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摘要：RC电路在模拟及数字电路中得到广泛的应用，由于电路的形式、信号源和阻容元件参数的不同，因而组成了RC电路的各种应用形式。本文就高阶RC电路的建模和等效的传递函数的架构进行分析。通过MATLAB仿真，对现有的一些高阶RC电路的整定方法进行研究分析。并且针对阶跃响应和正弦响应参数性能以及鲁棒性实验中性能点的散布密度情况来分析各种PID整定方法的优劣性，优选出最好的PID控制器参数。
关键词：模拟电路；高阶RC电路；鲁棒性；PID整定方法
0 引言
RC电路是模拟电路中应用最为广泛的电路之一，由于电路的形式以及信号源和阻容元件参数可选取的范围巨大，因此各种形式的RC控制电路就应运而生：微分电路、积分电路、耦合电路、滤波电路及脉冲分压器。[ ， ]在模拟及脉冲数字电路中，常会用到由电阻器和电容器组成的RC电路，在这些电路中，电阻R和电容C的取值不同、电路的拓扑结构不同，从而产生了RC电路的不同应用。对于RC电路网络，在进行频域分析时，电容器C相当于积分器的功能，随着并联的电容器C的个数的增加，RC电路结构中积分器的个数随之增加，从系统的类型方面来看，此时RC电路电压输出输入关系就可以用一个高阶系统表示。[ ]
1 高阶RC电路建模
常规RC电路是将电阻R与电容器C串联后接入输入电压信号为E的电路中，且由电容器C输出电压信号U，输出电压为U1。根据基尔霍夫定律、拉氏变换得出一阶RC电路的传递函数如下：
（1）
在一阶RC电路的基础上，对其进行层次扩展，得到十级RC电路的一阶惯性环节加延时的目标传递函数如式2所示。
（2）
2 十阶RC电路MATLAB仿真实验
运用软件MATLAB中的仿真模块Simulink对于PID控制系统进行阶跃响应扰动和正弦响应扰动的仿真。
对十阶RC电路进行了蒙特卡罗实验，在被控对象参数不确定的条件下，通过蒙特卡罗实验性能点的散布情况，分析PID控制器的鲁棒性优劣，优选出PID控制器。取R：900～1100Ω，C：0.0009～0.0011F，RC电路系统的电阻R，电容C在此范围内随机抽取，进行仿真实验。
其中，IMC法取Tf=13.5，GPM法取幅值裕量Am=6，相位裕量Φm=π/3。
从十级RC电路系统的各种整定方法的鲁棒性能蒙特卡罗实验可见，从超调量来看从小到大依次为IMC法、幅值相位裕量法、极点配置法、CHR法、最优法、Z-N法和C-C法，从调节时间来看，依次为幅值相位裕量法、极点配置法、最优法、CHR法、C-C法、Z-N法和IMC法。从性能点的散布程度来看，幅值相位裕量法和极点配置法的性能点分布最为集中，其次为最优法和CHR法，而IMC法、Z-N法和C-C法的性能点最为分散。
在十级RC电路系统的情况下，就综合效果而言，幅值相位裕量法和极点配置法无论从超调量还是从调节时间来看，都是几种方法里最优的，而且通过性能点的分布来看，鲁棒性也较好；其次为CHR法、最优法和IMC法；最优法虽然其整定效果的鲁棒性能非常好，性能点分布十分密集，但是最優法的超调量和调节时间都不理想；IMC法最显著的特征就是没有超调量，然而这就导致了IMC的调节时间会较其他方法更长一些，而对于高阶系统，经过简化之后系统的误差将会被放大，所以对于高阶系统IMC的调节时间会非常长；而C-C法和Z-N法的各项指标都很差，并不是适合运用于高阶系统中。
3 结论
Z-N法和C-C法两者都存在调节时间较长，超调量为70.95%超出了20%的范围这种问题，所以Z-N法和C-C法得到的PID参数控制效果不理想，存在调节时间不够快，超调量过大的问题，不是所需要的PID控制器参数；IMC法的优点是超调量为0，但是调节时间达到了30.79s，调节时间过长，将会导致系统对调节响应的反应时间变长，并不是最优的PID参数；极点配置法和最优法相比，两者的超调量不相上下，但是极点配置法的调节时间相比于最优法过长，而且极点配置法与幅值相位裕量法调节时间相近，但是极点配置法的超调量过大，所以通过极点配置法得到的PID参数调节时间和超调量都不是最优的PID参数；最优法的调节时间很好但是超调量过大，而且稳定前阶跃响应曲线会出现震荡；幅值相位裕量法的幅值裕量Am=6，相位裕量Φm=π/3。幅值相位裕量法的超调量很好，而且曲线很平稳，但是调节时间过长，所以也不是最优PID控制参数；CHR法调节时间为12.54s超调量为8.73%，相比于其他方法，系统输出几乎没有超调，过渡时间显著缩短，整个过渡过程变得更加平稳，曲线爬升段更快，稳定后曲线没有震荡很平稳，所以通过比较七种整定方法的阶跃响应曲线和性能参数指标，得到了结论：CHR法得到的控制器参数是这七种整定方法得到的参数中的最优控制器参数。
参考文献：
[1]伍松乐. RC电路的应用[J]. 现代电子技术， 2004， 27（14）： 99-101.
[2]朱桂萍， 于歆杰， 陆文娟. 一阶RC电路时域分析和频域分析的对比[J]. 电气电子教学学报， 2007， 29（3）：29-31.
