、自主探究、合作交流的过程。本节课教师依据课程标准、教材要求和学生的认知水平，设计了9条学生“自学”提纲，从方向、方法两个方面进行引导。所谓方向，就是本节课的学习目标（不是课堂教学目标），主要指学生应该掌握的知识、形成的技能、培养的能力等，所谓方法，就是学生自学过程中应该看哪些内容、思考哪些问题、参与哪些活动、完成哪些习题等，这样设计的目的是让学生的自学有方向、有方法，减少自学的盲目性，真正做到让学生自主而不自由，放手而不放任。
设计者以问题驱动“先学”，9个问题环环相扣，涵盖了本节课知识、技能、思想方法、思维训练等方面的要求，通过引导学生看书、操作、思考、计算、验证，让学生经历知识的形成过程，这一过程是生动活泼的、主动的且富有个性，学生不仅获取了知识，还学会了数学思考，学会了解决问题，获得数学学习的体验。自学之后的“对话交流”环节设计非常科学，一方面通过生生交流，达到“请教”和“互教”的目的，提高了学习的效率，让整个班级都沉浸在学习的氛围中，另一方面通过生生交流、师生交流，教师能及时了解学情，准确捕捉“后教”的素材，学生会的就不讲，真正做到“以学定教”，对于个别人、个别问题，可以请同学相互教，对于共性的问题，面向全班教。
2.2“后教”完善知识链，让思维变得深刻
《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称“标准”）指出：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。怎么“后教”？存在两种误区，一种观点认为，学生已经先学了，再教就是浪费时间，所以，把“后教”直接就变成了习题训练;另一种观点认为，学生“先学”不到位，总是不放心，于是重新教一遍，这样先学就变成了多余的环节，这两种观点其实都是把“先学”和“后教”置于同一层面，事实上，“先学”和“后教”应该各有分工，“先学”是基础和过程，“后教”是提升与拓展，“后教”重在弥补“先学”中学生的知识缺陷、完善知识结构和提升思维能力。后教着力解决以下问题：一是解决学生自学中存在的问题，补全知识缺陷，把学生零散的知识串联成线，使知识系统化;二是引导学生关注在自学中容易忽视的细节和思想方法，比如本节课的说出“直线与圆相切d=r”和“d=r直线与圆相切”的理由;三是要引导学生不断思考，思考教材不便表达的东西，思考教材背后的东西，教师通过“后教”要引导学生思维向深度和广度拓展，通过挖掘教材背后深层次的东西，使学生养成用数学思考问题的习惯，培养思维能力。
教师根据学生自学中存在的问题、学生忽视的问题、教材中表达不到位的问题组织教学，就能使“后教”有选择、有重点地进行。事实上师生梳理的问题也确实是本节课的重、难点以及学生学习中容易忽视的方法和思想，教师适时进行教学，恰是教在重点、难点处，教在方法提升处，教在思维延伸处。
3值得思考的地方
“先学后教，当堂训练”先让学生自学，教师在学生自学的基础上有针对性地“后教”，当堂进行科学训练，所有这一切都在课堂内完成，确实减轻了学生过重的课业负担，但一个不容忽视的问题呈现在我们面前。在教师的“自学提纲”指导下，学生按照教师提供的思路，依据教材的线索看书、思考，这里的“思考”只能视为“理解课本”，也就是对教材呈现的知识进行理解，是一个弄懂知识、解释知识的过程，而这一过程缺失了“猜想、归纳”的思维活动，少了合情推理的身影，长此以往，对学生的创新能力的培养是不利的。《标准》指出：推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果。在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论;演绎推理用于证明结论。一个完美的数学课堂，学生应该始终处于思考、探究、猜想和发现的状态。教师通过创设合适的情境，让学生经历从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程，在这一过程中通过类比、归纳等合情推理（猜想）探索思路、发现结论，从而培养学生的创新意识。创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。从这个角度讲，这确是本节课还存在不容忽视的不足！