[3]余水宝， 张胜， 陈希. 高阶RC有源滤波器优化综合技术研究[J]. 浙江师范大学学报自然科学版， 2009， 32（3）： 241-245.
关键词：模拟电路；高阶RC电路；鲁棒性；PID整定方法
0 引言
RC电路是模拟电路中应用最为广泛的电路之一，由于电路的形式以及信号源和阻容元件参数可选取的范围巨大，因此各种形式的RC控制电路就应运而生：微分电路、积分电路、耦合电路、滤波电路及脉冲分压器。[ ， ]在模拟及脉冲数字电路中，常会用到由电阻器和电容器组成的RC电路，在这些电路中，电阻R和电容C的取值不同、电路的拓扑结构不同，从而产生了RC电路的不同应用。对于RC电路网络，在进行频域分析时，电容器C相当于积分器的功能，随着并联的电容器C的个数的增加，RC电路结构中积分器的个数随之增加，从系统的类型方面来看，此时RC电路电压输出输入关系就可以用一个高阶系统表示。[ ]
1 高阶RC电路建模
常规RC电路是将电阻R与电容器C串联后接入输入电压信号为E的电路中，且由电容器C输出电压信号U，输出电压为U1。根据基尔霍夫定律、拉氏变换得出一阶RC电路的传递函数如下：
（1）
在一阶RC电路的基础上，对其进行层次扩展，得到十级RC电路的一阶惯性环节加延时的目标传递函数如式2所示。
（2）
2 十阶RC电路MATLAB仿真实验
运用软件MATLAB中的仿真模块Simulink对于PID控制系统进行阶跃响应扰动和正弦响应扰动的仿真。
对十阶RC电路进行了蒙特卡罗实验，在被控对象参数不确定的条件下，通过蒙特卡罗实验性能点的散布情况，分析PID控制器的鲁棒性优劣，优选出PID控制器。取R：900～1100Ω，C：0.0009～0.0011F，RC电路系统的电阻R，电容C在此范围内随机抽取，进行仿真实验。
其中，IMC法取Tf=13.5，GPM法取幅值裕量Am=6，相位裕量Φm=π/3。
从十级RC电路系统的各种整定方法的鲁棒性能蒙特卡罗实验可见，从超调量来看从小到大依次为IMC法、幅值相位裕量法、极点配置法、CHR法、最优法、Z-N法和C-C法，从调节时间来看，依次为幅值相位裕量法、极点配置法、最优法、CHR法、C-C法、Z-N法和IMC法。从性能点的散布程度来看，幅值相位裕量法和极点配置法的性能点分布最为集中，其次为最优法和CHR法，而IMC法、Z-N法和C-C法的性能点最为分散。
在十级RC电路系统的情况下，就综合效果而言，幅值相位裕量法和极点配置法无论从超调量还是从调节时间来看，都是几种方法里最优的，而且通过性能点的分布来看，鲁棒性也较好；其次为CHR法、最优法和IMC法；最优法虽然其整定效果的鲁棒性能非常好，性能点分布十分密集，但是最優法的超调量和调节时间都不理想；IMC法最显著的特征就是没有超调量，然而这就导致了IMC的调节时间会较其他方法更长一些，而对于高阶系统，经过简化之后系统的误差将会被放大，所以对于高阶系统IMC的调节时间会非常长；而C-C法和Z-N法的各项指标都很差，并不是适合运用于高阶系统中。
3 结论
Z-N法和C-C法两者都存在调节时间较长，超调量为70.95%超出了20%的范围这种问题，所以Z-N法和C-C法得到的PID参数控制效果不理想，存在调节时间不够快，超调量过大的问题，不是所需要的PID控制器参数；IMC法的优点是超调量为0，但是调节时间达到了30.79s，调节时间过长，将会导致系统对调节响应的反应时间变长，并不是最优的PID参数；极点配置法和最优法相比，两者的超调量不相上下，但是极点配置法的调节时间相比于最优法过长，而且极点配置法与幅值相位裕量法调节时间相近，但是极点配置法的超调量过大，所以通过极点配置法得到的PID参数调节时间和超调量都不是最优的PID参数；最优法的调节时间很好但是超调量过大，而且稳定前阶跃响应曲线会出现震荡；幅值相位裕量法的幅值裕量Am=6，相位裕量Φm=π/3。幅值相位裕量法的超调量很好，而且曲线很平稳，但是调节时间过长，所以也不是最优PID控制参数；CHR法调节时间为12.54s超调量为8.73%，相比于其他方法，系统输出几乎没有超调，过渡时间显著缩短，整个过渡过程变得更加平稳，曲线爬升段更快，稳定后曲线没有震荡很平稳，所以通过比较七种整定方法的阶跃响应曲线和性能参数指标，得到了结论：CHR法得到的控制器参数是这七种整定方法得到的参数中的最优控制器参数。
参考文献：
[1]伍松乐. RC电路的应用[J]. 现代电子技术， 2004， 27（14）： 99-101.
[2]朱桂萍， 于歆杰， 陆文娟. 一阶RC电路时域分析和频域分析的对比[J]. 电气电子教学学报， 2007， 29（3）：29-31.
[3]余水宝， 张胜， 陈希. 高阶RC有源滤波器优化综合技术研究[J]. 浙江师范大学学报自然科学版， 2009， 32（3）： 241-245.